Mates en AcciónCómo resolver problemas
Un problema es una situación con una meta a la que no sabes llegar de antemano. Se resuelve por fases: comprender, planear, ejecutar y revisar la respuesta.
Qué distingue un problema de un ejercicio, las fases para resolverlo, ocho estrategias con un problema resuelto cada una, los errores típicos y qué hacer cuando te atascas.
01Ejercicio o problema
¿Cuánto es 48 : 6? Lo sabes al momento, porque ya conoces la cuenta: es un ejercicio. Ahora otra pregunta: con una cuerda de 48 cm, ¿qué rectángulo de lados enteros encierra más superficie? Ya no hay una cuenta escrita que hacer. Hay que pensar, probar y decidir. Eso es un problema.
Un problema es una situación con una meta a la que no sabes llegar de antemano. Además, depende de quién lo mire: si ya conoces el método, lo que era un problema se convierte en ejercicio. Por eso resolver problemas no es memorizar recetas, sino aprender maneras de buscar el camino.
02Qué es y qué no es un problema
Pregúntate: ¿sé ya qué operación hacer? Si la respuesta es sí, es un ejercicio. Si primero tengo que descubrirlo, es un problema.
| ✓ | ¿Qué rectángulo de 48 cm de perímetro tiene más área?no hay una fórmula directa: hay que probar y comparar |
| ✓ | ¿Cuántos choques de mano hay si 20 personas se saludan todas?hay que inventar una forma de contar sin repetir |
| ✗ | Calcular 245 + 378es un ejercicio: sabes qué hacer desde el principio |
| ✗ | Hallar el área de un rectángulo de 7 × 4 cmbasta con aplicar base por altura: 28 cm² |
03Las fases de la resolución
Las fases que usan casi todos los buenos resolutores las ordenó el matemático húngaro George Pólya en 1945. Cada una tiene sus preguntas.
Comprender: ¿qué me piden?, ¿qué datos tengo y cuáles sobran?, ¿hay alguna condición escondida?, ¿sabría contar el problema con mis palabras sin mirarlo? Pensar un plan: ¿se parece a otro que ya resolví?, ¿qué estrategia de las de abajo encaja? Llevarlo a cabo: paso a paso, escribiendo qué significa cada número; si el plan se atasca, vuelve a pensar otro. Revisar y responder: ¿contesta a lo que se preguntaba?, ¿tiene sentido?, ¿puedo comprobarlo de otra forma?
Ejemplo: para una comida hay 27 invitados y mesas de 6 plazas. ¿Cuántas mesas hacen falta como mínimo? Comprender: se piden mesas y la condición es que todos se sienten. Plan: es un reparto, así que toca dividir. Antes, una estimación: 4 mesas son 24 plazas y 5 son 30, así que serán 4 o 5. Ejecutar: 27 : 6 da cociente 4 y resto 3. Revisar: con 4 mesas se quedan 3 personas de pie, así que hace falta otra. Respuesta: 5 mesas, y en una se sentarán solo 3 personas.
04Estimar antes de calcular
Estimar es calcular a ojo con números redondos para saber qué debe salir. Sirve para elegir el plan y, sobre todo, para cazar errores.
Una excursión cuesta 19 € por alumno y van 52. Antes de multiplicar, redondea: 50 · 20 = 1 000, así que el total rondará los 1 000 €. La cuenta exacta da 52 · 19 = 988 €, muy cerca. Si la calculadora hubiera dado 9 880 € o 98,80 €, la estimación te avisaría de que algo se ha tecleado mal.
| ✓ | 398 + 205 ≈ 600redondeando, 400 + 200 = 600 |
| ✓ | 52 · 19 = 988 y la estimación da 1 000el resultado está cerca de lo estimado: es creíble |
| ✗ | 31 · 29 = 8 990la estimación 30 · 30 = 900 delata un cero de más: es 899 |
05Experimentar con orden
Cuando no ves el camino, prueba con valores concretos. Pero no a lo loco: en orden y apuntando cada intento en una tabla, para ver hacia dónde mejora el resultado.
Volvamos a la cuerda de 48 cm. El largo y el ancho del rectángulo suman la mitad, 24 cm. Prueba: 2 × 22 da 2 · 22 = 44 cm², 6 × 18 da 108 cm², 10 × 14 da 140 cm², 11 × 13 da 143 cm² y 12 × 12 da 144 cm².
La tabla enseña algo: cuanto más se parecen los dos lados, mayor es el área. El ganador es el cuadrado de 12 cm de lado, con 144 cm².
| ✓ | Probar en orden y anotar cada intentose ve qué cambia y hacia dónde conviene seguir |
| ✗ | Probar números al azar sin apuntarlosrepites intentos y no descubres ninguna regla |
| ✗ | Probar un rectángulo de 1 × 47su perímetro sería 96 cm: largo y ancho deben sumar 24, no 48 |
06Empezar por un caso más fácil
Si los números del problema son grandes, resuelve primero uno igual con números pequeños y observa qué pasa.
En una clase de 20 alumnos, el primer día cada uno choca la mano con todos los demás una vez. ¿Cuántos choques hay? Con 2 personas hay 1 choque. Con 3, hay 3. Con 4, hay 6: la que llega choca con las 3 que ya estaban. Cada persona nueva añade tantos choques como personas había antes.
Con 20: 1 + 2 + 3 + … + 19 = 190 choques. También hay un atajo: cada uno de los 20 choca con 19, pero así cada choque se cuenta dos veces, el tuyo con Sara y el de Sara contigo. Por tanto, 20 · 19 : 2 = 190.
| ✓ | 20 · 19 : 2 = 190 choquescada pareja se cuenta una sola vez |
| ✗ | 20 · 19 = 380 choquescuenta cada choque dos veces: hay que dividir entre 2 |
| ✗ | 20 · 20 = 400 choquesnadie choca la mano consigo mismo: cada uno choca con 19 |
07Hacer un dibujo o una tabla
Un dibujo, un esquema o una tabla ponen ante tus ojos lo que la cabeza no consigue sostener entera. No tiene que ser bonito: basta con que sea claro.
Un robot de juguete sube una rampa de 12 m. Cada minuto avanza 4 m y, al pararse, resbala 2 m. ¿Cuánto tarda en llegar arriba? La cuenta rápida dice que gana 2 m por minuto y que tardará 12 : 2 = 6 minutos.
Dibuja la rampa con una marca cada metro y sigue al robot. Minuto 1: llega a 4 y baja a 2. Minuto 2: llega a 6 y baja a 4. Minuto 3: llega a 8 y baja a 6. Minuto 4: llega a 10 y baja a 8. Minuto 5: sube de 8 a 12 y ya está arriba, así que no resbala. Tarda 5 minutos.
| ✓ | El robot tarda 5 minutosen el último minuto llega arriba antes de resbalar |
| ✗ | El robot tarda 6 minutosla división 12 : 2 supone que también resbala el último minuto |
08Buscar un problema parecido
Muchos problemas son otro ya resuelto con distinto disfraz. Si reconoces la estructura, reutilizas el método.
En una liga de 8 equipos, todos juegan contra todos una vez. ¿Cuántos partidos hay? Es el problema de los choques de manos: los equipos son las personas y cada partido es un choque. 8 · 7 : 2 = 28 partidos. Si hay ida y vuelta, cada pareja juega dos veces: 56 partidos.
Cuidado con los parecidos que solo lo son por fuera: antes de copiar el método, comprueba que las condiciones son las mismas.
| ✓ | Segmentos que unen 6 puntos, todos con todosmisma estructura que los choques: 6 · 5 : 2 = 15 |
| ✗ | Números de dos cifras distintas con 1, 2 y 3: 3 · 2 : 2 = 3aquí el orden importa, porque 12 y 21 son distintos: no se divide entre 2 y salen 6 |
09Elegir una buena notación
Dar nombre a lo que no conoces ayuda a pensar. Usa letras que recuerden lo que significan, como c para cromos o t para tiempo, y llama con una letra a la cantidad más pequeña: las demás se escriben a partir de ella.
Iris tiene el triple de cromos que Leo y entre los dos suman 64. Si c son los cromos de Leo, Iris tiene 3 · c, y entre los dos c + 3 · c = 4 · c = 64. Así c = 64 : 4 = 16: Leo tiene 16 cromos e Iris, 48.
Comprobación: 48 es el triple de 16 y 16 + 48 = 64.
| ✓ | c = cromos de Leo y 3 · c = cromos de Irisuna sola letra y todo escrito a partir de ella |
| ✗ | x = cromos de Leo y también x = cromos de Irisla misma letra para dos cantidades distintas lo mezcla todo |
| ✗ | Escribir 3 + c para «el triple de c»el triple es 3 · c; 3 + c significa «tres más que c» |
10Ir hacia atrás
Si conoces cómo acaba la historia y todo lo que pasó, puedes empezar por el final y deshacer cada paso con la operación contraria. Lo último que se hizo es lo primero que se deshace.
Gastas la mitad de tu dinero en un libro y después 6 € en un bocadillo. Te quedan 9 €. ¿Cuánto tenías? Antes del bocadillo tenías 9 + 6 = 15 €. Antes del libro, el doble: 15 · 2 = 30 €.
Comprueba hacia delante: la mitad de 30 € es 15 €, y 15 − 6 = 9 €. Coincide.
| ✓ | 9 + 6 = 15 y 15 · 2 = 30 €se deshacen los pasos en orden inverso y con la operación contraria |
| ✗ | 9 · 2 + 6 = 24 €orden equivocado: con 24 €, la mitad es 12 y 12 − 6 = 6, no 9 |
| ✗ | 9 − 6 = 3 y 3 · 2 = 6 €restar no deshace un gasto: si gastaste 6 €, antes tenías 6 € más |
11Buscar patrones
Un patrón es algo que se repite. Encontrarlo permite saltar a casos que no se pueden calcular a mano.
¿En qué cifra acaba 3²⁰? Calcularlo entero cuesta: es un número de 10 cifras. Mira las primeras potencias: 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6 561. Las últimas cifras se repiten cada 4: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1… Como 20 es múltiplo de 4, 3²⁰ acaba igual que 3⁴, en 1.
Un patrón visto en unos pocos casos es una sospecha, no una prueba. Hay que entender por qué se repite: aquí, la última cifra de cada potencia solo depende de la última cifra de la anterior multiplicada por 3.
| ✓ | 3²² acaba en 922 = 4 · 5 + 2: acaba como 3², en 9 |
| ✗ | 6 puntos en un círculo, unidos todos con todos, hacen 32 regionescon 1 a 5 puntos salen 1, 2, 4, 8 y 16 regiones, pero con 6 salen 31: el patrón se rompe |
12Errores típicos
Operar con todos los números solo porque aparecen. «Un tren sale a las 9:40 con 6 vagones de 80 plazas. ¿Cuántas plazas tiene?» La hora no sirve para nada: 6 · 80 = 480 plazas.
No comprobar si el resultado tiene sentido. Si sale que un alumno mide 15 m, hay un error de cálculo, de unidades o de lectura. Y si salen 4,5 autobuses, la cuenta puede estar bien, pero la respuesta no: hay que interpretarla y redondear a 5.
Responder sin unidades o a otra pregunta. «144» no dice nada; «la mayor superficie es 144 cm²», sí. Y si se pregunta cuánto falta, no basta con dar cuánto hay.
| ✓ | Hacen falta 5 mesasnúmero entero, con su unidad y respondiendo a lo que se pregunta |
| ✗ | Hacen falta 4,5 autobusesno existe medio autobús: se redondea hacia arriba, 5 |
| ✗ | El área es 144faltan las unidades: 144 cm² |
| ✗ | 9 + 40 + 6 + 80 plazasmezcla la hora con los vagones: solo cuentan 6 · 80 |
13Cuando te bloqueas
Atascarse es normal. Le pasa a cualquiera que se enfrenta a un problema de verdad, también a los matemáticos profesionales. Lo que distingue a quien lo resuelve es lo que hace después.
Cambia de estrategia: si las cuentas no salen, dibuja; si el dibujo no ayuda, prueba casos más fáciles. Explica el problema en voz alta a otra persona, aunque no sepa nada de matemáticas: al contarlo, muchas veces ves el fallo. Revisa qué estás dando por supuesto: a la pregunta «¿cuántos meses tienen 28 días?» mucha gente contesta «uno», y en realidad los tienen todos.
Y descansa. Un paseo o una noche de sueño no son tiempo perdido: el cerebro sigue trabajando por su cuenta, y es frecuente que la idea llegue al volver.
| ✓ | Cambiar de estrategia tras varios intentos igualesotro punto de vista enseña cosas nuevas |
| ✗ | Repetir la misma cuenta esperando otro resultadosi el plan no sirve, repetirlo tampoco servirá |
| ✗ | Dejarlo en el primer atascoel atasco es parte del camino, no una señal de que no puedes |
14Equivocarse también es avanzar
Un intento fallido te dice qué camino no sirve y, a menudo, por qué. En la rampa del robot, el 6 equivocado es lo que descubre que el último minuto es distinto de los demás.
Por eso conviene no borrar los intentos: táchalos con una raya y escribe al lado qué falló. Repasar los errores de un examen corregido es de lo que más enseña, porque señala justo lo que aún no dominas.
| ✓ | Tachar un intento y anotar qué fallóel error queda a la vista y no lo repites |
| ✗ | Borrar todo lo que no salióse pierden las pistas que daba el intento |
15Para recordar
- Ejercicio: sabes qué hacer. Problema: primero hay que descubrir el camino.
- Fases: comprender, pensar un plan, llevarlo a cabo, revisar y responder.
- Estrategias: estimar, experimentar con orden, empezar por un caso fácil, dibujar o hacer una tabla, buscar un problema parecido, elegir buena notación, ir hacia atrás y buscar patrones.
- No todos los datos sirven: usa solo los que responden a la pregunta.
- Comprueba que el resultado tiene sentido y responde con una frase y sus unidades.
- Bloquearse y equivocarse es normal: cambia de estrategia, descansa y aprende del intento.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre un ejercicio y un problema?
En un ejercicio sabes desde el principio qué cuenta hacer, como 245 + 378. En un problema primero tienes que descubrir el camino, y eso es lo difícil.
¿Cuáles son las fases para resolver un problema?
Comprender el enunciado, pensar un plan, llevarlo a cabo y revisar el resultado antes de responder con una frase y sus unidades.
¿Qué hago si no sé por dónde empezar?
Prueba con un caso más fácil, haz un dibujo o una tabla, o ensaya valores en orden apuntando cada intento. Casi siempre aparece una pista.
¿Hay que usar todos los datos del enunciado?
No. A veces sobran datos y meterlos en las cuentas lleva a un resultado absurdo. Usa solo los que sirven para lo que se pregunta.
¿Para qué sirve estimar el resultado?
Para saber más o menos qué debe salir antes de calcular. Si la cuenta da algo muy distinto de la estimación, hay un error.
¿Qué es resolver un problema hacia atrás?
Empezar por el resultado final y deshacer cada paso con la operación contraria, en orden inverso, hasta llegar al dato inicial.
¿Es malo equivocarse al resolver un problema?
No: un intento fallido dice qué camino no sirve y, a menudo, por qué. Lo importante es revisar dónde falló y probar otra cosa.
¿Por qué hay que poner unidades en la respuesta?
Porque un número solo no dice nada: 144 pueden ser centímetros, euros o personas. La respuesta completa es una frase con su unidad, como «mide 144 cm²».
Relacionados
Por Eugenio Rodríguez · actualizado: