Rectas y ángulos

01Ángulos en un reloj

Las agujas de un reloj de pared salen del mismo punto y se abren más o menos según la hora. A las 3 en punto forman una esquina perfecta; a las 6, una línea recta; a las 12, una encima de otra. Esa abertura es un ángulo.

La esfera da una vuelta entera, 360°, repartida en 12 horas. Así que cada hora de separación son 360° : 12 = 30°. A las 2 en punto las agujas forman 60° y a las 5, 150°. Antes de medir ángulos, conviene ordenar las piezas con las que se construyen: puntos, rectas y sus trozos.

02Punto, recta, semirrecta y segmento

El punto es lo más sencillo del plano: marca una posición y no tiene tamaño. Se nombra con una letra mayúscula: P, Q, R.

Una recta es una fila infinita de puntos en la misma dirección, sin principio ni fin. Se nombra con una minúscula, como r o s. Por dos puntos distintos pasa una sola recta.

Si marcas un punto en una recta, la partes en dos semirrectas: cada una empieza en ese punto, el origen, y sigue sin fin hacia un lado, como el rayo de una linterna. Un segmento es el trozo de recta entre dos puntos, sus extremos; se nombra por ellos, segmento PQ, y es el único de los tres que se puede medir.

03Dos rectas en el plano

Dos rectas del mismo plano solo pueden estar de tres maneras. Son paralelas si no se cortan nunca, como los dos raíles de una vía de tren. Son secantes si se cortan en un único punto, como dos calles que se cruzan. Y son coincidentes si en realidad son la misma recta.

Las perpendiculares son un caso especial de secantes: se cortan formando cuatro ángulos rectos, como las líneas de una cuadrícula. Se trazan con la escuadra: un cateto se apoya en la recta y el otro, que forma la esquina de 90°, marca la perpendicular.

Por un punto que no está en una recta pasa una sola paralela a ella, pero infinitas secantes.

04Qué es un ángulo

Un ángulo es la región del plano que queda entre dos semirrectas con el mismo origen. Las semirrectas son los lados y el origen común es el vértice.

Se nombra con tres letras con un acento circunflejo encima de la central, que es el vértice: PVQ, con P en un lado y Q en el otro. Si no hay dudas, basta la letra del vértice.

Lo que mide un ángulo es la abertura entre los lados, no su longitud. Si alargas los lados, el dibujo crece, pero el ángulo sigue igual.

05Tipos de ángulos

Se clasifican comparándolos con tres ángulos de referencia: el completo, una vuelta entera de 360°; el llano, media vuelta de 180°, en el que los lados forman una recta; y el recto, la mitad del llano, 90°.

Según su abertura, un ángulo es nulo si mide 0° (los lados coinciden), agudo si mide menos de 90°, recto si mide 90°, obtuso si está entre 90° y 180°, llano si mide 180° y completo si mide 360°.

Dos semirrectas con el mismo origen dejan en realidad dos ángulos que suman 360°. El que mide menos de 180° es convexo y el que mide más, cóncavo. Si uno mide 100°, el otro mide 360° − 100° = 260°.

06Medir con el transportador

El transportador es un semicírculo graduado de 0° a 180°. Para medir: pon su centro justo en el vértice, alinea la línea del 0 con uno de los lados y lee dónde corta el otro lado.

Casi todos tienen dos escalas, una que crece hacia la derecha y otra hacia la izquierda. Usa la que vale 0 en el lado que has alineado.

Comprueba siempre a ojo: si el ángulo es más cerrado que una esquina, tiene que salir menos de 90°. Para un ángulo cóncavo, mide el convexo que lo acompaña y réstalo de 360°.

07Grados, minutos y segundos

Si una vuelta completa se divide en 360 partes iguales, cada una es un grado (°). Para medir con más precisión se divide en 60 minutos (′) y cada minuto en 60 segundos (″). Como en las horas, se agrupa de 60 en 60: es el sistema sexagesimal. 1° = 60′ = 3 600″.

Un ángulo escrito con varias unidades, como 5°17′40″, está en forma compleja. Escrito con una sola, como 19 060″, está en forma incompleja.

De compleja a incompleja se multiplica: 5°17′40″ = 5 · 3 600″ + 17 · 60″ + 40″ = 18 000″ + 1 020″ + 40″ = 19 060″.

De incompleja a compleja se divide entre 60 dos veces. Con 9 875″: 9 875 : 60 da 164′ y sobran 35″; 164 : 60 da 2° y sobran 44′. Queda 2°44′35″. Al final, los minutos y los segundos tienen que ser menores que 60.

08Sumar y restar ángulos

Para sumar, se colocan grados bajo grados, minutos bajo minutos y segundos bajo segundos, y se suma cada columna. Si los segundos llegan a 60 o más, cada 60 pasan a ser 1 minuto; lo mismo con los minutos y los grados.

Ejemplo: 27°48′35″ + 41°29′50″ = 68°77′85″. Como 85″ = 1′25″, queda 68°78′25″. Como 78′ = 1°18′, el resultado es 69°18′25″.

Para restar, si en una columna arriba hay menos que abajo, se pide prestada una unidad a la columna de la izquierda, que vale 60 en esta. Ejemplo: 52°10′5″ − 18°34′40″. Los segundos no alcanzan: 52°9′65″. Los minutos tampoco: 51°69′65″. Ahora sí: 65″ − 40″ = 25″, 69′ − 34′ = 35′ y 51° − 18° = 33°. Resultado: 33°35′25″.

Comprueba la resta sumando: 33°35′25″ + 18°34′40″ = 51°69′65″ = 52°10′5″.

09Complementarios y suplementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90°, es decir, si juntos forman un recto. Son suplementarios si suman 180°, un llano.

Para hallar el complementario se resta de 90° y para el suplementario, de 180°. Con 62°: su complementario es 90° − 62° = 28° y su suplementario, 180° − 62° = 118°.

Con minutos y segundos se escribe 90° como 89°59′60″ y se resta: el complementario de 47°23′15″ es 42°36′45″, y su suplementario, 132°36′45″.

10Consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice

Dos ángulos son consecutivos si comparten el vértice y un lado, uno pegado al otro. Si además los dos lados que no comparten forman una recta, son adyacentes: juntos hacen un llano, así que suman 180°.

Cuando dos rectas se cortan forman cuatro ángulos. Los que quedan enfrentados, cuyos lados son prolongación unos de otros, son opuestos por el vértice y miden siempre lo mismo. Piensa en unas tijeras abiertas: el hueco entre las cuchillas y el de entre los mangos son iguales.

Así, si dos rectas se cortan y un ángulo mide 64°, su opuesto mide 64° y los otros dos, adyacentes a él, miden 180° − 64° = 116° cada uno.

11Dos paralelas cortadas por una secante

Imagina un paso a nivel: dos raíles paralelos y una carretera recta que los cruza en diagonal. En cada cruce se forman cuatro ángulos, ocho en total. Los que quedan en la franja entre los raíles son internos y los de fuera, externos.

Dos ángulos son correspondientes si ocupan la misma posición en cada cruce, como si deslizaras un cruce sobre el otro. Son alternos internos si están dentro de la franja y a distinto lado de la secante, y alternos externos si están fuera y a distinto lado.

Como las rectas son paralelas, los correspondientes son iguales y los alternos también. Al final solo hay dos medidas: cuatro ángulos agudos iguales y cuatro obtusos iguales, que suman 180°. Si la carretera forma 55° con un raíl, los ocho ángulos miden 55° o 125°.

12Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa por su punto medio. Su propiedad clave: cualquier punto de la mediatriz está a la misma distancia de los dos extremos.

Si en un mapa marcas dos estaciones de bicicletas, A y B, todos los sitios que quedan igual de lejos de las dos están en la mediatriz del segmento AB. Sal de ella un solo paso hacia el lado de A y ya estás más cerca de A que de B.

Para trazarla con regla y compás: abre el compás más de la mitad del segmento; con centro en A traza un arco por encima y otro por debajo; repite con centro en B sin cambiar la abertura; une con la regla los dos puntos donde se cortan los arcos.

13Bisectriz de un ángulo

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que sale del vértice y lo parte en dos ángulos iguales. Cortar una porción de pizza de 50° por su bisectriz da dos trozos de 25°. La de un ángulo de 63° deja dos de 31°30′.

Su propiedad: cada punto de la bisectriz está a la misma distancia de los dos lados. Esa distancia se mide en perpendicular a cada lado.

Para trazarla: con centro en el vértice, traza un arco que corte los dos lados; desde cada uno de esos dos cortes, y con la misma abertura, traza un arco hacia el interior del ángulo; une el vértice con el punto donde se cruzan.

Curiosidad: cuando dos rectas se cortan, las bisectrices de los cuatro ángulos forman entre sí un ángulo recto.

14Resolver problemas

Haz siempre un dibujo, marca lo que sabes y busca qué relación une los ángulos: si forman un recto, un llano, una vuelta o si son opuestos.

Reloj: a las 3 y media la aguja de los minutos apunta al 6, a 180° de las 12. La de las horas no está en el 3: se ha movido media hora, 15°, y está a 90° + 15° = 105°. Forman 180° − 105° = 75°.

Adyacentes: dos ángulos adyacentes miden uno el triple que el otro. Juntos son 180° y hay 4 partes iguales: 180° : 4 = 45°. Miden 45° y 135°. Comprobación: 45° + 135° = 180°.

Paralelas: una calle corta a dos avenidas paralelas y en un cruce forma 72°. En el otro cruce, el ángulo correspondiente mide también 72° y el de al lado, 180° − 72° = 108°.

15Para recordar

• Recta: sin extremos. Semirrecta: un origen. Segmento: dos extremos, se mide.
• Dos rectas: paralelas, secantes o coincidentes; perpendiculares si forman 90°.
• Agudo < 90° = recto < obtuso < 180° = llano; completo 360°; cóncavo si pasa de 180°.
• 1° = 60′ y 1′ = 60″; al sumar o restar, se lleva o se pide de 60 en 60.
• Complementarios suman 90°; suplementarios, 180°; opuestos por el vértice, iguales.
• Mediatriz: puntos a igual distancia de los extremos. Bisectriz: a igual distancia de los lados.