Logaritmos

El logaritmo en base a de un número b es el exponente al que hay que elevar a para obtener b: log_a b = c significa aᶜ = b, con a > 0, a ≠ 1 y b > 0.

Qué es un logaritmo como exponente buscado, sus propiedades, el cambio de base y para qué sirve al despejar un exponente.

01Un exponente que se busca

Un cultivo de bacterias se duplica cada hora y arranca con una. ¿Cuándo llegará a 1 000? Hay que resolver 2ᵗ = 1 000. No se ve a ojo, porque 2⁹ = 512 y 2¹⁰ = 1 024. La respuesta es t = log₂ 1 000 ≈ 9,97 horas.

Cuando la cuenta sale exacta se ve a ojo: 2ᵗ = 64 da t = 6, porque 2⁶ = 64. Para 1 000 hace falta el logaritmo.

✓2ᵗ = 64 → t = 62⁶ = 64
✗2ᵗ = 1 000 → t = 1 000 : 2 = 500el exponente no se despeja dividiendo: 2⁵⁰⁰ es inmensamente mayor que 1 000

02Definición y casos básicos

log_a b = c ⇔ aᶜ = b. Así log₂ 32 = 5, log₁₀ 0,001 = −3, log₃ (1/9) = −2 y log₅ 1 = 0 (cualquier base elevada a 0 da 1).

Los dos logaritmos más usados son el decimal, log (base 10), y el neperiano, ln (base e ≈ 2,718).

✓log₁₀ 0,001 = −310⁻³ = 0,001
✗log₄ 0 existeninguna potencia de 4 da 0
✗log₋₂ 8 existela base debe ser positiva y distinta de 1

03Propiedades

log(x · y) = log x + log y. log(x / y) = log x − log y. log(xᵏ) = k · log x.

Comprobación: log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2 = 5 = log₂ 32, y 8 · 4 = 32. Y log₂ (8²) = 6 = 2 · 3. Con el cociente: log₂ 32 − log₂ 4 = 5 − 2 = 3 = log₂ 8, y 32 : 4 = 8.

✓log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ 323 + 2 = 5
✗log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ 12los logaritmos se suman al multiplicar, no al sumar: 8 · 4, no 8 + 4

04Cambio de base

La calculadora solo tiene log y ln. Para otra base: log_a b = ln b / ln a. Así log₂ 20 = ln 20 / ln 2 ≈ 2,996 / 0,693 ≈ 4,32. Tiene sentido: 2⁴ = 16 y 2⁵ = 32, y el 20 queda entre los dos.

✓log₂ 20 = ln 20 / ln 2 ≈ 4,32el logaritmo del número va arriba y el de la base, abajo
✗log₂ 20 = ln 2 / ln 20 ≈ 0,23está al revés: 2 elevado a 0,23 apenas pasa de 1, no llega a 20

05Para recordar

  • log_a b = c ⇔ aᶜ = b.
  • Producto → suma; cociente → resta; potencia → factor.
  • No hay logaritmo de 0 ni de negativos.
  • Cambio de base: ln b / ln a.

Preguntas frecuentes

¿Qué es log₂ 32?

Es 5, porque 2⁵ = 32. El logaritmo responde a «¿a qué exponente elevo la base?».

¿Por qué no existe el logaritmo de un número negativo?

Porque ninguna potencia de una base positiva da un resultado negativo ni cero.

¿Es log(x + y) = log x + log y?

No. Lo que se cumple es log(x · y) = log x + log y: los logaritmos convierten productos en sumas.

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