Mates en AcciónEcuaciones de primer grado
Una ecuación es una igualdad con una incógnita que solo se cumple para algunos valores, sus soluciones. Es de primer grado si la incógnita no está elevada.
Qué es una ecuación y su solución, cómo se resuelve paso a paso (paréntesis, denominadores, agrupar y despejar), cuándo no tiene solución o tiene infinitas, y cómo resolver problemas con ella.
01Un número escondido
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02Qué es una ecuación
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones con al menos una letra que solo se cumple para algunos valores de esa letra. La letra es la incógnita, que quiere decir «lo que no se conoce».
En 5x − 4 = 2x + 11, lo que está a la izquierda del igual, 5x − 4, es el primer miembro, y lo de la derecha, 2x + 11, el segundo miembro. Cada sumando es un término: 5x, −4, 2x y 11. El grado es el mayor exponente de la incógnita; aquí es 1, así que es una ecuación de primer grado.
La solución es el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad. En este caso es x = 5: el primer miembro vale 5 · 5 − 4 = 21 y el segundo, 2 · 5 + 11 = 21. Resolver una ecuación es encontrar su solución.
03Qué es y qué no es una ecuación
Busca dos cosas: un signo igual y una incógnita que no se cumpla con cualquier número.
| ✓ | x + 6 = 15igualdad con incógnita; solo vale x = 9 |
| ✓ | 4y − 1 = 3y + 2la incógnita es y, a los dos lados; solo vale y = 3 |
| ✓ | x² = 49es una ecuación, pero de segundo grado: la incógnita está al cuadrado |
| ✗ | 9 + 3 = 12no hay incógnita: es una igualdad numérica |
| ✗ | 3x + 5no hay signo igual: es una expresión algebraica |
| ✗ | 2(x + 1) = 2x + 2se cumple para cualquier x: es una identidad |
04Comprobar una solución
Para saber si un número es solución, sustitúyelo en cada miembro por separado, calcula los dos y compara. No lo sustituyas en uno solo.
Con 11 − x = 3x − 1: si x = 2, el primer miembro vale 11 − 2 = 9 y el segundo, 3 · 2 − 1 = 5. No coinciden, así que 2 no es solución. Si x = 3, salen 11 − 3 = 8 y 3 · 3 − 1 = 8: x = 3 sí es solución.
| ✓ | x = 3 en 11 − x = 3x − 1los dos miembros valen 8 |
| ✓ | x = −2 en 3x + 10 = 43 · (−2) + 10 = −6 + 10 = 4 |
| ✓ | x = 4 en x/2 + 1 = 34/2 + 1 = 2 + 1 = 3 |
| ✗ | x = 2 en 11 − x = 3x − 1salen 9 y 5: no coinciden |
| ✗ | x = 7 en 2x = 72 · 7 = 14; la solución es 7/2 = 3,5 |
05Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Por ejemplo, x + 4 = 11, 2x + 8 = 22 y x = 7 son equivalentes: las tres se cumplen con x = 7 y con ningún otro número.
Resolver una ecuación consiste en ir cambiándola por otras equivalentes cada vez más sencillas, hasta llegar a una que diga directamente cuánto vale la incógnita, como x = 7.
| ✓ | 4x = 24 y x = 6las dos tienen la solución 6 |
| ✗ | x − 2 = 5 y x = 3x − 2 = 5 se cumple con 7, no con 3 |
06La balanza
Una ecuación es como una balanza en equilibrio: lo que hay en un plato pesa lo mismo que lo del otro. En un plato hay 3 bolsas iguales de canicas y 2 canicas sueltas; en el otro, 17 canicas. Si b son las canicas de una bolsa, 3b + 2 = 17.
Si quitas 2 canicas de cada plato, sigue en equilibrio: 3b = 15. Si ahora repartes cada plato en 3 partes iguales y te quedas con una, también: b = 5. Cada bolsa tiene 5 canicas.
De ahí salen las dos reglas. Regla de la suma: se puede sumar o restar el mismo número (o la misma expresión) a los dos miembros. Regla del producto: se pueden multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo número, siempre que no sea 0.
| ✓ | 3b + 2 = 17 → 3b + 2 − 2 = 17 − 2se resta 2 en los dos platos |
| ✓ | 3b = 15 → b = 5se dividen los dos miembros entre 3 |
| ✗ | 3b + 2 = 17 → 3b = 17se han quitado 2 canicas de un plato y no del otro |
07«Pasar» al otro miembro
En la práctica se abrevia diciendo que un término «pasa» al otro miembro. Pero no siempre cambia de signo: cambia la operación. Lo que suma pasa restando y lo que resta pasa sumando. Lo que multiplica pasa dividiendo y lo que divide pasa multiplicando, en los dos casos con su mismo signo.
El error más repetido es este: en 5x = 35, el 5 no está sumando, está multiplicando a la x. Por eso x = 35 : 5 = 7, y no 35 − 5 ni −7. Si el coeficiente es negativo, se divide entre él con su signo: −2x = 10 da x = 10 : (−2) = −5.
| ✓ | x + 9 = 4 → x = 4 − 9 = −5el 9 sumaba: pasa restando |
| ✓ | −2x = 10 → x = −5el −2 multiplicaba: pasa dividiendo con su signo |
| ✗ | 5x = 35 → x = 35 − 5 = 30el 5 multiplica, no suma: x = 35 : 5 = 7 |
| ✗ | 5x = 35 → x = −7lo que multiplica no cambia de signo al pasar |
| ✗ | x/3 = 6 → x = 2el 3 dividía: pasa multiplicando, x = 18 |
08Resolver paso a paso
El orden que evita errores es: 1.º quitar paréntesis; 2.º quitar denominadores; 3.º agrupar los términos con x en un miembro y los números en el otro; 4.º reducir cada miembro; 5.º despejar la x; 6.º comprobar.
Ejemplo: 7x − 2 = 4x + 13. El 4x pasa restando y el −2, sumando: 7x − 4x = 13 + 2. Se reduce: 3x = 15. Se despeja: x = 15 : 3 = 5. Comprobación: 7 · 5 − 2 = 33 y 4 · 5 + 13 = 33.
Otro con negativos: 2 − 3x = x − 10. Las x a la izquierda: −3x − x = −10 − 2, es decir, −4x = −12, y x = (−12) : (−4) = 3. Comprobación: 2 − 9 = −7 y 3 − 10 = −7. Truco: si agrupas las x donde queden positivas, evitas signos: 2 + 10 = x + 3x, 12 = 4x, x = 3.
| ✓ | −4x = −12 → x = 3(−12) : (−4) = +3 |
| ✓ | 7x − 2 = 4x + 13 → 7x − 4x = 13 + 2el −2 pasa sumando y el 4x, restando |
| ✗ | 7x − 2 = 4x + 13 → 7x − 4x = 13 − 2el −2 restaba: al pasar tiene que sumar |
| ✗ | −4x = −12 → x = −3menos entre menos da más |
09Ecuaciones con paréntesis
Primero se quitan los paréntesis con la propiedad distributiva y luego se sigue como siempre. 3(x − 4) = x + 2 se convierte en 3x − 12 = x + 2; agrupando, 3x − x = 2 + 12, así que 2x = 14 y x = 7. Comprobación: 3 · (7 − 4) = 9 y 7 + 2 = 9.
Si delante del paréntesis hay un signo menos, cambian todos los signos de dentro: 10 − (2x − 1) = 5 queda 10 − 2x + 1 = 5. Entonces −2x = 5 − 11 = −6 y x = 3. Comprobación: 10 − (6 − 1) = 10 − 5 = 5.
| ✓ | 3(x − 4) = 3x − 12el 3 multiplica a los dos términos |
| ✓ | −(2x − 1) = −2x + 1el menos cambia los dos signos |
| ✗ | 3(x − 4) = 3x − 4el 3 también multiplica al 4 |
| ✗ | −(2x − 1) = −2x − 1se ha cambiado solo el primer signo |
10Ecuaciones con denominadores
Si hay fracciones, se multiplican los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores y desaparecen. En x/2 + x/3 = 10, el m.c.m. de 2 y 3 es 6. Multiplicando cada término por 6: 3x + 2x = 60, así que 5x = 60 y x = 12. Comprobación: 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10.
Hay que multiplicar todos los términos, también los que no tienen denominador. En x/4 − 1 = 2 se multiplica por 4: x − 4 = 8, y x = 12.
Si el numerador tiene varios términos, ponlo entre paréntesis al quitar el denominador. En (x + 1)/4 = (x − 2)/3, el m.c.m. de 4 y 3 es 12: 3(x + 1) = 4(x − 2), 3x + 3 = 4x − 8, y x = 11. Comprobación: 12/4 = 3 y 9/3 = 3.
| ✓ | x/4 − 1 = 2 → x − 4 = 8el 1 también se multiplica por 4 |
| ✓ | x/2 + x/3 = 10 → 3x + 2x = 60todo por 6: 6 · x/2 = 3x y 6 · x/3 = 2x |
| ✗ | x/4 − 1 = 2 → x − 1 = 8se ha olvidado multiplicar el 1 por 4 |
| ✗ | x/2 + x/3 = 10 → x/5 = 10las fracciones no se suman sumando denominadores |
11Sin solución o con infinitas
A veces las x desaparecen al agrupar. En 2(x + 3) = 2x + 11 queda 2x + 6 = 2x + 11, es decir, 0x = 5. Ningún número multiplicado por 0 da 5: la ecuación no tiene solución.
En 4x − 8 = 4(x − 2) queda 4x − 8 = 4x − 8, es decir, 0x = 0. Cualquier número multiplicado por 0 da 0: la cumplen todos los números. Tiene infinitas soluciones y, en realidad, es una identidad.
| ✓ | 0x = 5 → no tiene solución0 por cualquier número da 0, nunca 5 |
| ✓ | 3x = 0 → x = 0aquí sí hay solución: 0 : 3 = 0 |
| ✗ | 0x = 5 → x = 50 · 5 = 0, no 5 |
| ✗ | 0x = 0 → x = 0vale el 0, pero también cualquier otro número |
12Plantear problemas
Para resolver un problema con una ecuación: 1.º lee y decide qué es la incógnita, y escríbelo («x = el número menor»); 2.º escribe los demás datos con x; 3.º plantea la igualdad que dice el enunciado; 4.º resuélvela; 5.º comprueba el resultado en el enunciado, no solo en la ecuación; 6.º responde con una frase.
Ejemplo: tres números consecutivos suman 81. Si x es el menor, los otros son x + 1 y x + 2. Entonces x + (x + 1) + (x + 2) = 81, 3x + 3 = 81, 3x = 78 y x = 26. Comprobación: 26 + 27 + 28 = 81. Respuesta: los números son 26, 27 y 28.
| ✓ | Escribir antes de nada «x = el número menor»sabes qué significa el resultado cuando lo obtienes |
| ✗ | Responder solo «x = 26»la pregunta pide tres números: 26, 27 y 28 |
13Problemas de edades
Irene tiene 13 años y su abuelo, 67. ¿Dentro de cuántos años la edad del abuelo será el triple de la de Irene? Sea x el número de años que pasan. Entonces Irene tendrá 13 + x y el abuelo, 67 + x, porque los años pasan para los dos.
La ecuación es 67 + x = 3(13 + x). Quitando el paréntesis, 67 + x = 39 + 3x; agrupando, 67 − 39 = 3x − x, así que 28 = 2x y x = 14. Comprobación: dentro de 14 años Irene tendrá 27 y el abuelo 81, y 3 · 27 = 81. Respuesta: dentro de 14 años.
| ✓ | Dentro de x años: 13 + x y 67 + xel tiempo pasa igual para los dos |
| ✗ | 67 + x = 3 · 13 + xel triple afecta a toda la edad futura: 3(13 + x) |
| ✗ | Sumar x solo a la edad de Ireneel abuelo también cumple años |
14Repartos, perímetros y dinero
Reparto: tres amigas se reparten 102 cromos. Sara se lleva el doble que Noa y Vera, 6 más que Noa. Con x = cromos de Noa: x + 2x + (x + 6) = 102, 4x + 6 = 102, 4x = 96, x = 24. Noa tiene 24, Sara 48 y Vera 30, que suman 102.
Perímetro: los lados de un triángulo miden x, 2x y x + 4 centímetros, y el perímetro es 40 cm. Entonces x + 2x + x + 4 = 40, 4x = 36, x = 9. Los lados miden 9 cm, 18 cm y 13 cm, y 9 + 18 + 13 = 40.
Dinero: una entrada de adulto cuesta 4 € más que una infantil, y dos adultos y tres niños pagan 33 €. Con x = precio infantil: 2(x + 4) + 3x = 33, 5x + 8 = 33, 5x = 25, x = 5. La infantil cuesta 5 € y la de adulto, 9 €: 2 · 9 + 3 · 5 = 33.
| ✓ | x = 24 cromoses un número entero de cromos y cuadra con el total |
| ✗ | Un resultado de 22,5 cromosno se reparten medios cromos: revisa el planteamiento o las cuentas |
| ✗ | Un lado de −3 cmuna longitud no puede ser negativa: algo está mal planteado |
15Para recordar
- Ecuación: igualdad con incógnita que solo se cumple para algunos valores.
- Solución: el valor que hace que los dos miembros valgan lo mismo. Compruébala siempre.
- Lo mismo a los dos lados: sumar, restar, multiplicar o dividir (nunca entre 0).
- Lo que suma pasa restando; lo que multiplica pasa dividiendo, con su signo.
- Orden: paréntesis → denominadores → agrupar → reducir → despejar → comprobar.
- Denominadores: todo por el m.c.m., también los términos sin fracción.
- 0x = 5: sin solución. 0x = 0: infinitas soluciones.
- Problemas: elegir x, plantear, resolver, comprobar en el enunciado y responder con frase.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una ecuación?
Es una igualdad con una letra desconocida, la incógnita, que solo es cierta para ciertos valores. 4x − 1 = 11 solo se cumple con x = 3.
¿Qué es la solución de una ecuación?
Es el número que, puesto en lugar de la incógnita, hace que los dos miembros valgan lo mismo. Una ecuación de primer grado tiene, como mucho, una solución, salvo que se cumpla para todos los números.
¿Cómo sé si un número es solución?
Sustitúyelo en cada miembro por separado y calcula. Si los dos dan el mismo resultado, es solución. Con 11 − x = 3x − 1 y x = 3, los dos lados valen 8.
¿Al pasar un número al otro lado siempre cambia de signo?
No. Solo cambia el signo lo que suma o resta. Lo que multiplica pasa dividiendo con su propio signo: 5x = 35 da x = 35 : 5 = 7, y −2x = 10 da x = −5.
¿Cómo se quitan los denominadores de una ecuación?
Se multiplican todos los términos de los dos miembros por el m.c.m. de los denominadores, también los que no tienen denominador. En x/4 − 1 = 2 se multiplica por 4 y queda x − 4 = 8.
¿Puede una ecuación no tener solución?
Sí. Si al simplificar queda algo como 0x = 5, ningún número la cumple. Si queda 0x = 0, la cumplen todos: tiene infinitas soluciones y es una identidad.
¿Cuál es el error más común al resolver ecuaciones?
Cambiar de signo lo que multiplica: de 5x = 35 pasar a x = 35 − 5 o a x = −7. El 5 está multiplicando, así que pasa dividiendo y la solución es 7.
¿Cómo se resuelve un problema con una ecuación?
Elige qué es x, escribe los datos con x, plantea la igualdad, resuélvela, comprueba el resultado en el enunciado y responde con una frase.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: