Mates en AcciónLa matriz inversa
La inversa de una matriz cuadrada A es la matriz A⁻¹ que cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I; solo existe si el rango de A es igual a su orden.
La inversa deshace lo que hace A. Cuándo existe, cómo se calcula con Gauss-Jordan y sus propiedades.
01Qué es y cuándo existe
Con números, para despejar x en 3x = 6 se multiplica por 1/3. Con matrices no se divide: se multiplica por A⁻¹, la matriz que deshace a A.
Existe solo si A es cuadrada y su rango es igual a su orden. Visto como transformación, una matriz que aplasta el plano en una recta no se puede deshacer: muchos puntos acaban en el mismo sitio.
| ✓ | 15−1−4tiene inversa: su determinante es 1 ≠ 0 |
| ✗ | 1224sin inversa: la fila 2 es el doble de la 1 (rango 1) |
| ✗ | 123456no es cuadrada: no tiene inversa |
02Cómo se calcula (Gauss-Jordan)
Se escribe (A | I) y se hacen operaciones de fila hasta tener (I | A⁻¹).
Ejemplo: A = 15−1−4. F₂ + F₁ da 15100111; después F₁ − 5F₂ da 10−4−50111. Así, A⁻¹ = −4−511.
Comprueba siempre que A·A⁻¹ = I: la primera fila de A por las columnas de A⁻¹ da 1·(−4) + 5·1 = 1 y 1·(−5) + 5·1 = 0.
03Propiedades
La inversa es única. (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, otra vez con el orden al revés. (Aᵗ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵗ.
| ✓ | (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹se deshace primero lo último que se hizo |
| ✗ | (AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹el producto no conmuta: el orden se invierte |
04Para recordar
- A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I.
- Existe si A es cuadrada y rango = orden.
- Gauss-Jordan: (A | I) → (I | A⁻¹).
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.
Preguntas frecuentes
¿Toda matriz tiene inversa?
No. Solo las cuadradas con rango igual a su orden (determinante distinto de 0). Las demás se llaman singulares.
¿Cómo se calcula la inversa con Gauss-Jordan?
Se escribe (A | I) y se hacen operaciones de fila hasta obtener (I | A⁻¹). Si a la izquierda aparece una fila de ceros, no hay inversa.
¿Cuánto vale (AB)⁻¹?
B⁻¹A⁻¹, con el orden al revés.
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