El lenguaje algebraico

01Por qué usar letras

Alquilar un kayak cuesta 4 € de entrada y 3 € por cada hora. Por 2 horas pagas 4 + 3 · 2 = 10 €; por 5 horas, 4 + 3 · 5 = 19 €. En lugar de hacer una cuenta distinta para cada caso, se escribe la regla de una vez: precio = 4 + 3 · h, donde h es el número de horas.

Eso es el álgebra: usar letras para hablar de números que no conocemos o que pueden cambiar. Una letra es como una casilla vacía en la que cabe cualquier número. En un aparcamiento con c coches y m motos hay 4c + 2m ruedas, tengas los coches que tengas.

02Qué es una expresión algebraica

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por operaciones: 4 + 3h, 2n + 1, a²b o m/6. Las letras se llaman variables, porque su valor puede variar.

Se escribe con unas normas sencillas. Entre un número y una letra, o entre dos letras, no se pone el punto de multiplicar: 3 · x se escribe 3x y a · b, ab. El número va delante: 9ab, no ab9. El 1 no se escribe: 1x es x. Y x · x se escribe x².

Si no hay letras, es una expresión numérica. Si hay un signo igual, ya no es una expresión: es una igualdad.

03Del lenguaje verbal al algebraico

Traducir una frase es elegir una letra para el número desconocido y escribir lo que le pasa. Llamando n al número: el doble es 2n, el triple 3n, la mitad n/2, la tercera parte n/3, el cuadrado n², el siguiente n + 1 y el anterior n − 1.

Algunas traducciones muy útiles: un número par es 2n, un impar es 2n + 1, dos números consecutivos son n y n + 1, y la edad de alguien que tiene e años será e + 6 dentro de 6 años y era e − 4 hace 4 años.

04Cuidado con los paréntesis

«El doble de un número más 3» y «el doble de la suma de un número y 3» suenan parecido, pero no son lo mismo. En la primera solo se dobla el número: 2n + 3. En la segunda se dobla todo lo que se ha sumado, y hace falta un paréntesis: 2(n + 3).

Con n = 5 se nota la diferencia: 2 · 5 + 3 = 13, pero 2 · (5 + 3) = 16. Pasa lo mismo con la mitad: «la mitad de un número, menos 1» es n/2 − 1, y «la mitad de lo que queda al restarle 1» es (n − 1)/2. Con n = 9 dan 3,5 y 4.

Truco: si la operación afecta a un resultado anterior, ese resultado va entre paréntesis.

05Monomios: coeficiente, parte literal y grado

Las partes de una expresión separadas por los signos + y − se llaman términos. En 6a² − 4b + a − 9 hay cuatro: 6a², −4b, a y −9. Cada término se lleva su signo. El que no tiene letras, −9, es el término independiente.

Un monomio es una expresión de un solo término: un número multiplicado por letras. El número es el coeficiente y las letras, con sus exponentes, la parte literal. El grado es la suma de los exponentes de las letras.

En −5a²b el coeficiente es −5, la parte literal a²b y el grado 2 + 1 = 3. En y³ el coeficiente es 1, aunque no se escriba. Un número solo, como 8, es un monomio de grado 0.

06Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal: las mismas letras con los mismos exponentes. El coeficiente puede ser cualquiera. 7x² y −x² son semejantes; 7x² y 7x no lo son, porque el exponente cambia.

El orden de las letras no importa, porque multiplicar es conmutativo: 3ab y −2ba son semejantes.

07Valor numérico

El valor numérico de una expresión es lo que vale cuando cada letra se cambia por un número. Se sustituye y se opera con la jerarquía de siempre. Con la tarifa del kayak, para h = 3: 4 + 3 · 3 = 4 + 9 = 13 €.

Al sustituir, vuelve a aparecer el punto de multiplicar: 4x − 7 para x = 5 es 4 · 5 − 7 = 20 − 7 = 13.

Si el número es negativo, ponlo siempre entre paréntesis. Para x = −2, x² − 3x vale (−2)² − 3 · (−2) = 4 + 6 = 10. Con dos letras se hace igual: 2a − b para a = 3 y b = −5 es 2 · 3 − (−5) = 6 + 5 = 11.

08Sumar y restar monomios

Solo se pueden sumar o restar monomios semejantes. Se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal: 6a + 4a = 10a, 9y² − 11y² = −2y² y x + x = 2x.

Es como contar objetos: 3 lápices más 2 lápices son 5 lápices, pero 3 lápices más 2 gomas no son 5 de nada. Si los monomios no son semejantes, la suma se deja indicada: 3x + 2y, x + x² o 5a + 3 ya no se pueden juntar más.

09Multiplicar monomios

Para multiplicar monomios no hace falta que sean semejantes. Se multiplican los coeficientes y, en la parte literal, las potencias de la misma letra suman sus exponentes, como cualquier potencia de igual base.

Así, 3x · 4x = 12x², 2x · 3y = 6xy, x² · x³ = x⁵ y (−2a) · 5ab = −10a²b. Para dividir se hace al revés: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes, 12x³ : 4x = 3x².

10Polinomios y reducir expresiones

Un polinomio es una suma de monomios que no son semejantes entre sí, como 5x² + 2x − 2. Su grado es el mayor de los grados de sus términos: este es de grado 2. Si tiene dos términos se llama binomio y si tiene tres, trinomio.

Reducir una expresión es juntar los términos semejantes hasta que no quede ninguno repetido. Ejemplo: 5x + 3 − 2x + 7 − x. Las x: 5 − 2 − 1 = 2, es decir, 2x. Los números: 3 + 7 = 10. Queda 2x + 10.

Con potencias se agrupa cada parte literal por separado: 4x² − x + 6 + x² + 3x − 8 = 5x² + 2x − 2. Subraya con un color cada tipo de término para no dejarte ninguno.

11Quitar paréntesis

La propiedad distributiva dice que un número que multiplica a un paréntesis multiplica a cada término de dentro: a(b + c) = ab + ac. Así, 4(x + 5) = 4x + 20 y x(x + 7) = x² + 7x.

Hay que llevar cuidado con los signos: −3(2a − 1) = −6a + 3, porque (−3) · (−1) = +3. Un signo menos solo delante del paréntesis cambia el signo de todo lo de dentro: −(y − 4) = −y + 4.

Ejemplo completo: 2(3x − 1) − (x + 4) = 6x − 2 − x − 4 = 5x − 6.

12Sacar factor común

Sacar factor común es usar la distributiva al revés: si un número o una letra está en todos los términos, se saca delante de un paréntesis. En 6x + 9 los dos términos son múltiplos de 3, así que 6x + 9 = 3(2x + 3).

También se pueden sacar letras: 5a² − 10a = 5a(a − 2) y x² + x = x(x + 1). Para comprobarlo, multiplica de nuevo y debe salir lo del principio.

13Igualdad, identidad y ecuación

Una igualdad son dos expresiones unidas por el signo =. Si solo tiene números es una igualdad numérica, que es cierta (7 + 5 = 12) o falsa (3 · 4 = 15).

Si tiene letras, hay dos casos. Una identidad es cierta para cualquier valor de las letras: 3(x + 2) = 3x + 6 vale con x = 0 (6 = 6), con x = 10 (36 = 36) y con cualquier otro. Las reglas de esta página son identidades.

Una ecuación solo es cierta para algunos valores: 3x + 5 = 20 solo se cumple con x = 5. Averiguar esos valores es resolver la ecuación.

14Patrones y sucesiones

Con palillos se forma una fila de cuadrados pegados. Un cuadrado necesita 4 palillos; dos, 7; tres, 10; cuatro, 13. Cada cuadrado nuevo añade 3 palillos, porque aprovecha un lado del anterior.

La regla se escribe con n, el número de cuadrados: palillos = 3n + 1. Es el término general de la sucesión 4, 7, 10, 13… Con ella no hace falta dibujar: 20 cuadrados piden 3 · 20 + 1 = 61 palillos. Y para saber cuántos cuadrados salen con 100 palillos se busca n con 3n + 1 = 100, que da n = 33.

Otros términos generales: los pares 2, 4, 6… son 2n; los impares 1, 3, 5… son 2n − 1. Comprueba siempre la fórmula con dos o tres términos.

15Para recordar

• Una letra representa un número cualquiera; 3x significa 3 · x.
• Doble 2n, mitad n/2, siguiente n + 1, par 2n, impar 2n + 1.
• Monomio: coeficiente · parte literal; grado = suma de exponentes de las letras.
• Solo se suman monomios semejantes: 3x + 2y no se junta.
• Para multiplicar: coeficientes por coeficientes y exponentes de la misma letra sumados.
• Valor numérico: sustituir, con los negativos entre paréntesis.
• Distributiva: a(b + c) = ab + ac; factor común es lo mismo al revés.
• Identidad: cierta siempre. Ecuación: cierta solo para algunos valores.