Mates en AcciónPotencias y traspuesta de una matriz
La potencia Aⁿ de una matriz cuadrada es A multiplicada por sí misma n veces; la traspuesta Aᵗ cambia filas por columnas y cumple (AB)ᵗ = BᵗAᵗ.
Cómo calcular Aⁿ buscando un patrón y justificándolo, y cómo se trasponen sumas y productos.
01Potencias
A² = A·A, A³ = A²·A… Solo existen para matrices cuadradas. Lo difícil es Aⁿ para un n cualquiera: se calculan unas pocas potencias, se adivina el patrón y se justifica por inducción (si vale para n, se multiplica por A y se ve que vale para n + 1).
Ejemplo: A = 1203 da A² = 1809, A³ = 126027, A⁴ = 180081. Abajo a la derecha está 3ⁿ y arriba, uno menos: Aⁿ = 13ⁿ−103ⁿ.
Si alguna potencia da I, O o la propia A, las potencias se repiten en ciclo y Aⁿ sale con el resto de dividir n entre el periodo. Un giro de 90° cumple R⁴ = I.
Nombres: involutiva si A² = I, idempotente si A² = A, nilpotente si Aᵏ = O para algún k.
| ✓ | 1203² = 1809producto fila por columna: 1·2 + 2·3 = 8 |
| ✗ | 1203² = 1409elevar cada elemento al cuadrado no es multiplicar matrices |
| ✓ | 2003² = 4009en una diagonal sí coincide con elevar los elementos |
02La traspuesta
Aᵗ se obtiene cambiando filas por columnas: la fila 1 pasa a ser la columna 1. Cada elemento viaja de (i, j) a (j, i), como un reflejo sobre la diagonal.
Propiedades: (Aᵗ)ᵗ = A · (A + B)ᵗ = Aᵗ + Bᵗ · (kA)ᵗ = kAᵗ · (AB)ᵗ = BᵗAᵗ.
| ✓ | (AB)ᵗ = BᵗAᵗla traspuesta invierte el orden |
| ✗ | (AB)ᵗ = AᵗBᵗcon A 2×2 y B 2×3, Aᵗ es 2×2 y Bᵗ es 3×2: AᵗBᵗ no existe |
03Para recordar
- Aⁿ: calcular 2 o 3 potencias, conjeturar y justificar.
- A² no es elevar los elementos al cuadrado.
- (AB)ᵗ = BᵗAᵗ.
Preguntas frecuentes
¿A² es elevar al cuadrado cada elemento de A?
No, salvo en las matrices diagonales. A² = A·A es un producto de matrices.
¿Cómo se calcula Aⁿ para cualquier n?
Se calculan A², A³ y quizá A⁴, se conjetura el patrón y se demuestra por inducción. Si alguna potencia da I, O o A, las potencias se repiten en ciclo.
¿(AB)ᵗ es AᵗBᵗ?
No: (AB)ᵗ = BᵗAᵗ, con el orden al revés. AᵗBᵗ ni siquiera suele poder calcularse.
¿Qué es una matriz ortogonal?
Es la que cumple A·Aᵗ = I; su traspuesta es su inversa.
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