Proporcionalidad y porcentajes

01Mantener la mezcla

Para pintar tu cuarto de verde mezclas 2 botes de pintura azul por cada 3 de amarillo. Se acaba la pintura y preparas más: si echas 4 de azul y 6 de amarillo, sale el mismo verde; con 10 y 15, también. Pero si echas 3 y 4, porque «es uno más de cada», el verde cambia.

Lo que se conserva no es la diferencia entre las cantidades, sino la relación: por cada 2 de azul, 3 de amarillo. Esa relación es una razón, y dos razones iguales forman una proporción. Con esta idea se calculan recetas, precios, porcentajes, escalas de mapas e intereses.

02Razón

Una razón es la comparación de dos cantidades mediante una división. Se escribe a/b o a : b y se lee «a es a b». En la mezcla, la razón entre azul y amarillo es 2/3. El primer término se llama antecedente y el segundo, consecuente.

Se parece a una fracción, pero no es lo mismo. Una fracción toma partes de un mismo todo; una razón puede comparar cosas distintas. Un tren que recorre 240 km en 3 h va a una razón de 240 : 3 = 80 km por hora.

En una clase con 12 chicas y 15 chicos, la razón entre chicas y chicos es 12/15 = 4/5: por cada 4 chicas hay 5 chicos. La fracción de chicas sobre el total, en cambio, es 12/27 = 4/9.

03Proporción y productos cruzados

Una proporción es una igualdad entre dos razones: a/b = c/d. Se lee «a es a b como c es a d». Los términos a y d son los extremos, y b y c, los medios.

Propiedad fundamental: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios, a · d = b · c. Sirve para comprobar si dos razones forman proporción sin dividir: 6/8 = 15/20 porque 6 · 20 = 120 y 8 · 15 = 120.

También sirve para hallar un término que falta, el cuarto proporcional. En 9/12 = x/20, multiplica en cruz: 12 · x = 9 · 20 = 180, así que x = 180 : 12 = 15.

04Magnitudes directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número: el doble con el doble, la mitad con la mitad. Entonces el cociente entre sus valores es siempre el mismo y se llama constante de proporcionalidad.

Una impresora saca 12 páginas por minuto. En 2 minutos, 24; en 5, 60; en 10, 120; en medio minuto, 6. Si colocas los datos en una tabla de proporcionalidad, al dividir páginas entre minutos sale siempre 12: esa es la constante.

En una tabla de proporcionalidad directa también se pueden sumar columnas: si 3 cuadernos cuestan 4,50 € y 5 cuadernos cuestan 7,50 €, 8 cuadernos cuestan 4,50 + 7,50 = 12 €.

05Proporcional o no

Que dos magnitudes crezcan a la vez no basta. La prueba es siempre la misma: ¿al doble le corresponde el doble? ¿El cociente es constante?

06Reducción a la unidad y regla de tres

Para resolver un problema de proporcionalidad directa, lo más claro es reducir a la unidad: calcular cuánto corresponde a 1 y multiplicar. Si 4 entradas al museo cuestan 26 €, una cuesta 26 : 4 = 6,50 €, y 7 entradas cuestan 6,50 · 7 = 45,50 €.

La regla de tres directa hace lo mismo en un solo paso. Un panadero usa 45 g de levadura por cada 3 kg de harina. ¿Cuánta necesita para 14 kg? Se colocan los datos en dos filas, «3 kg → 45 g» y «14 kg → x», y como es directa, x = 45 · 14 : 3 = 630 : 3 = 210 g. Se multiplican los datos que están en diagonal y se divide entre el que queda.

Antes de aplicarla, comprueba que la relación es directa: más harina, más levadura, en la misma proporción.

07Proporcionalidad inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida entre ese número: el doble con la mitad, el triple con la tercera parte. Lo que se mantiene constante es el producto.

En un viaje de 360 km, a 60 km/h se tarda 6 h; a 90 km/h, 4 h; a 120 km/h, 3 h. Velocidad por tiempo da siempre 360.

Regla de tres inversa: si 3 amigos pintan un mural en 8 h, ¿cuánto tardan 4? El trabajo total es 3 · 8 = 24 horas, y repartido entre 4 da 24 : 4 = 6 h. Aquí no se multiplica en cruz: se multiplican los datos de la misma fila y se divide entre el otro.

08Porcentajes

Un porcentaje o tanto por ciento es una razón con denominador 100: el 35 % quiere decir 35 de cada 100. Se puede escribir como fracción, 35/100 = 7/20, o como decimal, 0,35. El 100 % es el total.

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplica la cantidad por el tanto y divide entre 100, o multiplica directamente por el decimal. El 35 % de 260 es 260 · 35 : 100 = 260 · 0,35 = 91.

Algunos se hacen de cabeza: el 50 % es la mitad, el 25 % la cuarta parte, el 20 % la quinta, el 10 % la décima y el 1 %, la centésima. El 10 % de 470 es 47, y el 5 % es la mitad de eso, 23,5.

09Qué porcentaje es

Para saber qué porcentaje es una parte del total, divide la parte entre el total y multiplica por 100. Si de 25 alumnos vienen 9 en bici, 9 : 25 = 0,36, es decir, el 36 %.

Al revés, si conoces el porcentaje y la parte, puedes hallar el total. Si el 30 % de las butacas de un teatro son 72, el 1 % son 72 : 30 = 2,4 y el total, 2,4 · 100 = 240 butacas.

Los porcentajes sirven para comparar grupos de distinto tamaño. Encestar 18 tiros libres de 20 es un 90 %, y 27 de 30, también: el mismo acierto aunque los números sean distintos.

10Aumentos y descuentos

Para aumentar un tanto por ciento, se suma al 100 % y se multiplica: subir un 21 % es multiplicar por 1,21. El IVA es un impuesto que se añade al precio de muchas compras. Un patinete de 80 € sin IVA cuesta, con un IVA del 21 %, 80 · 1,21 = 96,80 €.

Para descontar, se resta del 100 %: una rebaja del 15 % deja el 85 %. Unas zapatillas de 60 € rebajadas un 15 % cuestan 60 · 0,85 = 51 €, y el ahorro es de 9 €.

Cuidado al encadenar porcentajes: cada uno se calcula sobre el precio que hay en ese momento, no sobre el inicial. Si algo de 100 € sube un 20 %, pasa a 120 €; si después baja un 20 %, baja 24 € y se queda en 96 €, no en 100 €.

Para quitar el IVA a un precio, se divide: 96,80 : 1,21 = 80 €.

11Interés simple

Cuando dejas dinero en un banco, el banco te paga un porcentaje por tenerlo: el interés. El dinero que depositas es el capital (C), el porcentaje anual es el rédito o tipo de interés (r) y el tiempo es t. En el interés simple, cada año se cobra lo mismo, porque el porcentaje se calcula siempre sobre el capital inicial.

Fórmula, con el tiempo en años: I = C · r · t : 100. Con 1 500 € al 3 % durante 4 años: I = 1 500 · 3 · 4 : 100 = 180 €. Al final tienes 1 500 + 180 = 1 680 €.

Si el tiempo está en meses, se divide entre 1 200 en lugar de entre 100, porque el año tiene 12 meses. Con 2 400 € al 5 % durante 9 meses: I = 2 400 · 5 · 9 : 1 200 = 90 €.

Si los intereses se suman al capital y producen a su vez más intereses, se habla de interés compuesto, que se estudia en cursos posteriores.

12Cambio de divisas

Las divisas son las monedas de otros países. El tipo de cambio dice cuánto vale un euro en otra moneda, y varía cada día. Si un día 1 € = 1,08 dólares, el cambio es una proporcionalidad directa con constante 1,08.

De euros a la otra moneda se multiplica: 250 € son 250 · 1,08 = 270 dólares. De la otra moneda a euros se divide: 162 dólares son 162 : 1,08 = 150 €.

Para comprobar, piensa qué moneda vale más. Si 1 € compra más de 1 dólar, al pasar a dólares el número tiene que subir, y al pasar a euros, bajar. Los bancos y las casas de cambio suelen cobrar además una comisión.

13Escalas en planos y mapas

Un plano o un mapa reduce la realidad manteniendo la forma: todas las medidas se dividen entre el mismo número. La escala es la razón entre la medida en el dibujo y la medida real, en la misma unidad. Escala 1 : 50 000 quiere decir que 1 cm del mapa son 50 000 cm reales, es decir, 500 m.

De mapa a realidad se multiplica: dos pueblos a 7,4 cm en un mapa 1 : 50 000 están a 7,4 · 50 000 = 370 000 cm = 3,7 km. De realidad a plano se divide: en el plano de una casa a escala 1 : 100, una cocina de 3,5 m, que son 350 cm, mide 350 : 100 = 3,5 cm.

Para hallar la escala, pon las dos medidas en centímetros y divide. Si 3 cm del mapa son 12 km reales, 12 km = 1 200 000 cm y 1 200 000 : 3 = 400 000: la escala es 1 : 400 000.

14Resolver problemas

Primero decide qué relación hay: ¿al doble le corresponde el doble (directa), la mitad (inversa) o ninguna de las dos? Si no hay proporcionalidad, la regla de tres no sirve. Después elige el método, reducir a la unidad, regla de tres o porcentaje, y al final comprueba que el resultado tiene sentido.

Directa: un aspersor echa 18 L de agua en 4 minutos. ¿Cuánto en 15 minutos? Por minuto, 18 : 4 = 4,5 L; en 15 minutos, 4,5 · 15 = 67,5 L.

Inversa: las provisiones de una acampada dan para 6 días a 10 personas. Si van 12, duran 6 · 10 : 12 = 60 : 12 = 5 días.

Porcentajes encadenados: un móvil de 240 € tiene un 25 % de descuento y después se paga un 5 % de envío sobre el precio rebajado. 240 · 0,75 = 180 € y 180 · 1,05 = 189 €.

Responde siempre con una frase y con la unidad: «El aspersor echa 67,5 L en 15 minutos».

15Para recordar

• Razón: a/b compara dos cantidades. Proporción: a/b = c/d, y entonces a · d = b · c.
• Directa: al doble, el doble, y el cociente es constante. Inversa: al doble, la mitad, y el producto es constante.
• Reducir a la unidad: halla el valor de 1 y multiplica.
• r % de una cantidad = cantidad · r : 100. Qué % es = parte : total · 100.
• Aumento del r %: · (1 + r/100). Descuento del r %: · (1 − r/100). Los porcentajes encadenados no se suman.
• Interés simple: I = C · r · t : 100, con t en años. Escala 1 : n: lo real es n veces lo dibujado.