Mates en AcciónPerímetros y áreas de polígonos
El perímetro de un polígono es la longitud de su borde, la suma de sus lados (en cm). El área es la superficie que encierra, medida en unidades cuadradas (cm²).
Diferencia entre perímetro y área, unidades, áreas del rectángulo, romboide, triángulo, rombo, trapecio y polígonos regulares, figuras compuestas y problemas.
01Vallar o sembrar
Quieres hacer un huerto rectangular de 8 m de largo y 4 m de ancho. Hay dos preguntas distintas. ¿Cuánta valla compras para rodearlo? Recorres el borde: 8 + 4 + 8 + 4 = 24 m. ¿Cuánta tierra tienes para plantar? Cuentas cuadrados de 1 m de lado: 4 filas de 8, es decir, 32 m².
La primera respuesta es un perímetro y la segunda, un área. Se calculan de forma distinta y se miden con unidades distintas.
02Perímetro y área
El perímetro de un polígono es la longitud de su borde: la suma de las longitudes de todos sus lados. Es una longitud, así que se mide en mm, cm, m o km.
El área es la medida de la superficie que queda dentro del borde. Se mide contando cuántos cuadrados de lado 1 caben: si el lado es 1 cm, cada cuadradito es 1 cm², y si es 1 m, 1 m².
Una imagen ayuda: el perímetro es el marco de un cuadro y el área, el lienzo.
| ✓ | Los metros de rodapié de una habitaciónes un perímetro: se recorre el borde del suelo |
| ✓ | Los m² de parqué para esa habitaciónes un área: se cubre la superficie |
| ✗ | La cinta para el borde de un mantel medida en m²la cinta es una longitud: va en m |
| ✗ | El área es la suma de los ladoseso es el perímetro; el área cuenta cuadrados del interior |
03Mismo perímetro, distinta área
Perímetro y área no van de la mano. Con 24 cm de cordel puedes formar un rectángulo de 11 × 1 cm, uno de 8 × 4 cm o un cuadrado de 6 × 6 cm. El borde es siempre 24 cm, pero encierran 11 cm², 32 cm² y 36 cm².
Al revés también pasa: un rectángulo de 8 × 1 cm y otro de 4 × 2 cm tienen los dos 8 cm² de área, pero sus perímetros son 18 cm y 12 cm. Cuanto más alargada es la figura, más borde necesita para la misma superficie.
| ✓ | 11 × 1 cm y 6 × 6 cm: P = 24 cm en los dos11 + 1 + 11 + 1 = 24 y 6 · 4 = 24 |
| ✗ | 11 × 1 cm y 6 × 6 cm tienen la misma área11 cm² frente a 36 cm²: mismo borde no es misma superficie |
| ✗ | 8 × 1 cm y 4 × 2 cm tienen el mismo perímetrotienen la misma área, 8 cm², pero 18 cm frente a 12 cm de borde |
04Unidades de longitud y de superficie
Un perímetro se da en cm, m…; un área, en cm², m²… El pequeño 2 recuerda que se han multiplicado dos longitudes: cm · cm = cm².
Las unidades de área van de 100 en 100, no de 10 en 10: 1 m² es un cuadrado de 10 dm × 10 dm, o sea 100 dm², y también de 100 cm × 100 cm, es decir, 10 000 cm².
Antes de multiplicar, pon las dos medidas en la misma unidad. Un tablero de 2 m por 40 cm: 2 · 0,4 = 0,8 m², o bien 200 · 40 = 8 000 cm². Las dos respuestas son la misma superficie.
| ✓ | 1 m² = 10 000 cm²100 cm · 100 cm |
| ✗ | Área = 15 cmfalta el cuadrado: un área va en cm² |
| ✗ | 1 m² = 100 cm²eso vale para 1 m = 100 cm; en superficie el factor es 100 · 100 |
| ✗ | 2 m · 40 cm = 80 m²se han mezclado unidades: son 0,8 m² |
05Rectángulo y cuadrado
En un rectángulo caben tantas filas de cuadraditos como mide la altura, y en cada fila tantos como mide la base. Por eso su área es A = base · altura.
Una tableta de 24 cm por 16 cm tiene una pantalla de 24 · 16 = 384 cm², y un borde de 24 + 16 + 24 + 16 = 80 cm.
El cuadrado es un rectángulo con base y altura iguales: A = lado · lado = lado². Un cuadrado de 11 cm de lado tiene 11² = 121 cm² de área y 4 · 11 = 44 cm de perímetro.
| ✓ | Cuadrado de lado 9 cm: A = 81 cm²9² = 9 · 9 |
| ✗ | Cuadrado de lado 9 cm: A = 36 cm²9 · 4 = 36 es el perímetro, y va en cm |
| ✗ | Rectángulo de 24 × 16 cm: A = 40 cm²se han sumado los lados: el área es 24 · 16 = 384 cm² |
06Paralelogramo y romboide
Un romboide es un paralelogramo con los lados contiguos desiguales y sin ángulos rectos. Si cortas el triángulo de un extremo y lo pegas en el otro, se convierte en un rectángulo con la misma base y la misma altura. Así que su área también es A = base · altura.
La altura es la distancia perpendicular entre las dos bases, no el lado inclinado. En un romboide de base 10 cm, lado inclinado 6 cm y altura 5 cm: A = 10 · 5 = 50 cm². Para el perímetro sí se usan los lados: 10 + 6 + 10 + 6 = 32 cm.
| ✓ | Base 10 cm, altura 5 cm: A = 50 cm²base por la altura perpendicular |
| ✗ | Base 10 cm, lado 6 cm: A = 60 cm²el lado inclinado no es la altura; inclinar los lados no añade superficie |
| ✗ | La altura del romboide mide más que su lado inclinadola perpendicular es el camino más corto entre las bases |
07Triángulo
Corta un paralelogramo por una diagonal: salen dos triángulos iguales. Cada uno tiene la misma base y la misma altura que el paralelogramo y la mitad de su área: A = base · altura / 2.
Un triángulo de base 14 cm y altura 9 cm: 14 · 9 = 126, y 126 : 2 = 63 cm². En un triángulo rectángulo, los dos lados del ángulo recto (los catetos) son base y altura: con catetos de 10 cm y 7 cm, A = 10 · 7 : 2 = 35 cm².
En un triángulo obtusángulo, la altura sobre el lado corto cae fuera: hay que prolongar la base con una línea de puntos y medir la perpendicular hasta ella. La fórmula es la misma: base 4 cm y altura 7 cm dan 4 · 7 : 2 = 14 cm².
| ✓ | Base 14 cm, altura 9 cm: A = 63 cm²14 · 9 : 2 |
| ✗ | Base 14 cm, altura 9 cm: A = 126 cm²falta dividir entre 2: eso es el paralelogramo entero |
| ✗ | Usar como altura un lado que no es perpendicular a la basesalvo en el rectángulo, ningún lado es la altura |
| ✗ | Un obtusángulo no tiene altura porque cae fuerala tiene: se prolonga la base y se mide igual |
08Rombo
Las dos diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto y por la mitad. Si dibujas el rectángulo que lo envuelve, mide diagonal mayor por diagonal menor, y el rombo ocupa justo la mitad. Por eso A = D · d / 2.
Un rombo con diagonales de 48 cm y 14 cm y lado de 25 cm: A = 48 · 14 : 2 = 672 : 2 = 336 cm². Como sus cuatro lados son iguales, P = 4 · 25 = 100 cm.
| ✓ | D = 48 cm, d = 14 cm: A = 336 cm²producto de diagonales entre 2 |
| ✗ | D = 48 cm, d = 14 cm: A = 672 cm²eso es el rectángulo que lo envuelve: falta dividir entre 2 |
| ✗ | Lado 25 cm: A = 25² = 625 cm²lado al cuadrado solo sirve en el cuadrado; el rombo está «aplastado» |
09Trapecio
Un trapecio tiene dos lados paralelos, la base mayor B y la base menor b, a una distancia h. Pon al lado una copia girada media vuelta: juntos forman un paralelogramo de base B + b y altura h. El trapecio es la mitad: A = (B + b) · h / 2.
Con B = 12 cm, b = 6 cm y h = 5 cm: primero el paréntesis, 12 + 6 = 18; luego 18 · 5 = 90; y 90 : 2 = 45 cm².
| ✓ | (12 + 6) · 5 : 2 = 45 cm²se suman las bases antes de multiplicar |
| ✗ | 12 + 6 · 5 : 2 = 27 cm²sin paréntesis solo se multiplica la base menor |
| ✗ | Usar el lado no paralelo como alturala altura es la perpendicular entre las bases |
10Polígonos regulares
Un polígono regular tiene todos los lados y ángulos iguales. Uniendo el centro con cada vértice se parte en tantos triángulos iguales como lados tiene. La base de cada triángulo es un lado y su altura, la apotema: el segmento que va del centro al punto medio de un lado.
Si hay n triángulos, el área es n · lado · apotema / 2, y n · lado es el perímetro. Queda A = perímetro · apotema / 2.
Un octógono regular de lado 10 cm y apotema 12 cm: P = 8 · 10 = 80 cm y A = 80 · 12 : 2 = 480 cm². Un hexágono regular de lado 8 cm y apotema 6,9 cm: P = 48 cm y A = 48 · 6,9 : 2 = 165,6 cm².
| ✓ | Hexágono: A = 48 · 6,9 : 2 = 165,6 cm²perímetro por apotema entre 2 |
| ✗ | Hexágono: A = 48 · 8 : 2 = 192 cm²en el hexágono el radio (centro-vértice) mide lo que el lado, 8 cm, pero no es la apotema |
| ✗ | Octógono: A = 80 · 12 = 960 cm²cada triángulo es b · h / 2: falta dividir entre 2 |
11Polígonos irregulares
Si la figura no tiene fórmula, se trocea en figuras conocidas y se suman sus áreas, o se completa hasta una figura conocida y se resta lo que sobra.
Un salón en forma de L ocupa un rectángulo de 8 m × 5 m al que le falta una esquina de 3 m × 2 m. Restando: 8 · 5 − 3 · 2 = 40 − 6 = 34 m². Troceando en dos franjas: 8 · 3 = 24 m² abajo y (8 − 3) · 2 = 10 m² arriba, total 34 m². Por los dos caminos sale lo mismo: es la mejor comprobación.
La fachada de una caseta es un rectángulo de 6 m × 4 m con un tejado triangular de 6 m de base y 3 m de altura: 24 + 6 · 3 : 2 = 24 + 9 = 33 m².
| ✓ | Salón en L: 40 − 6 = 34 m²rectángulo completo menos la esquina que falta |
| ✗ | Salón en L: 8 · 3 + 8 · 2 = 40 m²la franja de arriba mide 8 − 3 = 5 m, no 8: se ha contado la esquina que no existe |
| ✗ | Trocear de forma que dos trozos se solapenesa zona se suma dos veces |
12Perímetros de polígonos
El perímetro siempre es la suma de todos los lados. En un polígono regular basta con n · lado: un pentágono regular de 9 cm de lado mide 5 · 9 = 45 cm de contorno. En un triángulo isósceles de lados 13, 13 y 10 cm, P = 36 cm.
En figuras compuestas, a veces hay que deducir lados que no te dan. En el salón en L, los lados son 8, 3, 3, 2, 5 y 5 m: el escalón de 3 m sale de restar 8 − 5, y el de 2 m, de 5 − 3. Total: 26 m.
Curiosidad: el salón mide de borde lo mismo que el rectángulo completo de 8 × 5, porque 2 · (8 + 5) = 26 m. Quitar la esquina reduce el área, pero no el perímetro.
| ✓ | Pentágono regular de lado 9 cm: P = 45 cm5 lados iguales: 5 · 9 |
| ✗ | Contar solo los lados que vienen con númerolos que faltan se deducen y también cuentan |
| ✗ | Menos área implica menos perímetroel salón en L tiene menos área que el rectángulo y el mismo borde |
13Al doblar los lados
Si duplicas todas las medidas de una figura, el perímetro se duplica, pero el área se multiplica por 4: la figura es el doble de ancha y el doble de alta, y caben cuatro copias de la original.
Un rectángulo de 5 × 2 cm tiene P = 14 cm y A = 10 cm². El de 10 × 4 cm tiene P = 28 cm, el doble, y A = 40 cm², cuatro veces más. Si triplicas, el área se multiplica por 3 · 3 = 9: con 15 × 6 cm salen 90 cm².
| ✓ | Doble de lado → doble de perímetro14 cm pasa a 28 cm |
| ✗ | Doble de lado → doble de áreael área se multiplica por 2 · 2 = 4: de 10 a 40 cm² |
| ✗ | Triple de lado → triple de árease multiplica por 3 · 3 = 9 |
14Resolver problemas
Pregúntate primero si te piden un borde (perímetro: vallas, cintas, rodapiés) o una superficie (área: pintura, suelo, césped). Haz un dibujo con las medidas y pásalas todas a la misma unidad.
Pintar una pared de 5 m × 2,6 m con una puerta de 0,8 m × 2 m: 5 · 2,6 = 13 m², menos 0,8 · 2 = 1,6 m², quedan 11,4 m². Si cada bote cubre 6 m², con una mano bastan 2 botes (11,4 : 6 = 1,9); con dos manos son 22,8 m² y hacen falta 4.
Baldosas: un suelo de 3,2 m × 2,4 m con baldosas cuadradas de 40 cm. Caben 320 : 40 = 8 a lo largo y 240 : 40 = 6 a lo ancho, 8 · 6 = 48 baldosas. Comprobación: 7,68 m² : 0,16 m² = 48.
Terreno: una parcela en forma de trapecio con bases de 30 m y 20 m separadas 16 m mide (30 + 20) · 16 : 2 = 400 m². Sembrar césped a 3 € el m² cuesta 400 · 3 = 1 200 €.
15Para recordar
- Perímetro: suma de los lados, en cm. Área: superficie interior, en cm².
- Mismo perímetro no implica misma área, ni al revés.
- Rectángulo: b · h; cuadrado: l²; romboide: b · h; triángulo: b · h / 2.
- Rombo: D · d / 2; trapecio: (B + b) · h / 2; polígono regular: P · a / 2.
- La altura es siempre perpendicular a la base, nunca el lado inclinado.
- Irregulares: trocear y sumar, o completar y restar.
- Lados × 2 → perímetro × 2 y área × 4.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre perímetro y área?
El perímetro es lo que mide el borde de la figura y se da en cm o m. El área es lo que ocupa por dentro y se da en cm² o m².
¿Si dos figuras tienen el mismo perímetro, tienen la misma área?
No. Un rectángulo de 11 × 1 cm y un cuadrado de 6 cm de lado miden los dos 24 cm de borde, pero encierran 11 cm² y 36 cm².
¿Por qué el área se mide en cm²?
Porque cuenta cuántos cuadraditos de 1 cm de lado caben dentro de la figura. Un cm² es la superficie de uno de esos cuadraditos.
¿Cómo se calcula el área de un triángulo?
Se multiplica la base por la altura y se divide entre 2: A = b · h / 2. Un triángulo es la mitad de un paralelogramo con su misma base y altura.
¿La altura de un romboide es su lado inclinado?
No. La altura es la distancia perpendicular entre las dos bases, y siempre es más corta que el lado inclinado.
¿Cómo se calcula el área de un trapecio?
Se suman las dos bases, se multiplica por la altura y se divide entre 2: A = (B + b) · h / 2.
¿Qué es la apotema de un polígono regular?
Es el segmento que va del centro al punto medio de un lado, perpendicular a él. Con ella, el área es perímetro · apotema / 2.
¿Si duplico el lado de un cuadrado, se duplica el área?
No, se multiplica por 4: el cuadrado nuevo tiene el doble de ancho y el doble de alto. El perímetro, en cambio, sí se duplica.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: