Polinomios: Ruffini y factorización

01Dividir polinomios

Se divide como con números: se divide el término de mayor grado, se multiplica, se resta y se repite hasta que el resto tenga menos grado que el divisor. Siempre: Dividendo = divisor · cociente + resto.

Ejemplo: (x³ + 2x² − 5x + 1) : (x² + x − 1). x³ : x² = x, y x · (x² + x − 1) = x³ + x² − x; al restar queda x² − 4x + 1. Luego x² : x² = 1, y 1 · (x² + x − 1) = x² + x − 1; al restar queda −5x + 2, de grado 1, menor que 2: se para. Cociente x + 1 y resto −5x + 2. Comprobación: (x² + x − 1)(x + 1) + (−5x + 2) = x³ + 2x² − 1 − 5x + 2 = x³ + 2x² − 5x + 1.

02Regla de Ruffini

Para dividir entre (x − r) se usan solo los coeficientes. P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 entre (x − 1): se baja el 1; 1 · 1 = 1 y −6 + 1 = −5; −5 · 1 = −5 y 11 − 5 = 6; 6 · 1 = 6 y −6 + 6 = 0. Cociente x² − 5x + 6 y resto 0.

Para dividir entre (x + 2) se usa r = −2, no 2. Con x² + 5x + 6: r = −2 da 1, 5 − 2 = 3 y 6 − 6 = 0, es decir, cociente x + 3 y resto 0. Con r = 2 saldría 1, 7 y 20, un resto falso.

03Teorema del resto y raíces

El resto de dividir P(x) entre (x − r) es P(r). Con P(x) = 2x³ − 3x + 5 entre (x + 2): P(−2) = −16 + 6 + 5 = −5, sin dividir.

Si P(r) = 0, r es raíz. Se prueba con los divisores del término independiente.

Con P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6, el término independiente es −6 y los candidatos son ±1, ±2, ±3 y ±6. P(1) = P(2) = P(3) = 0, así que son raíces. En cambio P(−1) = −1 − 6 − 11 − 6 = −24 ≠ 0: que sea divisor no basta, hay que comprobarlo.

04Factorizar

P(x) = 2x³ − 5x² − 4x + 3. Prueba x = 3: 54 − 45 − 12 + 3 = 0, es raíz. Ruffini con 3 da coeficientes 2, 1, −1 y resto 0: P = (x − 3)(2x² + x − 1). Y 2x² + x − 1 = (2x − 1)(x + 1). Entonces P(x) = (x − 3)(2x − 1)(x + 1), con raíces 3, 1/2 y −1.

Antes de buscar raíces se prueba sacar factor común y las identidades notables.

05Para recordar

• D = d · c + r.
• Ruffini: divisor (x − r); cuidado con el signo de r.
• P(r) = resto; P(r) = 0 ⇒ raíz.
• Raíces enteras: divisores del término independiente.