Mates en AcciónSuma y producto de matrices
Las matrices se suman elemento a elemento; el producto A·B se hace fila por columna y solo existe si las columnas de A coinciden con las filas de B.
Suma y producto por un número elemento a elemento, producto de matrices fila por columna y por qué AB no es igual a BA.
01Suma y producto por un número
Se hacen elemento a elemento: cada casilla del resultado sale solo de las casillas que están en su mismo sitio. Por eso solo se suman matrices de la misma dimensión. k·A multiplica cada elemento por k.
Se cumplen las propiedades de siempre: asociativa, conmutativa, neutro O y opuesta −A. Así que A − B = A + (−B).
Ejemplo: 2·23−17 − 3·5−24−9 = 46−214 − 15−612−27 = −1112−1441.
| ✓ | 1234 + 0110 = 1344misma dimensión, elemento a elemento |
| ✗ | 1234 + 123dimensiones distintas (2×2 y 1×3): no se puede sumar |
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Transcripción del vídeo
Hoy vamos con las matrices: qué son, qué tipos hay y cómo se opera con ellas.
Una matriz es una tabla de números, ordenada en filas y columnas. Esta tiene tres filas, y dos columnas. Así que es de tres por dos: siempre primero las filas. Cada número tiene su dirección. A dos uno está en la fila dos, columna uno: vale menos tres. Y ojo: a dos uno no es lo mismo que a uno dos. Aquí valen menos tres y cero.
Hay tipos que conviene reconocer de un vistazo. La cuadrada tiene tantas filas como columnas. La diagonal solo tiene números en la diagonal; fuera, ceros. La identidad tiene unos en la diagonal: es el uno de las matrices. La simétrica se refleja sobre la diagonal: el siete de arriba es el siete de abajo. Y esta no es simétrica: arriba hay un siete, pero abajo un cinco.
Para sumar matrices, se suma casilla a casilla, cada una con la de su mismo sitio. Por eso solo se pueden sumar si tienen el mismo tamaño. Una dos por dos y una uno por tres, no. Y multiplicar por un número es multiplicar cada elemento. Dos por A: cada casilla, por dos.
El producto de matrices se hace fila por columna. Cogemos la primera fila de la primera matriz, y la primera columna de la segunda. Multiplicamos por parejas y sumamos: uno por cero, más dos por menos tres. Menos seis. Haciendo lo mismo con cada fila y cada columna, sale la matriz completa. Eso sí: solo se puede multiplicar si las columnas de la primera coinciden con las filas de la segunda. Si no coinciden, el producto no existe.
Y ahora, lo más importante: el producto de matrices no es conmutativo. A por B da esta matriz. Pero B por A da otra distinta. Por eso, A más B al cuadrado es A al cuadrado, más A B, más B A, más B al cuadrado. Y no A al cuadrado más dos A B más B al cuadrado, como haríamos con números.
Recuerda: fila por columna, A por B no es B por A, y solo se suma con el mismo tamaño. Soy de Mates en Acción. Nos vemos en el próximo concepto.
02Producto de matrices
Cada elemento del resultado es una fila de la primera por una columna de la segunda: se multiplican término a término y se suma. Es lo que hace una tabla de unidades por una columna de precios: da el coste de cada fábrica.
Regla de dimensiones: A(n×m) · B(m×p) = P(n×p). Las de dentro tienen que coincidir; las de fuera dan el tamaño del resultado. Fórmula: cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + … + aᵢₘbₘⱼ.
Ejemplo: 1203·02−30 = −62−90, porque 1·0 + 2·(−3) = −6, 1·2 + 2·0 = 2, 0·0 + 3·(−3) = −9 y 0·2 + 3·0 = 0. Se cumple la asociativa, la distributiva y A·I = I·A = A.
| ✓ | (2×3)·(3×4) → 2×4las columnas de la primera (3) son las filas de la segunda (3) |
| ✗ | (2×3)·(2×3)la primera tiene 3 columnas y la segunda 2 filas: no existe |
| ✓ | A·B = P(4×2) con B 3×2 → A es 4×3las dimensiones permiten deducir datos |
03Lo que el producto no cumple
Con números, ab = ba y si ab = 0 uno de los dos es 0. Con matrices, no. Casi todos los errores vienen de operar como si fueran números.
No es conmutativo: con las matrices de arriba, AB = −62−90 pero BA = 06−3−6. Visto como transformación del plano, AB aplica primero B y luego A; BA, al revés.
No se puede simplificar: de AB = AC no se deduce B = C, y no existe «dividir» entre matrices. Hay divisores de cero: 1200·24−1−2 = O sin que ninguna sea nula.
Consecuencia: (A + B)² = A² + AB + BA + B². Las identidades notables solo valen si AB = BA.
| ✓ | (A + B)² = A² + AB + BA + B²se reparte sin suponer conmutatividad |
| ✗ | (A + B)² = A² + 2AB + B²exige AB = BA, que en general es falso |
| ✗ | (A + B)(A − B) = A² − B²queda A² − AB + BA − B²: no se cancelan AB y BA |
| ✗ | (AB)² = A²B²ABAB no se puede reordenar en AABB |
04Para recordar
- A(n×m)·B(m×p) = P(n×p): fila por columna.
- AB ≠ BA en general.
- (A + B)² = A² + AB + BA + B².
- AB = O no implica A = O ni B = O.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se pueden multiplicar dos matrices?
Cuando las columnas de la primera coinciden con las filas de la segunda. El resultado tiene las filas de la primera y las columnas de la segunda.
¿El producto de matrices es conmutativo?
No. En general AB ≠ BA, y a veces uno de los dos productos ni siquiera existe.
¿Es cierto que (A + B)² = A² + 2AB + B²?
Solo si AB = BA. En general (A + B)² = A² + AB + BA + B².
Si AB = O, ¿alguna de las dos es nula?
No necesariamente. Hay matrices no nulas cuyo producto es la matriz nula; se llaman divisores de cero.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: