Ecuaciones e inecuaciones

Una ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0 se resuelve con x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Una inecuación tiene como solución un intervalo.

Ecuaciones de segundo grado, bicuadradas, inecuaciones con una incógnita y la región de una inecuación con dos.

01Segundo grado completo

Una parcela rectangular tiene el largo 3 m mayor que el ancho y 70 m² de área. Con el ancho x: x(x + 3) = 70, o sea x² + 3x − 70 = 0. La fórmula da x = 7 o x = −10, y solo vale la positiva: 7 m por 10 m.

Otro: x² − 7x + 10 = 0 tiene Δ = 49 − 40 = 9 y x = (7 ± 3)/2, es decir 5 y 2. Suma de soluciones: 7 = −b/a; producto: 10 = c/a.

02Casos y número de soluciones

Δ > 0: dos soluciones. Δ = 0: una doble, como x² − 6x + 9 = 0, con Δ = 36 − 36 = 0 y x = 3. Δ < 0: ninguna real: 2x² + x + 3 = 0 tiene Δ = 1 − 24 = −23.

Incompletas: ax² + c = 0 se despeja; ax² + bx = 0 se saca x como factor común.

✓x² − 7x + 10 = 0 tiene soluciones 5 y 2suman 7 y multiplican 10
✗2x² + x + 3 = 0 tiene dos solucionesΔ = −23 < 0: no hay soluciones reales
✗x² = 9 tiene solo la solución 3también −3: (−3)² = 9

03Bicuadradas

x⁴ − 13x² + 36 = 0. Con t = x²: t² − 13t + 36 = 0, t = 4 o t = 9. Deshaciendo el cambio, x = ±2 o x = ±3: cuatro soluciones. Se comprueba: 2⁴ − 13·2² + 36 = 16 − 52 + 36 = 0.

Cuidado con los valores negativos de t. En x⁴ − 5x² − 36 = 0 resulta t² − 5t − 36 = 0, con Δ = 25 + 144 = 169 y t = (5 ± 13)/2, es decir, t = 9 o t = −4. Como x² nunca es negativo, t = −4 no da ninguna x y solo valen x = ±3.

✓x⁴ − 13x² + 36 = 0 tiene cuatro soluciones: ±2 y ±3t = 4 y t = 9 son positivos y cada uno da dos valores de x
✗x⁴ − 5x² − 36 = 0 tiene cuatro solucionest = −4 no sirve (x² no es negativo): solo x = ±3

04Inecuaciones

6 − 2x ≥ 0 da −2x ≥ −6 y, al dividir entre −2, x ≤ 3: la solución es (−∞, 3]. Un sistema como x > 1 y x ≤ 5 da (1, 5].

Con dos incógnitas, x + 2y ≤ 6: se dibuja la recta x + 2y = 6 (continua porque incluye la igualdad) y se prueba el punto (0, 0): 0 ≤ 6 es cierto, luego la solución es el semiplano donde está el origen.

✓−3x < 12 ⇒ x > −4se dividió entre un negativo y la desigualdad se invirtió
✗−3x < 12 ⇒ x < −4falta invertir el sentido: x = −5 daría 15 < 12, que es falso

05Para recordar

  • x = (−b ± √Δ)/2a; Δ = b² − 4ac.
  • Bicuadrada: t = x².
  • Dividir o multiplicar por negativo invierte la desigualdad.
  • Inecuación con dos incógnitas: semiplano.

Preguntas frecuentes

¿Qué dice el discriminante?

Δ = b² − 4ac: si es positivo hay dos soluciones, si es 0 una doble y si es negativo ninguna real.

¿Cuándo se invierte el sentido de una desigualdad?

Al multiplicar o dividir por un número negativo: −3x < 12 pasa a x > −4.

¿Cómo se resuelve x⁴ − 13x² + 36 = 0?

Con t = x²: t² − 13t + 36 = 0 da t = 4 o t = 9, y por tanto x = ±2 o x = ±3.

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