Mates en AcciónLa circunferencia y el círculo
La circunferencia es la línea cuyos puntos están a la misma distancia r de un centro; el círculo, la superficie que encierra. L = 2 · π · r y A = π · r².
Circunferencia frente a círculo, sus elementos, posiciones de rectas y circunferencias, ángulos central e inscrito, el número π, longitudes, arcos y áreas de círculo, sector y corona.
01Un perro y su correa
Atas un perro a un poste con una correa de 4 m. Cuando tira al máximo y da la vuelta, sus patas dibujan una línea curva en la que todos los puntos están a 4 m del poste: es una circunferencia. Todo el césped que puede pisar, dentro de esa línea, es un círculo.
La línea y la superficie se parecen tanto que mucha gente usa las dos palabras como si fueran la misma. No lo son, y cada una se mide de una forma.
02Circunferencia y círculo
Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto interior, el centro. Esa distancia es el radio.
Un círculo es la parte del plano que encierra una circunferencia, con su borde incluido. De la circunferencia se mide la longitud (en cm); del círculo, el área (en cm²).
03Qué es y qué no es
Pregúntate si es solo el borde o toda la superficie, y si de verdad todos sus puntos están a la misma distancia de un centro.
| ✓ | El borde de una ruedacircunferencia: es una línea a la misma distancia del eje |
| ✓ | Una moneda vista de frentecírculo: es una superficie llena |
| ✗ | Una moneda es una circunferenciala moneda tiene superficie; solo su canto dibuja una circunferencia |
| ✗ | Un óvalo, como el contorno de un huevounos puntos están más lejos del centro que otros |
| ✗ | Un polígono regular de 50 ladosse parece mucho, pero sus lados son rectos |
| ✗ | El círculo mide 30 cmun círculo tiene área, en cm²; los cm son de la circunferencia |
04Elementos de la circunferencia
Centro: el punto que está a la misma distancia de todos los de la circunferencia. Radio: el segmento que va del centro a un punto de la circunferencia, y también su medida, r.
Cuerda: un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: la cuerda que pasa por el centro; mide dos radios, d = 2 · r, y es la cuerda más larga. Con r = 6 cm, d = 12 cm, y ninguna cuerda pasa de 12 cm.
Arco: el trozo de circunferencia entre dos de sus puntos. Un diámetro la parte en dos arcos iguales, las semicircunferencias.
| ✓ | r = 6 cm → d = 12 cmel diámetro son dos radios seguidos |
| ✓ | Todo diámetro es una cuerdaune dos puntos de la circunferencia |
| ✗ | r = 6 cm → d = 3 cmse ha dividido en vez de multiplicar: el diámetro es el doble |
| ✗ | Toda cuerda es un diámetrosolo si pasa por el centro |
| ✗ | Una cuerda de 15 cm con r = 6 cmno cabe: la más larga, el diámetro, mide 12 cm |
05Una recta y una circunferencia
Una recta puede no tocar la circunferencia (exterior), tocarla en un solo punto (tangente) o cortarla en dos (secante). Lo decide la distancia del centro a la recta comparada con el radio.
Con r = 5 cm: una recta a 7 cm del centro es exterior; a 5 cm, tangente; a 2 cm, secante. La tangente es perpendicular al radio que llega al punto de contacto, el punto de tangencia.
| ✓ | Distancia 2 cm, r = 5 cm: secantela recta pasa por dentro: 2 < 5 |
| ✓ | Distancia 5 cm, r = 5 cm: tangentedistancia igual al radio: un solo punto |
| ✗ | Una tangente corta en dos puntos muy juntostiene un único punto en común |
| ✗ | Distancia 7 cm, r = 5 cm: secante7 > 5: la recta queda fuera, es exterior |
06Dos circunferencias
Dos circunferencias pueden no tocarse, tocarse en un punto (tangentes) o cortarse en dos (secantes). Si no se tocan, una puede estar fuera de la otra (exteriores) o dentro (interiores); si además comparten centro, son concéntricas.
Con radios de 6 cm y 2 cm, todo depende de la distancia entre centros. Más de 8 cm (6 + 2): exteriores. Justo 8 cm: tangentes por fuera. Entre 4 y 8 cm: secantes. Justo 4 cm (6 − 2): tangentes por dentro. Menos de 4 cm: interiores. Distancia 0: concéntricas.
07Ángulo central y ángulo inscrito
Un ángulo central tiene el vértice en el centro y sus lados son dos radios. Un ángulo inscrito tiene el vértice en la propia circunferencia y sus lados son dos cuerdas.
Si los dos abarcan el mismo arco, el inscrito mide la mitad que el central. Con un central de 110°, cualquier inscrito sobre ese arco mide 55°; y si un inscrito mide 35°, su central mide 70°. Por eso todos los inscritos que abarcan el mismo arco miden lo mismo, estén donde estén.
Caso estrella: si el arco es una semicircunferencia, el central es un ángulo llano de 180° y el inscrito mide 90°. Todo triángulo dibujado sobre un diámetro, con el tercer vértice en la circunferencia, es rectángulo.
| ✓ | Central 110° → inscrito 55°el inscrito es la mitad |
| ✓ | Inscrito en una semicircunferencia: 90°la mitad de 180° |
| ✗ | Central 110° → inscrito 110°solo coinciden si el vértice estuviera en el centro |
| ✗ | Inscrito 35° → central 17,5°es al revés: el central es el doble, 70° |
08El número π
Toma un CD, la rueda de una bici y un reloj de pared. Rodea cada uno con un hilo, mide el hilo y divídelo entre el diámetro. Siempre sale algo más de 3: la longitud de cualquier circunferencia cabe unas 3,14 veces su diámetro, sea grande o pequeña.
Ese cociente se llama π (pi): π = longitud : diámetro = 3,14159265… Sus cifras decimales no se acaban nunca y no se repiten en bloque, así que no se puede escribir exacto ni como decimal ni como fracción. En los cálculos se usa 3,14, o la tecla π de la calculadora.
| ✓ | π ≈ 3,14aproximación a las centésimas |
| ✗ | π = 3,14es una aproximación: π sigue 3,14159… |
| ✗ | π = 22/722/7 = 3,1428…; se separa de π en la tercera cifra decimal |
| ✗ | π depende del tamaño de la circunferenciaes el mismo para todas: por eso es una constante |
09Longitud de la circunferencia
Si la longitud es π veces el diámetro, L = π · d, y como d = 2 · r, L = 2 · π · r.
Con r = 5 cm: L = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm. Una rueda de bici de 70 cm de diámetro avanza en cada vuelta 3,14 · 70 = 219,8 cm, casi 2,2 m.
También se puede ir al revés: si una fuente redonda mide 62,8 m de contorno, su diámetro es 62,8 : 3,14 = 20 m y su radio, 10 m.
| ✓ | r = 5 cm: L = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cmdos por π por el radio |
| ✗ | r = 5 cm: L = 3,14 · 5 = 15,7 cmfalta el 2: con el radio, π · r es solo media vuelta |
| ✗ | r = 5 cm: L = 3,14 · 5² = 78,5 cmeso es el área del círculo, y va en cm² |
10Longitud de un arco
La vuelta entera son 360°. Un arco de α grados es la fracción α/360 de la circunferencia, así que mide L = 2 · π · r · α / 360.
Un arco de 60° en una circunferencia de radio 12 cm: la vuelta mide 2 · 3,14 · 12 = 75,36 cm, y 60° es 1/6 de la vuelta, así que el arco mide 75,36 : 6 = 12,56 cm.
Una semicircunferencia de radio 8 m mide la mitad de la vuelta: 3,14 · 8 = 25,12 m. Pero el borde de un semicírculo lleva además el diámetro: 25,12 + 16 = 41,12 m.
| ✓ | r = 12 cm, 60°: 75,36 · 60 : 360 = 12,56 cmla parte proporcional al ángulo |
| ✗ | r = 12 cm, 60°: 75,36 · 60 : 180 = 25,12 cmla vuelta completa son 360°, no 180° |
| ✗ | Perímetro de un semicírculo = π · rfalta el tramo recto, el diámetro |
11Área del círculo
Corta un círculo en muchos sectores finos, como porciones de tarta, y colócalos alternando la punta arriba y abajo. Se forma casi un rectángulo: su base es media circunferencia, π · r, y su altura, el radio. Su área es π · r · r, es decir, A = π · r².
Con r = 11 cm: A = 3,14 · 11² = 3,14 · 121 = 379,94 cm². Si te dan el diámetro, divídelo antes entre 2.
| ✓ | r = 11 cm: A = 3,14 · 121 = 379,94 cm²π por el radio al cuadrado |
| ✗ | d = 22 cm: A = 3,14 · 22² = 1 519,76 cm²se ha usado el diámetro: sale el cuádruple. Hay que usar r = 11 |
| ✗ | r = 11 cm: A = 2 · 3,14 · 11 = 69,08 cm²eso es la longitud de la circunferencia, y va en cm |
| ✗ | r = 11 cm: A = 3,14 · 11 · 2r² es r · r, no r · 2 |
12Sector y segmento circular
Un sector circular es la parte del círculo entre dos radios, como una porción de pizza. Su ángulo central α indica qué fracción del círculo es: A = π · r² · α / 360. Con r = 10 cm y 45°: el círculo tiene 3,14 · 100 = 314 cm² y 45° es 1/8 de vuelta, así que el sector mide 314 : 8 = 39,25 cm².
Un segmento circular es la parte del círculo entre una cuerda y su arco. Su área es la del sector menos la del triángulo que forman la cuerda y los dos radios. Con r = 10 cm y 90°: sector 314 : 4 = 78,5 cm², triángulo 10 · 10 : 2 = 50 cm², segmento 28,5 cm².
Un sector de 180° es un semicírculo: 314 : 2 = 157 cm².
| ✓ | Sector de 45°, r = 10 cm: 39,25 cm²45/360 = 1/8 del círculo |
| ✗ | Sector = π · r · α / 360el radio va al cuadrado: es una parte del área |
| ✗ | El segmento circular es lo mismo que el sectorel segmento está limitado por una cuerda, no por dos radios |
13Corona circular
Una corona circular es la superficie entre dos circunferencias concéntricas, como una arandela o un CD sin el agujero. Su área es la del círculo grande menos la del pequeño: A = π · R² − π · r² = π · (R² − r²).
Con R = 6 cm y r = 4 cm: π · (36 − 16) = 3,14 · 20 = 62,8 cm².
| ✓ | R = 6 cm, r = 4 cm: 3,14 · 20 = 62,8 cm²círculo grande menos círculo pequeño |
| ✗ | R = 6 cm, r = 4 cm: 3,14 · 2² = 12,56 cm²se han restado los radios antes de elevar: (R − r)² no es R² − r² |
14Resolver problemas
Decide primero si te piden una longitud (borde, vueltas, distancia recorrida) o un área (superficie, cuánto ocupa). Fíjate si el dato es el radio o el diámetro.
Ruedas: la bici de 70 cm de diámetro avanza 2,198 m por vuelta. Para recorrer 1 km, la rueda gira 1 000 : 2,198 ≈ 455 vueltas.
Pizzas: ¿una pizza de 30 cm de diámetro o dos de 20 cm? La grande tiene 3,14 · 15² = 706,5 cm²; cada pequeña, 3,14 · 10² = 314 cm², y las dos juntas, 628 cm². Gana la grande. Si la cortas en 8 porciones iguales, cada sector tiene 360° : 8 = 45° y unos 706,5 : 8 ≈ 88,3 cm².
Pista circular: de radio 40 m, cada vuelta mide 2 · 3,14 · 40 = 251,2 m; 4 vueltas son 1 004,8 m, algo más de un kilómetro.
Jardín con camino: un jardín redondo de 8 m de radio rodeado por un camino de 2 m de ancho. El camino es una corona con R = 10 m y r = 8 m: 3,14 · (100 − 64) = 3,14 · 36 = 113,04 m².
15Para recordar
- Circunferencia: la línea. Círculo: la superficie que encierra.
- d = 2 · r; el diámetro es la cuerda más larga.
- Recta exterior, tangente o secante según su distancia al centro sea mayor, igual o menor que r.
- Ángulo inscrito = central / 2; sobre una semicircunferencia, 90°.
- π = longitud : diámetro ≈ 3,14 (ni 3,14 exacto ni 22/7).
- L = 2 · π · r; arco = 2 · π · r · α / 360.
- A = π · r²; sector = π · r² · α / 360; corona = π · (R² − r²).
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre circunferencia y círculo?
La circunferencia es solo la línea curva del borde; el círculo es toda la superficie que queda dentro. Un aro es una circunferencia y una moneda, un círculo.
¿Cuánto vale el número π?
Es el número de veces que la longitud de una circunferencia contiene a su diámetro: 3,14159… Tiene infinitas cifras decimales que no se repiten, y en los cálculos se usa 3,14.
¿π es igual a 22/7?
No. 22/7 = 3,142857…, que se parece a π = 3,141592… pero ya falla en la tercera cifra decimal. Es solo una aproximación.
¿Cómo se calcula la longitud de una circunferencia?
Con L = 2 · π · r, o lo que es lo mismo, π por el diámetro. Una circunferencia de radio 5 cm mide 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm.
¿Cómo se calcula el área de un círculo?
Con A = π · r², elevando al cuadrado el radio, no el diámetro. Un círculo de radio 11 cm tiene 3,14 · 121 = 379,94 cm².
¿Qué es una recta tangente a una circunferencia?
Es una recta que la toca en un único punto, sin cortarla. Es perpendicular al radio que llega a ese punto.
¿Cuánto mide un ángulo inscrito?
La mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Si el arco es media circunferencia, el inscrito mide 90°.
¿Qué es una corona circular?
La superficie entre dos circunferencias con el mismo centro, como una arandela. Su área es π · (R² − r²).
Relacionados
Por Eugenio Rodríguez · actualizado: