Los números decimales

01Qué es un número decimal

Un velocista para el cronómetro en 11,37 s. No son 11 segundos ni 12: es algo más de 11. Con los naturales no basta para medir ese trozo que sobra, y para eso están los decimales.

Un número decimal tiene dos partes separadas por una coma. A la izquierda, la parte entera, que cuenta unidades completas: 11. A la derecha, la parte decimal, que cuenta trozos de unidad cada vez más pequeños: 37 centésimas.

Aparecen en un precio de 0,85 €, en una altura de 1,63 m o en una lata de 0,33 l. En España se escribe coma; las calculadoras y los ordenadores usan punto: 11.37.

02Qué es y qué no es un decimal

Un decimal lleva una sola coma y delante siempre hay parte entera, aunque sea 0.

03Décimas, centésimas y milésimas

Si partes la unidad en 10 trozos iguales, cada uno es una décima: 0,1. En 100, una centésima: 0,01. En 1 000, una milésima: 0,001. Cada lugar a la derecha de la coma vale diez veces menos que el de su izquierda, igual que en los naturales.

Así, en 5,374 hay 5 unidades, 3 décimas, 7 centésimas y 4 milésimas: 5,374 = 5 + 3/10 + 7/100 + 4/1 000.

Para leerlo, se dice la parte entera y luego la decimal con el nombre de su última cifra: «cinco unidades trescientas setenta y cuatro milésimas», o, de forma más corta, «cinco coma trescientos setenta y cuatro». 0,08 se lee «ocho centésimas».

Los ceros al final de la parte decimal no cambian nada: 2,6 = 2,60 = 2,600. Un cero en medio sí cuenta: 2,06 son 6 centésimas, no 6 décimas.

04Comparar y ordenar decimales

Primero se compara la parte entera: la mayor manda, tenga las cifras decimales que tenga. Si es igual, se comparan las cifras decimales una a una, empezando por las décimas.

La trampa más común es pensar que más cifras es más grande. ¿0,5 o 0,45? Parece que 45 gana a 5, pero si igualas el número de cifras con ceros, comparas 0,50 con 0,45, y 50 centésimas son más que 45. Por tanto, 0,5 > 0,45.

Para ordenar 3,2, 3,15, 3,09 y 3,205, escríbelos con tres decimales: 3,200, 3,150, 3,090 y 3,205. Queda 3,09 < 3,15 < 3,2 < 3,205. Entre dos decimales siempre cabe otro: entre 1,4 y 1,5 está 1,45, y entre 1,45 y 1,46 está 1,455.

05Decimales en la recta

Para situar 2,7, busca entre qué naturales está, 2 y 3, parte ese tramo en 10 trozos iguales y cuenta 7 décimas desde el 2.

Para 2,74 hay que mirar más de cerca: el tramo entre 2,7 y 2,8 se parte otra vez en 10 y se cuentan 4 centésimas. Cuanto más a la derecha, mayor es el número, como siempre.

06De decimal a fracción

Todo decimal exacto es una fracción decimal, con denominador 10, 100, 1 000… El numerador es el número sin la coma y el denominador, un 1 con tantos ceros como cifras decimales. Después se simplifica.

Ejemplos: 0,6 = 6/10 = 3/5. 2,45 = 245/100 = 49/20, dividiendo entre 5. 0,008 = 8/1 000 = 1/125.

07De fracción a decimal

Una fracción es una división, así que basta con dividir el numerador entre el denominador, añadiendo ceros al dividendo cuando haga falta: 7/8 = 7 : 8 = 0,875. Si el resto llega a 0, el decimal es exacto.

A veces el resto nunca da 0. Como el resto es siempre menor que el divisor, tarde o temprano se repite, y con él las cifras: 8/33 = 0,242424… El grupo que se repite es el periodo, aquí 24. Si se repite justo desde la coma, el decimal es periódico puro.

Si antes del periodo hay cifras que no se repiten, es periódico mixto: 7/12 = 0,58333… tiene anteperiodo 58 y periodo 3.

Pista: si la fracción irreducible tiene un denominador sin más factores primos que 2 y 5, el decimal es exacto. 7/8 lo es, porque 8 = 2³. 7/12 no, porque 12 = 2² · 3.

08De periódico a fracción

Un periódico puro con parte entera 0 es la fracción que tiene el periodo como numerador y tantos nueves como cifras del periodo como denominador: 0,444… = 4/9 y 0,272727… = 27/99 = 3/11.

¿Por qué nueves? Si x = 0,444…, entonces 10 · x = 4,444… Al restar, los decimales infinitos se anulan: 10 · x − x = 4, es decir, 9 · x = 4 y x = 4/9.

Si hay parte entera, se suma aparte: 2,888… = 2 + 8/9 = 26/9. Para un periódico mixto como 0,1666…, el numerador es el número formado por anteperiodo y periodo menos el anteperiodo, y el denominador lleva un 9 por cifra del periodo y un 0 por cifra del anteperiodo: (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6.

09Sumar y restar decimales

Se colocan los números con las comas en columna, para que se sumen unidades con unidades, décimas con décimas y centésimas con centésimas. Si a uno le faltan cifras, se rellenan con ceros.

Ejemplos: 12,5 + 3,78 = 12,50 + 3,78 = 16,28. 7 − 2,35 = 7,00 − 2,35 = 4,65. Las llevadas funcionan igual que con naturales: 0,68 + 0,57 = 1,25, porque 125 centésimas son 1 unidad y 25 centésimas.

10Multiplicar decimales

Se multiplican como si no tuvieran coma y en el resultado se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores. 2,4 · 1,3: 24 · 13 = 312, y como hay 1 + 1 = 2 decimales, el resultado es 3,12.

Si faltan cifras, se añaden ceros a la izquierda: 0,2 · 0,4 da 8 y necesita dos decimales, así que es 0,08. Multiplicar por un decimal menor que 1 da un número más pequeño: 20 · 0,5 = 10.

11Por 10, 100 y 1 000

Multiplicar por la unidad seguida de ceros es mover la coma a la derecha tantos lugares como ceros: 3,5 · 100 = 350 y 0,027 · 1 000 = 27. Si faltan cifras, se añaden ceros.

Dividir entre 10, 100 o 1 000 es moverla a la izquierda: 48,6 : 10 = 4,86 y 7 : 1 000 = 0,007. Es la cuenta que se hace al pasar de unas unidades de medida a otras.

12Dividir decimales

Decimal entre natural: se divide como siempre y se pone la coma en el cociente justo al bajar la primera cifra decimal. 9,6 : 4 = 2,4. Si la división no acaba, se añaden ceros al dividendo: 7 : 4 = 7,00 : 4 = 1,75.

Entre un decimal: se multiplican dividendo y divisor por 10, 100 o 1 000, lo necesario para que el divisor quede sin coma. El cociente no cambia. 8,64 : 2,4 = 86,4 : 24 = 3,6. 4,5 : 0,15 = 450 : 15 = 30.

Dividir entre un decimal menor que 1 da un número más grande: en 4,5 caben 30 veces 0,15.

13Truncar y redondear

Muchas veces no hacen falta todas las cifras. Truncar es cortar en la cifra pedida y quitar el resto. Redondear es elegir la aproximación más cercana: se mira la primera cifra que se quita y, si es 5, 6, 7, 8 o 9, la anterior sube una unidad.

Con 3,6582: a las décimas, truncado 3,6 y redondeado 3,7. A las centésimas, 3,65 y 3,66. A las milésimas los dos dan 3,658, porque la cifra siguiente es un 2.

Con dinero se redondea a los céntimos: 2,346 € se cobran 2,35 €. Los periódicos también se redondean: 0,666… a las centésimas es 0,67.

14Resolver problemas

Con dinero y medidas, escribe todas las cantidades en la misma unidad, opera con las comas bien colocadas y redondea solo al final.

Compras 0,75 kg de queso a 14,80 € el kilo: 0,75 · 14,80 = 11,10 €. Si pagas con un billete de 20 €, te devuelven 20 − 11,10 = 8,90 €.

Un listón de 2,4 m se corta en trozos de 0,4 m: 2,4 : 0,4 = 24 : 4 = 6 trozos. Tres amigos pagan a partes iguales una cuenta de 25 €: 25 : 3 = 8,333… €, que se redondea a 8,33 € cada uno. Como 3 · 8,33 = 24,99 €, falta un céntimo que tendrá que poner alguien.

15Para recordar

• Parte entera, coma y parte decimal: décimas, centésimas y milésimas.
• Para comparar, iguala el número de cifras: 0,5 = 0,50 > 0,45.
• Decimal → fracción: sin coma arriba, 1 y tantos ceros como decimales abajo.
• Fracción → decimal: dividir. Sale exacto o periódico, puro o mixto.
• Sumar y restar: comas en columna. Multiplicar: tantos decimales como los dos factores juntos.
• Por 10, 100, 1 000: la coma a la derecha. Entre 10, 100, 1 000: a la izquierda.
• Redondear: si la primera cifra que se quita es 5 o más, la anterior sube.