Múltiplos, divisores y números primos

Tienes 12 sillas y quieres colocarlas en filas iguales, sin que sobre ninguna. Se puede con filas de 1, 2, 3, 4, 6 o 12 sillas, pero no con filas de 5: sobrarían 2. Esos números que reparten el 12 sin resto son sus divisores.

Un número a es divisor de b si la división b : a es exacta, con resto 0. Entonces b es múltiplo de a, y también se dice que b es divisible por a. Las tres frases cuentan lo mismo: 3 · 4 = 12, así que 3 es divisor de 12, 12 es múltiplo de 3 y 12 es divisible por 3.

Los múltiplos de un número a salen de multiplicarlo por 0, 1, 2, 3…: a · k. Los de 5 son 0, 5, 10, 15, 20… y no se acaban nunca. Para abreviar, «múltiplo de 7» se escribe 7̇ (un punto encima), y decir que 35 es múltiplo de 7 es escribir 35 = 7̇.

Los divisores, en cambio, son pocos y nunca mayores que el número. El 1 divide a todos y cada número se divide a sí mismo: por eso todo número a es múltiplo de sí mismo (a · 1 = a).

Antes de decidir, haz la división (o piensa la multiplicación) y mira el resto.

Con números grandes, dividir cuesta. Los criterios dicen si una división es exacta solo mirando las cifras:

Por 2: la última cifra es par (0, 2, 4, 6, 8). Por 5: termina en 0 o en 5. Por 10: termina en 0. Por 4: sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4 (o son 00).

Por 3: la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Por 9: la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Por 6: es divisible por 2 y por 3 a la vez.

Por 11: suma las cifras de los lugares impares y, aparte, las de los pares (contando desde la derecha); si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, lo es. Con 7 392: (2 + 3) − (9 + 7) = −11, así que 7 392 es divisible por 11.

Los criterios también sirven al revés: ¿qué cifra hay que poner en el hueco para que el número sea divisible? Se prueban las cifras del 0 al 9 con el criterio, o se razona cuánto falta.

Con el 3 y el 9: en 7□4 las cifras conocidas suman 7 + 4 = 11. Para que sea múltiplo de 3 la suma tiene que llegar a 12, 15 o 18, así que la cifra es 1, 4 o 7. Para que sea múltiplo de 9 solo vale 18: la cifra es 7, y 774 = 9 · 86.

Con el 4 solo importan las dos últimas cifras: en 61□ hay que formar un múltiplo de 4 que empiece por 1, que son 12 y 16, así que la cifra es 2 o 6. Con el 5, la última cifra solo puede ser 0 o 5.

Los divisores van por parejas: si 100 : 4 = 25, tanto 4 como 25 son divisores de 100. Divide entre 1, 2, 3… y apunta cada pareja divisor-cociente. Para cuando el cociente sea igual o menor que el divisor: ya no saldrá nada nuevo.

Con 100: 1 · 100, 2 · 50, 4 · 25, 5 · 20, 10 · 10. El 3, el 6, el 7, el 8 y el 9 no sirven, y en 10 · 10 los dos coinciden, así que paramos. Div(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

Un número primo tiene exactamente dos divisores: el 1 y él mismo. Un número compuesto tiene más de dos. Volviendo a las sillas, 7 sillas solo se colocan en una fila de 7 o en 7 filas de 1: el 7 es primo.

Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. Hay infinitos: el griego Euclides ya lo demostró hace más de 2 000 años. El 0 y el 1 no son ni primos ni compuestos.

Para encontrar los primos hasta 100 hay un método de hace más de 2 200 años. Escribe los números del 2 al 100. El primero sin tachar, el 2, es primo: rodéalo y tacha todos sus múltiplos. El siguiente sin tachar, el 3, es primo: tacha sus múltiplos. Repite con 5 y 7.

Tras el 7 ya no queda nada por tachar, porque 11 · 11 = 121 se pasa de 100. Lo que sobrevive son los 25 primos menores que 100.

Para saber si un número grande es primo no hace falta probar todos los divisores: basta probar los primos hasta su raíz cuadrada. Si n = a · b con a ≤ b, entonces a · a ≤ n, es decir, a ≤ √n: el divisor más pequeño nunca pasa de √n.

Con 197: 14² = 196, así que se prueban 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Ninguno lo divide (197 : 7 da resto 1, 197 : 11 da resto 10 y 197 : 13 da resto 2): 197 es primo.

Con 187: el 2, el 3, el 5 y el 7 no lo dividen, pero 187 : 11 = 17 es exacta. Así que 187 = 11 · 17 es compuesto, y se para en cuanto aparece un divisor.

Todo número compuesto se puede escribir como un producto de primos, y de una sola manera (salvo el orden). Para hallarlo, divide entre el primo más pequeño que puedas y repite con el cociente hasta llegar a 1. Los primos que vas usando, a la derecha de la raya, son los factores.

Ejemplo con 180: 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1. Por tanto 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2² · 3² · 5.

Hay otra forma de factorizar: el árbol. Parte el número en dos factores cualesquiera, los que veas a simple vista, y sigue partiendo cada rama que no sea prima. Cuando todas las puntas son primos, has terminado.

Con 360 = 36 · 10: el 36 se parte en 4 · 9, el 4 en 2 · 2, el 9 en 3 · 3 y el 10 en 2 · 5. Las puntas son 2, 2, 3, 3, 2 y 5, así que 360 = 2³ · 3² · 5. Si empiezas por 8 · 45 sale lo mismo: la factorización es única, solo cambia el camino.

La descomposición en primos dice mucho sin dividir. Un divisor usa algunos de los factores primos del número, y no más veces de las que aparecen. Un múltiplo los contiene todos, y puede traer más.

Con 330 = 2 · 3 · 5 · 11: 22 = 2 · 11 es divisor, porque el 2 y el 11 están en 330. 15 = 3 · 5 también. Pero 9 = 3 · 3 no lo es: el 3 aparece solo una vez en 330. Y 8 = 2 · 2 · 2 tampoco: solo hay un 2.

Al revés: 330 es múltiplo de 15 porque contiene su 3 y su 5. No es múltiplo de 12 = 2 · 2 · 3, porque le falta un segundo 2.

La descomposición también escribe todos los divisores sin olvidar ninguno. Con 150 = 2 · 3 · 5²: del 2 puedes tomar 1 o 2 (2⁰ o 2¹); del 3, 1 o 3; del 5, 1, 5 o 25 (5⁰, 5¹ o 5²).

Se combinan las opciones factor a factor. Con el 2: 1, 2. Al añadir el 3, cada uno se queda y se multiplica por 3: 1, 2, 3, 6. Al añadir el 5 se repite con ×5 y ×25: 5, 10, 15, 30 y 25, 50, 75, 150. En total, 12 divisores.

Para contarlos sin escribirlos: suma 1 a cada exponente y multiplica. 150 = 2¹ · 3¹ · 5², así que (1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 12.

El m.c.d. de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Con 28 y 42: los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7, 14 y 28; los de 42, 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Los comunes son 1, 2, 7 y 14, y el mayor es 14: m.c.d.(28, 42) = 14.

Con números grandes es más rápido descomponer: se toman los factores comunes con el menor exponente. 28 = 2² · 7 y 42 = 2 · 3 · 7, así que m.c.d. = 2 · 7 = 14: del 2 se toma el menor exponente, y el 3 no entra porque no es común.

Si el m.c.d. es 1, los números son primos entre sí, aunque ninguno sea primo: 8 y 15 lo son.

El m.c.m. de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, sin contar el 0. Con 4 y 6: los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24…; los de 6, 6, 12, 18, 24… Coinciden en 12, 24, 36…, y el menor es 12: m.c.m.(4, 6) = 12.

Descomponiendo, se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. 4 = 2² y 6 = 2 · 3, así que m.c.m. = 2² · 3 = 12.

Comprobación útil con dos números: m.c.d. · m.c.m. = producto de los dos. Con 4 y 6: 2 · 12 = 24 = 4 · 6.

Con tres números o más, el procedimiento es el mismo. Con 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² y 30 = 2 · 3 · 5: el m.c.d. toma los factores comunes a los tres con el menor exponente, 2 · 3 = 6; el m.c.m. toma todos con el mayor exponente, 2² · 3² · 5 = 180.

Hay atajos. Si un número es múltiplo del otro, el m.c.d. es el menor y el m.c.m. el mayor: con 12 y 60, m.c.d. = 12 y m.c.m. = 60, porque 60 = 12 · 5. Y si no comparten ningún factor (son primos entre sí), el m.c.d. es 1 y el m.c.m. es su producto: m.c.m.(8, 15) = 120.

Pregúntate si el resultado debe ser más pequeño que los datos (repartir, cortar, agrupar) o más grande (volver a coincidir).

Repartir: tienes 18 bombones y 24 caramelos y quieres hacer bolsas iguales, las máximas posibles, sin que sobre nada. Buscas un divisor de 18 y de 24, el mayor: m.c.d.(18, 24) = 6 bolsas, cada una con 3 bombones y 4 caramelos.

Coincidir: un faro se enciende cada 6 segundos y otro cada 8. Si se encienden a la vez, buscas un múltiplo de 6 y de 8, el menor: m.c.m.(6, 8) = 24, así que vuelven a coincidir a los 24 segundos.

A veces lo que importa es el resto. Los días de la semana se repiten cada 7: si hoy es martes, dentro de 100 días será martes más 100 : 7 = 14 semanas completas y resto 2, es decir, jueves. Los años bisiestos son igual de regulares: son múltiplos de 4, salvo los de siglo que no sean múltiplos de 400.

Otro problema típico: «¿qué número deja resto 3 al dividirlo entre 6 y entre 8?». El número menos 3 tiene que ser múltiplo de 6 y de 8: m.c.m.(6, 8) = 24, así que el número es 24 + 3 = 27. Se comprueba: 27 : 6 = 4 resto 3 y 27 : 8 = 3 resto 3. Los siguientes son 51, 75…

Contar todas las formas de repartir es contar divisores. ¿De cuántas maneras se pueden hacer equipos iguales con 36 alumnos, sin que sobre nadie? Los divisores de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36: 9 formas (equipos de 1, de 2, de 3… y uno solo de 36). Si el equipo tiene que tener al menos dos y no ser toda la clase, quedan 7.

Si el reparto es mixto, cada equipo lleva de las dos clases. Con 24 chicas y 36 chicos, en equipos iguales y sin que nadie quede fuera, el número de equipos divide a 24 y a 36. El máximo es m.c.d.(24, 36) = 12 equipos, con 2 chicas y 3 chicos en cada uno.

19Para recordar

• a es divisor de b ⇔ b : a es exacta ⇔ b es múltiplo de a.
• Múltiplos: infinitos. Divisores: pocos, del 1 al propio número.
• Por 2: cifra par · por 3: suma de cifras · por 5: 0 o 5 · por 10: 0.
• Primo: exactamente dos divisores. El 1 no es primo; el 2 es el único primo par.
• Factorizar: dividir entre primos hasta llegar a 1.
• Con el árbol o con divisiones, siempre salen los mismos primos. Un divisor usa algunos de esos primos; un múltiplo, todos.
• ¿Primo? Se prueban los primos hasta la raíz cuadrada.
• m.c.d.: comunes con el menor exponente (repartir). m.c.m.: comunes y no comunes con el mayor (coincidir).
• Si uno es múltiplo del otro: m.c.d. = el menor, m.c.m. = el mayor. Primos entre sí: m.c.d. = 1.