Los números naturales

01Qué son

Los números naturales son los que usamos para contar y ordenar: 3 hermanos, el 1.º de la fila. Se escriben 0, 1, 2, 3, 4… y se representan con el símbolo ℕ.

Siempre hay un siguiente: si n es natural, n + 1 también lo es. Por eso la lista no termina nunca. «Natural» no quiere decir «pequeño»: 7 000 000 también lo es.

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02Qué es y qué no es natural

Para decidir, pregúntate: ¿sirve para contar objetos enteros? Si hay signo menos, coma o fracción, no es natural.

03Sistema decimal

Escribimos con diez cifras (0–9) y el valor de cada una depende de su posición: cada lugar vale diez veces el de su derecha. Por eso se llama decimal: se agrupa de diez en diez.

Los órdenes, de derecha a izquierda, son unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar y unidades de millón. Descomponer es decir lo que vale cada cifra: 47 208 = 4·10 000 + 7·1 000 + 2·100 + 0·10 + 8.

El cero cuenta: en 305 indica que no hay decenas, y sin él 35 sería otro número. Los números de más de cuatro cifras se escriben con un espacio cada tres, desde la derecha: 1 250 000.

04Números grandes

Un millón es 1 con seis ceros; un billón, un millón de millones, es 1 con doce ceros. En inglés, billion son solo mil millones, así que ojo con las traducciones.

Para leer un número grande, sepáralo de tres en tres desde la derecha: 3 040 500 se lee «tres millones cuarenta mil quinientos».

05Otros sistemas de numeración

Hubo otras formas de escribir números. El sistema egipcio es aditivo: cada símbolo vale siempre lo mismo y se suman, sin importar el orden. El maya es posicional por niveles que valen 20 veces más cada uno, con la concha para el 0, el punto para el 1 y la raya para el 5.

El nuestro gana porque la posición y el cero permiten escribir cualquier número con solo diez cifras.

06Números romanos

Los romanos usaban letras: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1 000. Se leen de izquierda a derecha sumando, salvo que una letra vaya delante de otra mayor: entonces resta.

I, X, C y M se repiten como mucho tres veces seguidas; V, L y D nunca. Solo restan I (ante V o X), X (ante L o C) y C (ante D o M). Una raya encima multiplica por 1 000.

Ejemplos: MMXXVI = 1 000 + 1 000 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2026; CDXC = (500 − 100) + (100 − 10) = 490.

07La recta numérica

Cada natural ocupa un punto de la recta, a la misma distancia del anterior. Cuanto más a la derecha, mayor es el número.

08Ordenar y comparar

Se usan < (menor que) y > (mayor que); la boca del símbolo se abre hacia el número mayor: 3 < 9 y 15 > 12. Ordenar 15, 3, 9, 12 y 6 da 3 < 6 < 9 < 12 < 15.

Para comparar números largos, cuenta primero las cifras: el que tiene más es mayor. Si tienen las mismas, compara de izquierda a derecha: 45 872 > 45 827 porque en las decenas 7 > 2.

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09Aproximar: redondear y truncar

Redondear es cambiar un número por el más cercano de un orden dado. Se mira la cifra de la derecha: si es 0, 1, 2, 3 o 4, la anterior se queda; si es 5, 6, 7, 8 o 9, sube una unidad. Las cifras de la derecha pasan a ser ceros.

Truncar es poner ceros a la derecha sin mirar nada. Ejemplo con 2 368: redondeado a las centenas es 2 400, truncado es 2 300; redondeado a las decenas, 2 370.

10Sumar y restar

Sumar es juntar; restar es quitar o ver cuánto falta. Los números de la suma son los sumandos. La suma es conmutativa (5 + 8 = 8 + 5) y asociativa ((5 + 8) + 2 = 5 + (8 + 2)).

En la resta, minuendo − sustraendo = diferencia, y en los naturales el minuendo no puede ser menor que el sustraendo. La resta no es conmutativa: 9 − 4 ≠ 4 − 9, y 4 − 9 ni siquiera es natural.

Prueba de la resta: diferencia + sustraendo = minuendo. Así, 1 205 − 378 = 827 porque 827 + 378 = 1 205. Truco mental: 17 + 28 + 3 = (17 + 3) + 28 = 48.

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11Multiplicar

Multiplicar es sumar repetidamente: 4 · 6 son 4 filas de 6. Los números son los factores y el resultado, el producto. Es conmutativa (4 · 6 = 6 · 4) y asociativa, el 1 no cambia nada y multiplicar por 0 da 0.

La propiedad distributiva dice que a · (b + c) = a · b + a · c. Sirve para calcular de cabeza: 7 · 12 = 7 · (10 + 2) = 70 + 14 = 84. Multiplicar por 10, 100 o 1 000 es añadir uno, dos o tres ceros.

12Dividir

Dividir es repartir en partes iguales. En dividendo : divisor = cociente, lo que sobra es el resto. Siempre se cumple dividendo = divisor · cociente + resto, y el resto es menor que el divisor. Si el resto es 0 la división es exacta; si no, entera.

Ejemplo: 23 : 4 da cociente 5 y resto 3, y se comprueba con 4 · 5 + 3 = 23. Si multiplicas dividendo y divisor por el mismo número, el cociente no cambia.

Fallo típico en la división en caja: si al bajar una cifra el divisor no cabe, hay que poner un 0 en el cociente. 824 : 4 = 206, no 26.

13Jerarquía de las operaciones

Si hay varias operaciones, todos las hacemos en el mismo orden: 1.º paréntesis (y corchetes, de dentro hacia fuera), 2.º potencias y raíces, 3.º multiplicaciones y divisiones, 4.º sumas y restas. Las del mismo nivel, de izquierda a derecha.

Ejemplo: 20 − 3 · (2 + 4) : 2 = 20 − 3 · 6 : 2 = 20 − 18 : 2 = 20 − 9 = 11. Escribe cada paso en una línea.

14Resolver problemas

Lo difícil casi nunca es la cuenta, sino saber cuál hacer. Sigue cuatro pasos: leer dos veces y subrayar datos y pregunta; pensar qué operación pide cada parte; calcular escribiendo qué significa cada resultado; comprobar y responder con una frase.

Pistas: «en total» suele ser sumar, «cuántos más» restar, «veces» multiplicar y «cada uno» dividir. Un resultado sin frase («= 460») vale menos que «Pagan 460 € en total».

Contar combinaciones: un diagrama en árbol ayuda. Con 2 calzados, 2 pantalones y 4 prendas de arriba hay 2 · 2 · 4 = 16 conjuntos.

15Para recordar

• ℕ = {0, 1, 2, 3, …}; todo natural tiene siguiente y todos menos el 0 tienen anterior.
• Diez cifras y valor según la posición; espacio cada tres cifras.
• Romanos: I V X L C D M; delante de una letra mayor, resta.
• Redondear: si la cifra siguiente es 5 o más, sube.
• Dividendo = divisor · cociente + resto, con resto < divisor.
• Orden: paréntesis → potencias y raíces → × y : → + y −.