Las fracciones

01Qué es una fracción

Una tableta de chocolate tiene 12 onzas iguales. Si te comes 5, te has comido 5 de las 12 partes: 5/12 de la tableta. Una fracción cuenta trozos iguales de algo que se ha partido.

En una fracción a/b, el denominador b dice en cuántas partes iguales se divide la unidad y el numerador a, cuántas de esas partes se toman. El denominador nunca puede ser 0: no se puede partir algo en cero trozos.

Se lee el numerador y después el nombre de las partes: 4/5 «cuatro quintos», 5/8 «cinco octavos», 9/10 «nueve décimos». Con denominadores del 2 al 10 se usan medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos y décimos. A partir del 11 se añade «-avos»: 5/12 «cinco doceavos», 7/16 «siete dieciseisavos».

02Qué es y qué no es una fracción

Para que una fracción tenga sentido, los trozos deben ser iguales y el denominador, distinto de 0.

03Tres maneras de ver una fracción

Como parte de un todo: 5/12 de la tableta son 5 de sus 12 onzas.

Como división: si repartes 3 pizzas entre 4 amigos, a cada uno le toca 3/4 de pizza, que es 3 : 4 = 0,75. Toda fracción es el cociente del numerador entre el denominador.

Como operador, para calcular la fracción de una cantidad: se divide la cantidad entre el denominador y se multiplica por el numerador. En una lista de 60 canciones, 2/5 son de rock: 60 : 5 = 12 y 12 · 2 = 24 canciones.

04Propias, impropias y números mixtos

Si el numerador es menor que el denominador, la fracción es propia y vale menos que 1: 6/13. Si es mayor, es impropia y vale más que 1: 13/6. Si son iguales, vale exactamente 1.

Una impropia se puede escribir como número mixto, un natural más una propia. Divide el numerador entre el denominador: el cociente son las unidades enteras y el resto, las partes que sobran. 17 : 5 da cociente 3 y resto 2, así que 17/5 = 3 + 2/5, que se escribe 3 2/5.

Para volver atrás, multiplica las unidades por el denominador y suma el numerador: 3 1/6 = (3 · 6 + 1)/6 = 19/6.

05Fracciones equivalentes

Un tercio de pizza es lo mismo que dos sextos o que cuatro doceavos: 1/3 = 2/6 = 4/12. Son fracciones equivalentes, porque representan la misma cantidad aunque se escriban distinto.

Para obtener una equivalente se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número (amplificar): 2/3 = (2 · 4)/(3 · 4) = 8/12. Partir cada trozo en cuatro da el cuádruple de trozos, cada uno cuatro veces más pequeño.

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se hacen los productos cruzados: a/b = c/d cuando a · d = b · c. Así, 6/9 y 10/15 lo son porque 6 · 15 = 90 y 9 · 10 = 90.

06Simplificar hasta la irreducible

Simplificar es lo contrario de amplificar: se dividen el numerador y el denominador entre un mismo divisor común. 28/70 = 14/35 dividiendo entre 2, y 14/35 = 2/5 dividiendo entre 7.

Más rápido: divide de una vez entre el m.c.d. de los dos términos. Como m.c.d.(28, 70) = 14, 28/70 = 2/5 directamente. Una fracción es irreducible cuando su numerador y su denominador no tienen más divisor común que el 1, como 2/5 o 9/20.

Solo se simplifican factores, nunca sumandos ni cifras sueltas.

07Comparar y ordenar fracciones

Con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador: 5/7 > 3/7, porque son trozos del mismo tamaño y hay más. Con el mismo numerador, es mayor la de menor denominador: 1/5 > 1/8, porque partir en menos trozos los hace más grandes.

Si no coincide nada, se pasan a un denominador común, el m.c.m. de los denominadores. Para ordenar 2/3, 5/8 y 7/12: m.c.m.(3, 8, 12) = 24, y quedan 16/24, 15/24 y 14/24. Por tanto 7/12 < 5/8 < 2/3.

Con dos fracciones también sirve multiplicar en cruz: 5/6 > 4/5 porque 5 · 5 = 25 es mayor que 6 · 4 = 24.

08Fracciones en la recta

Para situar a/b, divide cada unidad de la recta en b partes iguales y cuenta a partes desde el 0. Con 4/7, el tramo de 0 a 1 se parte en 7 y se avanza 4.

Las impropias pasan del 1. Para 7/3, como 7/3 = 2 1/3, se llega al 2 y se avanza un tercio más hacia el 3. Las fracciones negativas, como −2/3, van a la izquierda del 0.

09Sumar y restar fracciones

Con el mismo denominador, se suman o se restan los numeradores y se deja el denominador: 2/9 + 5/9 = 7/9 y 11/12 − 4/12 = 7/12. Son trozos del mismo tamaño: se cuentan y ya está.

Con distinto denominador, primero se pasan a fracciones equivalentes con un denominador común, el m.c.m. de los denominadores. Para 5/6 + 3/8: m.c.m.(6, 8) = 24, 5/6 = 20/24 y 3/8 = 9/24, así que la suma es 29/24. Para 7/10 − 2/15: m.c.m.(10, 15) = 30, y queda 21/30 − 4/30 = 17/30.

Un natural es una fracción de denominador 1: 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5. La suma de fracciones es conmutativa y asociativa, como la de naturales.

10Multiplicar fracciones

Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador: 2/3 · 5/7 = 10/21. Para multiplicar un natural por una fracción, se multiplica solo el numerador: 4 · 2/9 = 8/9, que son cuatro veces dos novenos.

Multiplicar es tomar una fracción de otra: la tercera parte de 3/4 de pizza es 1/3 · 3/4 = 3/12 = 1/4. Por eso «2/3 de 5/7» es lo mismo que 2/3 · 5/7.

Conviene simplificar antes de multiplicar, cruzando factores: en 6/35 · 14/9, el 6 y el 9 se dividen entre 3, y el 14 y el 35 entre 7. Queda 2/5 · 2/3 = 4/15, sin números grandes.

11La inversa y la división

La inversa de una fracción se obtiene cambiando el numerador por el denominador: la inversa de 2/7 es 7/2, y la de 5 es 1/5. Una fracción por su inversa da 1: 2/7 · 7/2 = 14/14 = 1. El 0 no tiene inversa.

Dividir entre una fracción es multiplicar por su inversa: 3/4 : 5/8 = 3/4 · 8/5 = 24/20 = 6/5. Es lo mismo que multiplicar en cruz: 3 · 8 arriba y 4 · 5 abajo.

Dividir responde a «¿cuántas veces cabe?». Una cinta de 9 m se corta en trozos de 3/4 m: 9 : 3/4 = 9 · 4/3 = 36/3 = 12 trozos.

12Operaciones combinadas

Con fracciones se sigue la jerarquía de siempre: paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas. Simplifica cada resultado intermedio.

Sin paréntesis: 1/3 + 5/6 · 2/5 = 1/3 + 10/30 = 1/3 + 1/3 = 2/3. Con paréntesis cambia todo: (1/3 + 5/6) · 2/5 = 7/6 · 2/5 = 14/30 = 7/15.

13Fracciones negativas

Si el numerador o el denominador son negativos, la fracción es negativa y se aplica la regla de los signos: (−2)/9 = 2/(−9) = −2/9, y (−6)/(−7) = 6/7. Se suele dejar el denominador positivo y el signo delante.

Se opera igual que con las positivas, cuidando los signos: −1/2 + 1/3 = −3/6 + 2/6 = −1/6, y (−2/5) · (−3/4) = 6/20 = 3/10. En la recta, −1/2 está a la izquierda del 0, y −1/2 < −1/3, porque está más lejos del 0.

14Resolver problemas

Decide siempre de qué es la fracción: del total o de lo que queda. Y responde con una frase.

Del total: gastas 1/4 de tu paga en un libro y 2/5 en el cine. Has gastado 1/4 + 2/5 = 5/20 + 8/20 = 13/20, así que te quedan 7/20. Si la paga es de 40 €, te quedan 40 : 20 · 7 = 14 €.

De lo que queda: en una excursión de 18 km, el primer día se recorren 2/3 y el segundo, la mitad de lo que falta. 2/3 de 18 son 12 km y faltan 6; la mitad de 6 son 3 km. Al final quedan 3 km, que son 1/6 de la ruta.

Hacia atrás: si 3/8 de un camino son 15 km, 1/8 son 15 : 3 = 5 km y el camino entero mide 5 · 8 = 40 km.

15Para recordar

• a/b: la unidad se parte en b partes iguales y se toman a. El denominador nunca es 0.
• Fracción de una cantidad: se divide entre el denominador y se multiplica por el numerador.
• Equivalentes: a/b = c/d si a · d = b · c. Se simplifica dividiendo entre el m.c.d.
• Comparar, sumar y restar: denominador común con el m.c.m.
• Multiplicar: arriba por arriba y abajo por abajo. Dividir: multiplicar por la inversa.
• Impropia = número mixto: 17/5 = 3 2/5 = 3 + 2/5.