Potencias y raíces cuadradas

01Qué es una potencia

Dobla una hoja por la mitad: tienes 2 capas. Vuelve a doblarla: 4. Otra vez: 8. Tras 5 dobleces hay 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32 capas. Para no escribir tantos doses se usa una potencia: 2⁵ = 32.

Una potencia aⁿ es un producto de n factores iguales a a. El número que se repite es la base y el pequeño de arriba, el exponente, que dice cuántas veces se repite. Así, 5⁴ = 5 · 5 · 5 · 5 = 625: base 5, exponente 4.

Se lee «5 elevado a 4» o «5 a la cuarta». Con exponente 2 se dice «al cuadrado» y con 3, «al cubo».

02Qué es y qué no es

El error más típico es multiplicar la base por el exponente. Escribe siempre los factores si dudas.

03Cuadrados y cubos

Un cuadrado de 4 baldosas de lado tiene 4 · 4 = 4² = 16 baldosas. Por eso la potencia de exponente 2 se llama cuadrado: es el área de un cuadrado. Los primeros cuadrados son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.

Un cubo de 3 cubitos de arista tiene 3 · 3 · 3 = 3³ = 27 cubitos. La potencia de exponente 3 es el cubo: el volumen de un cubo. Los primeros cubos son 1, 8, 27, 64 y 125.

04Potencias de 1, de 0 y de exponente 0

El 1 elevado a cualquier exponente da 1: 1⁸ = 1 · 1 · … · 1 = 1. El 0 elevado a cualquier exponente que no sea 0 da 0: 0⁵ = 0.

Cualquier número distinto de 0 elevado a 0 vale 1: 7⁰ = 1, 2 026⁰ = 1. Tiene sentido: 7³ : 7³ = 1 y, restando exponentes, 7³ : 7³ = 7⁰. Y cualquier número elevado a 1 es él mismo: 9¹ = 9.

05Potencias de 10

Las potencias de 10 son un 1 seguido de tantos ceros como indica el exponente: 10² = 100, 10³ = 1 000, 10⁶ = 1 000 000. Sirven para escribir números enormes sin errores: un año tiene unos 3 · 10⁷ segundos.

Con ellas se descompone cualquier número según sus cifras: 6 928 = 6 · 10³ + 9 · 10² + 2 · 10 + 8.

06Operar con potencias de la misma base

Para multiplicar potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes: 3² · 3³ = (3 · 3) · (3 · 3 · 3) = 3⁵. Para dividirlas, se restan: 5⁷ : 5⁴ = 5³, porque se simplifican cuatro cincos.

Para elevar una potencia a otra, se multiplican los exponentes: (2³)² = 2³ · 2³ = 2⁶. Y si la base es un producto, cada factor se eleva: (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1 000.

07Raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación contraria a elevar al cuadrado. Si un cuadrado tiene 49 baldosas, su lado mide √49 = 7, porque 7² = 49. En general, √a = b quiere decir que b² = a. El signo √ se llama radical y el número de dentro, radicando.

Los números como 49, que son el cuadrado de un natural, se llaman cuadrados perfectos y su raíz es exacta. Con 12 baldosas no se puede formar un cuadrado: el más grande es de 3 × 3 y sobran 3. El 12 no es un cuadrado perfecto.

08Raíz cuadrada entera

Si el número no es un cuadrado perfecto, se calcula su raíz entera: el mayor número cuyo cuadrado no se pasa. Lo que falta hasta el número es el resto.

Ejemplo con 30: 5² = 25 cabe, pero 6² = 36 se pasa. La raíz entera de 30 es 5 y el resto es 30 − 25 = 5. Se comprueba como la división: 30 = 5² + 5. El resto nunca llega a 2 · raíz + 1, porque entonces cabría el cuadrado siguiente.

09Raíz cúbica

Igual que el cuadrado tiene su raíz, el cubo también: la raíz cúbica de 8 es 2 porque 2³ = 8, y se escribe ∛8 = 2. El 3 pequeño es el índice. Si un cubo está hecho de 27 cubitos, su arista mide ∛27 = 3.

10Potencias en la jerarquía

Las potencias y raíces van después de los paréntesis y antes que multiplicar y dividir. En 2 + 3² primero se eleva: 2 + 9 = 11.

11Para recordar

• aⁿ = a · a · … · a (n factores); base a, exponente n.
• a² es el cuadrado (área) y a³ el cubo (volumen).
• a⁰ = 1 (a ≠ 0), a¹ = a, 1ⁿ = 1, 0ⁿ = 0.
• 10ⁿ = 1 seguido de n ceros.
• Misma base: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
• √a = b ⇔ b² = a; si no es exacta, raíz entera y resto.