Mates en AcciónSistemas de ecuaciones lineales
Un sistema lineal reúne dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Su solución es el par de valores (x, y) que cumple las dos a la vez.
Ecuaciones lineales con dos incógnitas, qué es un sistema y su solución, cómo se comprueba, los métodos de sustitución, igualación y reducción, qué significan las dos rectas y cómo se plantean problemas.
01La caja fuerte del escape room
En un escape room, el candado de la última caja pide dos números. Primera pista: «suman 23». Con eso no basta: valen 20 y 3, 15 y 8, 11,5 y 11,5… hay infinitas parejas. Segunda pista: «el doble del primero menos el segundo da 16».
Ahora sí. Si el primero es x y el segundo es y, la primera pista dice x + y = 23 y la segunda, 2x − y = 16. De todas las parejas que suman 23, solo una cumple también la segunda pista: x = 13, y = 10, porque 13 + 10 = 23 y 26 − 10 = 16.
Dos incógnitas necesitan dos pistas. Dos ecuaciones que se tienen que cumplir a la vez forman un sistema, y esta página enseña a resolverlos sin probar a ciegas.
02Una ecuación, infinitas soluciones
Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma ax + by = c, con x e y sin exponentes y sin multiplicarse entre sí. Su solución no es un número, sino una pareja: un valor para x y otro para y. Se escribe como par ordenado, (x, y), siempre primero la x.
Para encontrar parejas, da un valor a x y calcula el de y. En 2x − y = 16 conviene despejar: y = 2x − 16. Si x = 8, y = 0; si x = 10, y = 4; si x = 13, y = 10; si x = 15, y = 14; si x = 5, y = −6. Puedes seguir para siempre, también con decimales: x = 8,5 da y = 1. Una sola ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
| ✓ | (10, 4) es solución de 2x − y = 162 · 10 − 4 = 16 |
| ✓ | (5, −6) es solución de 2x − y = 1610 − (−6) = 10 + 6 = 16 |
| ✗ | (4, 10) es solución de 2x − y = 16el orden importa: 2 · 4 − 10 = −2. La pareja buena es (10, 4) |
| ✗ | 2x − y = 16 tiene una única solucióncada valor de x da su propia y: tiene infinitas |
03Qué es un sistema
Un sistema de ecuaciones lineales son dos ecuaciones lineales con las mismas dos incógnitas que tienen que cumplirse a la vez. En papel se escriben una debajo de otra, unidas por una llave; aquí, en una línea: {x + y = 23 ; 2x − y = 16}.
La solución del sistema es la pareja que cumple las dos ecuaciones. No basta con cumplir una: (20, 3) suma 23, pero 2 · 20 − 3 = 37, no 16, así que no es solución del sistema. Resolver un sistema es encontrar esa pareja común o descubrir que no existe.
| ✓ | {x + y = 23 ; 2x − y = 16}dos ecuaciones de primer grado con las incógnitas x e y |
| ✓ | {y = 3x ; x + y = 8}una viene ya despejada, pero las dos son lineales |
| ✓ | {x/2 + y = 5 ; x − y = 1}un número en el denominador no impide que sea lineal |
| ✗ | {xy = 12 ; x + y = 7}xy multiplica las dos incógnitas: no es lineal |
| ✗ | {x² + y = 5 ; x − y = 1}x² no es de primer grado |
| ✗ | x + y = 23 solauna ecuación no forma un sistema y tiene infinitas soluciones |
04Comprobar una solución
Para saber si una pareja es solución, sustitúyela en las dos ecuaciones. Si se cumplen las dos, es solución; si falla una sola, no lo es.
Con {5x + y = 13 ; x − 3y = 9} y la pareja x = 3, y = −2: en la primera, 5 · 3 + (−2) = 15 − 2 = 13; en la segunda, 3 − 3 · (−2) = 3 + 6 = 9. Se cumplen las dos: la solución es (3, −2).
| ✓ | x = 3, y = −2cumple las dos: 15 − 2 = 13 y 3 + 6 = 9 |
| ✗ | x = 2, y = 3cumple la primera, 10 + 3 = 13, pero en la segunda da 2 − 9 = −7 |
| ✗ | x = 9, y = 0cumple la segunda, 9 − 0 = 9, pero en la primera da 45 |
| ✗ | x = −2, y = 3son los números de la solución en otro orden: 5 · (−2) + 3 = −7 |
05Método de sustitución
Para comparar los tres métodos usaremos el mismo sistema: {x + 3y = 15 ; 4x − y = 8}. Su solución es x = 3, y = 4, y los tres tienen que llegar a ella.
Sustitución: se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra. Lo más cómodo es despejar la que tiene coeficiente 1 o −1. De la segunda, y = 4x − 8. Se mete en la primera, entre paréntesis: x + 3(4x − 8) = 15. Ahora hay una sola incógnita: x + 12x − 24 = 15, 13x = 39 y x = 3. Por último, y = 4 · 3 − 8 = 4.
| ✓ | x + 3(4x − 8) = 15la expresión de y entra entera, con su paréntesis |
| ✗ | x + 3 · 4x − 8 = 15sin paréntesis el 3 no multiplica al 8: sale 13x = 23 y una solución falsa |
| ✗ | Sustituir y = 4x − 8 en 4x − y = 8es la ecuación de la que salió: queda 8 = 8, que no dice nada |
06Método de igualación
Igualación: se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las dos expresiones, porque las dos valen lo mismo. Despejando y: de la primera, y = (15 − x) / 3; de la segunda, y = 4x − 8.
Se igualan: (15 − x) / 3 = 4x − 8. Se quita el denominador multiplicando los dos miembros por 3: 15 − x = 12x − 24, así que 39 = 13x y x = 3. Se sustituye en cualquiera de las dos expresiones: y = 4 · 3 − 8 = 4. La misma solución.
| ✓ | (15 − x) / 3 = 4x − 8 → 15 − x = 12x − 24el 3 multiplica a todo el segundo miembro |
| ✗ | (15 − x) / 3 = 4x − 8 → 15 − x = 12x − 8también hay que multiplicar el 8 por 3 |
| ✗ | Despejar x en una ecuación, despejar y en la otra e igualarsolo se igualan expresiones de la misma incógnita |
07Método de reducción
Reducción: se multiplican las ecuaciones por números elegidos para que una incógnita quede con coeficientes opuestos, como 3y y −3y. Al sumar las dos ecuaciones, esa incógnita desaparece.
En {x + 3y = 15 ; 4x − y = 8} basta con multiplicar la segunda por 3: 12x − 3y = 24. Sumando con la primera: x + 12x = 13x, 3y − 3y = 0 y 15 + 24 = 39. Queda 13x = 39 y x = 3. Se sustituye en la primera: 3 + 3y = 15, 3y = 12 e y = 4.
Si ninguna incógnita lo pone fácil, se multiplican las dos ecuaciones. En {4x + 3y = 18 ; 5x + 2y = 19}, para eliminar la y se multiplica la primera por 2 y la segunda por −3: {8x + 6y = 36 ; −15x − 6y = −57}. Sumando, −7x = −21 y x = 3. En la primera, 12 + 3y = 18 e y = 2.
| ✓ | Segunda ecuación por 3: 12x − 3y = 24se multiplican los dos miembros, también el 8 |
| ✗ | Segunda ecuación por 3: 12x − 3y = 8el segundo miembro también se multiplica: 24 |
| ✗ | Sumar 8x + 6y = 36 con 15x + 6y = 57las y tienen el mismo signo: sumarían 12y en vez de anularse. Hay que multiplicar una por un número negativo, o restar |
08Qué método conviene
Los tres métodos dan siempre la misma solución, así que elige el que menos cuentas pida. Sustitución, si una incógnita ya está despejada o tiene coeficiente 1 o −1. Igualación, si la misma incógnita se despeja fácil en las dos ecuaciones. Reducción, si una incógnita tiene coeficientes iguales u opuestos, o si ningún coeficiente es 1.
Hallada la primera incógnita, la segunda sale sustituyendo en la ecuación más sencilla. Y al final, comprueba la pareja en las dos ecuaciones del principio.
| ✓ | {y = 2x + 1 ; 5x − 3y = 2} → sustitucióny ya está despejada: se mete directamente en la segunda |
| ✓ | {y = 4x − 3 ; y = x + 6} → igualación4x − 3 = x + 6 da x = 3, y luego y = 9 |
| ✓ | {5x + 3y = 21 ; 2x − 3y = 0} → reducciónsumando, las y se anulan: 7x = 21, x = 3 e y = 2 |
| ✗ | {4x + 7y = 1 ; 3x − 5y = 11} → despejar x en la primerasale x = (1 − 7y) / 4, llena de fracciones: aquí es más cómodo reducir |
09Las dos rectas
Si dibujas como puntos las soluciones de una ecuación lineal, quedan todas alineadas: forman una recta. Por eso estas ecuaciones se llaman lineales. Las parejas de 2x − y = 16, como (8, 0), (10, 4) y (13, 10), están sobre la misma recta.
Un sistema son dos rectas en los mismos ejes, y su solución es el punto que está en las dos: el punto de corte. En el escape room, la recta x + y = 23 pasa por (23, 0) y (0, 23); la recta 2x − y = 16 pasa por (8, 0) y (0, −16). Se cortan en (13, 10), la clave del candado.
Para dibujar cada recta bastan dos puntos: da dos valores a x, calcula sus y, márcalos y únelos. Si el corte no cae justo en un cruce de la cuadrícula, la gráfica da una solución aproximada; la exacta sale con los métodos algebraicos.
Dos rectas del plano solo pueden hacer tres cosas: cortarse en un punto, ser paralelas y no tocarse nunca, o ser la misma recta. Por eso un sistema lineal tiene una solución, ninguna o infinitas. Nunca dos ni tres.
| ✓ | Rectas que se cortan en (3, 4)el sistema tiene una única solución: x = 3, y = 4 |
| ✓ | Rectas paralelasno tienen ningún punto común: el sistema no tiene solución |
| ✗ | Un sistema lineal con exactamente dos solucionesdos rectas distintas que se cortan lo hacen una sola vez |
10Sin solución o con infinitas
En {x + y = 4 ; x + y = 9}, dos números no pueden sumar 4 y 9 a la vez. Si restas las ecuaciones, desaparecen las dos incógnitas y queda 0 = 5, una igualdad falsa. El sistema no tiene solución: es incompatible, y sus rectas son paralelas. Se reconoce porque los coeficientes de x e y son proporcionales, pero los términos independientes no.
En {x − 2y = 3 ; 2x − 4y = 6}, la segunda ecuación es la primera multiplicada por 2: en realidad hay una sola pista, dicha dos veces. Al reducir queda 0 = 0, que es cierto siempre. El sistema tiene infinitas soluciones, como (3, 0), (5, 1) o (1, −1): es compatible indeterminado, y las dos rectas coinciden.
Si tiene una única solución, como el del escape room, el sistema es compatible determinado.
| ✓ | Al reducir sale 0 = 5 → no hay soluciónninguna pareja hace verdad 0 = 5 |
| ✓ | {2x + y = 1 ; 4x + 2y = 7} es incompatiblela primera por 2 da 4x + 2y = 2, que choca con 7 |
| ✗ | Al reducir sale 0 = 0 → x = 0, y = 0vale cualquier pareja que cumpla una de las ecuaciones: hay infinitas |
| ✗ | {x − 2y = 3 ; 2x − 4y = 6}: la solución es (3, 0)es una de infinitas: (5, 1) también vale |
11Plantear un problema
Pasos: 1.º elige las dos incógnitas y escribe qué es cada una, por ejemplo «m = precio de un manga»; 2.º convierte cada dato del enunciado en una ecuación; 3.º resuelve el sistema con el método que mejor venga; 4.º comprueba la solución en el enunciado, no solo en las ecuaciones; 5.º responde con una frase.
Precios: en una tienda de cómics, 3 mangas y 2 cómics cuestan 47 €, y 2 mangas y 3 cómics, 48 €. Con m = precio de un manga y c = precio de un cómic: {3m + 2c = 47 ; 2m + 3c = 48}. Por reducción, la primera por 3 y la segunda por −2: 9m − 4m = 141 − 96, es decir, 5m = 45 y m = 9. Entonces 27 + 2c = 47 y c = 10. Comprobación: 2 · 9 + 3 · 10 = 48. Un manga cuesta 9 € y un cómic, 10 €.
Un atajo para este caso: sumando las dos ecuaciones, 5m + 5c = 95, así que un manga y un cómic juntos cuestan 19 €. Restándolas, m − c = −1: el cómic cuesta 1 € más. Con esas dos pistas, el resto sale de cabeza.
| ✓ | Escribir «m = precio de un manga» antes de empezaral final sabes qué significa cada número |
| ✗ | Responder «m = 9, c = 10»falta decirlo con palabras y unidades: un manga cuesta 9 € y un cómic, 10 € |
12Problemas de monedas y edades
Monedas: en una hucha solo hay monedas de 50 céntimos y de 2 €: son 25 y suman 26 €. Con c = monedas de 50 céntimos y d = monedas de 2 €, el número de monedas da c + d = 25. Para el dinero, pásalo todo a céntimos y te ahorras los decimales: 50c + 200d = 2 600, que dividida entre 50 queda c + 4d = 52.
Restando las dos ecuaciones, 3d = 27, así que d = 9 y c = 16. Comprobación: 16 · 0,50 = 8 € y 9 · 2 = 18 €, que suman 26 €. Hay 16 monedas de 50 céntimos y 9 de 2 €.
Edades: hoy Sofía y su madre suman 45 años. Hace 5 años, la madre tenía cuatro veces la edad de Sofía. Con s = edad de Sofía y m = edad de la madre: s + m = 45 y m − 5 = 4(s − 5). La segunda queda m − 5 = 4s − 20, es decir, m = 4s − 15. Por sustitución: s + 4s − 15 = 45, 5s = 60, s = 12 y m = 33. Comprobación: hace 5 años tenían 7 y 28, y 28 = 4 · 7.
| ✓ | Hace 5 años: s − 5 y m − 5el tiempo pasa igual para las dos |
| ✓ | 0,5c + 2d = 26 y 50c + 200d = 2 600son la misma ecuación, en euros y en céntimos |
| ✗ | m − 5 = 4s − 5el 4 multiplica a toda la edad de entonces: 4(s − 5) = 4s − 20 |
| ✗ | c + d = 26se ha mezclado el número de monedas con el dinero: c + d = 25 |
13Problemas de mezclas
Una tienda de chucherías mezcla gominolas de 8 €/kg con regaliz de 14 €/kg para llenar bolsas surtidas. Quiere 6 kg de mezcla que se vendan a 10 €/kg. ¿Cuántos kilos pone de cada cosa?
Con g = kilos de gominolas y r = kilos de regaliz, hay una ecuación para la cantidad y otra para el dinero: g + r = 6 y 8g + 14r = 60, porque 6 kg a 10 €/kg valen 60 €. De la primera, g = 6 − r. Sustituyendo: 8(6 − r) + 14r = 60, 48 + 6r = 60, r = 2 y g = 4. Comprobación: 4 · 8 + 2 · 14 = 32 + 28 = 60 €.
Fíjate en que el precio de la mezcla, 10 €/kg, no es la media de 8 y 14, que sería 11. Hay el doble de gominolas que de regaliz, así que el precio queda más cerca del de las gominolas. Esa intuición sirve para comprobar el resultado.
| ✓ | 8g + 14r = 60el dinero de cada parte suma el valor de la mezcla: 6 · 10 = 60 € |
| ✗ | 8g + 14r = 10se ha mezclado el precio por kilo con el dinero total: el segundo miembro es 60 € |
| ✗ | Precio de la mezcla = (8 + 14) / 2 = 11 €/kgsolo sería así con los mismos kilos de cada cosa |
14Para recordar
- Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones: cada una es una pareja (x, y).
- La solución de un sistema es la pareja que cumple las dos ecuaciones a la vez. Compruébala en las dos.
- Sustitución: despejar una incógnita y meterla, entre paréntesis, en la otra ecuación.
- Igualación: despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar.
- Reducción: multiplicar para que una incógnita tenga coeficientes opuestos y sumar.
- Cada ecuación es una recta: si se cortan, hay una solución; si son paralelas, ninguna; si coinciden, infinitas.
- Al reducir, 0 = 5 indica un sistema incompatible y 0 = 0, uno indeterminado.
- Problemas: dos incógnitas, dos ecuaciones, resolver, comprobar en el enunciado y responder con frase.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales?
Son dos ecuaciones de primer grado con las mismas dos incógnitas que tienen que cumplirse a la vez, como x + y = 23 junto con 2x − y = 16.
¿Qué es la solución de un sistema?
Es la pareja de valores que cumple las dos ecuaciones. En el sistema anterior es x = 13, y = 10, porque 13 + 10 = 23 y 26 − 10 = 16.
¿Por qué una ecuación con dos incógnitas tiene infinitas soluciones?
Porque a cada valor que le des a x le corresponde un valor de y. En x + y = 10 valen 1 y 9, 4 y 6, 2,5 y 7,5… Hace falta una segunda ecuación para quedarse con una sola pareja.
¿Qué método es mejor: sustitución, igualación o reducción?
Los tres dan la misma solución. Sustitución, si una incógnita tiene coeficiente 1 o −1; igualación, si la misma incógnita se despeja fácil en las dos; reducción, si hay coeficientes iguales u opuestos.
¿Cómo sé si un sistema no tiene solución?
Si al resolverlo desaparecen las dos incógnitas y queda una igualdad falsa, como 0 = 5. Gráficamente, sus dos rectas son paralelas.
¿Qué significa que un sistema tenga infinitas soluciones?
Que las dos ecuaciones dicen lo mismo, porque una es la otra multiplicada por un número. Al resolver queda 0 = 0 y sus rectas coinciden.
¿Qué significa resolver un sistema gráficamente?
Dibujar la recta de cada ecuación en los mismos ejes y buscar el punto en que se cortan. Sus coordenadas son la solución.
¿Cómo se plantea un problema con dos incógnitas?
Se dice qué es cada incógnita, se escribe una ecuación por cada dato, se resuelve el sistema, se comprueba en el enunciado y se responde con una frase.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: