Sistemas de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse a la vez; su solución es el valor de las incógnitas que verifica todas.

Sistemas lineales por sustitución, igualación y reducción, cuántas soluciones tienen, sistemas no lineales y problemas con enunciado.

01Qué es y cómo se clasifica

Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta. Resolver el sistema es ver dónde se cortan. Compatible determinado: un punto. Incompatible: rectas paralelas, sin solución. Compatible indeterminado: la misma recta, infinitas soluciones.

✗x + y = 3 y 2x + 2y = 8incompatible: la segunda dice x + y = 4, rectas paralelas
✗x − 2y = 1 y 3x − 6y = 3indeterminado: la segunda es la primera multiplicada por 3
✓3x + 2y = 16 y x − y = 2determinado: solución x = 4, y = 2

02Sustitución, igualación y reducción

3x + 2y = 16 y x − y = 2. Sustitución: x = y + 2, luego 3(y + 2) + 2y = 16, 5y = 10, y = 2 y x = 4. Comprobación: 12 + 4 = 16.

Reducción: multiplicando la segunda por 2 y sumando, 3x + 2y + 2x − 2y = 16 + 4, 5x = 20, x = 4. Igualación: se despeja la misma incógnita en las dos, x = (16 − 2y)/3 y x = y + 2, y se igualan: (16 − 2y)/3 = y + 2, 16 − 2y = 3y + 6, 5y = 10 y otra vez y = 2.

03Sistemas no lineales

x + y = 5 y xy = 6. De la primera, y = 5 − x; en la segunda x(5 − x) = 6, o x² − 5x + 6 = 0, que da x = 2 o x = 3. Soluciones: (2, 3) y (3, 2). Comprobación: 2 + 3 = 5 y 2·3 = 6; 3 + 2 = 5 y 3·2 = 6.

Otro: x² + y² = 25 y x − y = 1, una circunferencia y una recta. Con y = x − 1: x² + (x − 1)² = 25, 2x² − 2x − 24 = 0, x² − x − 12 = 0 y x = 4 o x = −3. Las soluciones son (4, 3) y (−3, −4): 16 + 9 = 25 y 9 + 16 = 25.

✓x + y = 5 y xy = 6 tiene soluciones (2, 3) y (3, 2)las dos parejas suman 5 y multiplican 6
✗x + y = 5 y xy = 6 tiene como única solución (2, 3)falta (3, 2): también suma 5 y multiplica 6

04Problemas con sistemas

Dos adultos y tres niños pagan 31 euros; un adulto y cuatro niños pagan 28. Con A y N: 2A + 3N = 31 y A + 4N = 28. A = 28 − 4N, luego 56 − 8N + 3N = 31, N = 5 y A = 8. Un adulto cuesta 8 euros y un niño, 5. Comprobación: 16 + 15 = 31 y 8 + 20 = 28.

✓A = 8 y N = 5 son los precioscumplen las dos cuentas: 2·8 + 3·5 = 31 y 8 + 4·5 = 28
✗A = 14 y N = 1 son los precioscumplen la primera (28 + 3 = 31) pero no la segunda: 14 + 4 = 18, no 28

05Para recordar

  • Rectas que se cortan, paralelas o iguales: 1, 0 o infinitas soluciones.
  • Siempre se comprueba en las dos ecuaciones.
  • Si hay una ecuación no lineal: despejar y sustituir.

Preguntas frecuentes

¿Qué método de resolución es el mejor?

El que menos cuentas pida: sustitución si una incógnita está despejada o con coeficiente 1, reducción si los coeficientes se pueden igualar fácilmente.

¿Cuántas soluciones puede tener un sistema lineal 2×2?

Una (rectas que se cortan), ninguna (paralelas) o infinitas (rectas coincidentes).

¿Cómo se resuelve un sistema con una ecuación no lineal?

Se despeja una incógnita de la ecuación lineal y se sustituye en la otra, que acaba siendo una de segundo grado.

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