Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios, P(x)/Q(x), definido solo para los valores de x que no anulan el denominador.

Simplificar, sumar, multiplicar y dividir fracciones con polinomios, y por qué hay valores de x que se excluyen.

01Qué valores se excluyen

En 1/(x − 2) no vale x = 2, pues el denominador sería 0. Antes de simplificar, apunta los valores que anulan el denominador original.

En (x + 1)/(x² − 4), como x² − 4 = (x − 2)(x + 2), se excluyen x = 2 y x = −2. En 5/(x² + 1) no se excluye ninguno, porque x² + 1 siempre vale 1 o más.

✗3/(x − 2) con x = 2el denominador sería 0
✓(x + 1)/(x² − 4) con x = 3el denominador vale 5, no es 0
✓5/(x² + 1) con cualquier xx² + 1 nunca es 0

02Simplificar

(x² − 9)/(x² + 3x) = (x − 3)(x + 3) / [x(x + 3)] = (x − 3)/x, con x ≠ 0 y x ≠ −3.

Para (x + 5)/5 con x = 10 sale 15/5 = 3, y x + 1 = 11. Para (x² + 4)/x² con x = 2 sale 8/4 = 2, y no 4.

✓(x² − 9)/(x² + 3x) = (x − 3)/xse tacha el factor común (x + 3)
✗(x + 5)/5 = x + 1el 5 de arriba suma: no es un factor
✗(x² + 4)/x² = 4x² + 4 no es un producto: no se puede tachar x²

03Sumar y restar

Se reduce a denominador común (con el mínimo común múltiplo): 1/(x − 2) + 3/(x + 2) = [(x + 2) + 3(x − 2)] / [(x − 2)(x + 2)] = (4x − 4)/(x² − 4).

Al restar, el signo afecta a todo el numerador: 2/x − 1/(x + 1) = [2(x + 1) − x] / [x(x + 1)] = (x + 2)/[x(x + 1)].

Nunca se suman numeradores con denominadores: con x = 2, 1/x + 1/2 = 1/2 + 1/2 = 1, pero 2/(x + 2) = 2/4 = 1/2.

✓1/(x − 2) + 3/(x + 2) = (4x − 4)/(x² − 4)denominador común (x − 2)(x + 2)
✓2/x − 1/(x + 1) = (x + 2)/[x(x + 1)]el − afecta a todo el segundo numerador
✗1/x + 1/2 = 2/(x + 2)no se suman numeradores y denominadores

04Multiplicar y dividir

Se multiplican arriba y abajo, factorizando antes para simplificar: [x/(x + 1)] · [(x² − 1)/x²] = (x − 1)/x. Dividir es multiplicar por la inversa.

Ejemplo de división: [(x² − 4)/(x + 1)] : [(x + 2)/(x² − 1)] = [(x − 2)(x + 2)/(x + 1)] · [(x − 1)(x + 1)/(x + 2)] = (x − 2)(x − 1). Se excluyen x = −2, x = −1 y x = 1. Con x = 3: (5/4) : (5/8) = 2 y (3 − 2)(3 − 1) = 2.

✓[x/(x + 1)] · [(x² − 1)/x²] = (x − 1)/xse tachan los factores (x + 1) y x
✓[(x² − 4)/(x + 1)] : [(x + 2)/(x² − 1)] = (x − 2)(x − 1)se multiplica por la inversa y se simplifica
✓(x + 2)/(x + 1) : (x + 2) = 1/(x + 1)x = −2 sigue excluido en la fracción de partida

05Para recordar

  • Factorizar antes de simplificar.
  • Solo se tachan factores, no sumandos.
  • Sumar: denominador común.
  • El denominador nunca vale 0.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se simplifica una fracción algebraica?

Se factorizan numerador y denominador y se tachan los factores iguales. Nunca se tachan sumandos.

¿Es (x + 5)/5 igual a x + 1?

No: el 5 del numerador es un sumando y no se puede tachar. Con x = 10, (10 + 5)/5 = 3 y x + 1 = 11.

¿Por qué hay valores prohibidos?

Porque el denominador no puede ser 0. En 3/(x − 2), x = 2 está excluido.

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