Los números enteros

01Cuando los naturales no bastan

Un equipo termina la liga con 26 goles a favor y 30 en contra. ¿Cuál es su diferencia de goles? Con naturales, 26 − 30 no se puede hacer. Pero la clasificación lo escribe sin problema: −4.

Pasa en muchos sitios: un congelador a 18 grados bajo cero marca −18 °C; en golf, acabar un hoyo con dos golpes menos de los previstos es −2; el fondo de una piscina está a −3 m si la superficie del agua es el 0. En todos hay un cero de referencia y cantidades a un lado y a otro.

02Qué son

Los números enteros son los naturales, sus opuestos con signo menos y el cero: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … El conjunto se escribe ℤ, del alemán «Zahlen», números.

Los positivos (+1, +2, +3…) son los naturales de siempre; el signo + se puede omitir, así que +9 y 9 son el mismo número. Los negativos (−1, −2, −3…) llevan siempre el signo −. El 0 no es ni positivo ni negativo y no lleva signo.

Todo natural es entero, pero no al revés: −14 es entero y no es natural.

03Qué es y qué no es entero

Pregúntate si es una cantidad de unidades completas, a un lado o a otro del cero. Si tiene coma o es una fracción que no da exacta, no es entero.

04La recta y el orden

En la recta se marca el 0 y, a la misma distancia, los positivos a la derecha y los negativos a la izquierda. Cuanto más a la derecha está un número, mayor es.

Con negativos, lo que engaña es la cifra: −9 parece más que −2, pero está más a la izquierda, así que −9 < −2. Piensa en temperaturas: −9 °C es más frío que −2 °C. Ordenados de menor a mayor: −8 < −3 < −1 < 0 < 6 < 9.

05Valor absoluto y opuesto

El valor absoluto de un número es su distancia al 0, sin fijarse en el lado. Se escribe entre barras: |−13| = 13, |6| = 6 y |0| = 0. Una distancia nunca es negativa.

El opuesto de un número es el que está a la misma distancia del 0 pero al otro lado: el opuesto de 11 es −11 y el de −11 es 11. Se escribe con un signo menos delante: −(−11) = 11. Un número y su opuesto suman 0.

06Sumar enteros

Piensa en goles a favor (+) y en contra (−). Si los dos sumandos tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se deja ese signo: (−6) + (−9) = −15, como encajar 6 y luego 9.

Si tienen signo distinto, se restan los valores absolutos y gana el signo del que tiene mayor valor absoluto: (+14) + (−9) = +5, y (−20) + (+11) = −9. En la recta, sumar un positivo es avanzar a la derecha y sumar un negativo, retroceder.

La suma de enteros es conmutativa y asociativa, como la de naturales: el orden no cambia el resultado.

07Restar enteros

Restar es sumar el opuesto. 6 − 10 = 6 + (−10) = −4. Y para restar un negativo se suma el positivo: (−3) − (−8) = −3 + 8 = +5. Quitar una deuda es como ganar.

Si un número negativo va detrás de un signo de operación, se escribe entre paréntesis: 4 + (−6), nunca 4 + −6.

La resta no es conmutativa: 2 − 9 = −7, pero 9 − 2 = 7. Dan opuestos.

08Quitar paréntesis y sumas largas

Un + delante de un paréntesis deja el signo como está; un − lo cambia: +(+a) = +a, +(−a) = −a, −(+a) = −a, −(−a) = +a. Así, 10 − (−3) + (−8) − (+2) = 10 + 3 − 8 − 2 = 3.

Con muchos sumandos, junta los positivos por un lado y los negativos por otro: −4 + 9 − 7 + 1 − 6 = (9 + 1) − (4 + 7 + 6) = 10 − 17 = −7.

09Multiplicar y dividir: la regla de los signos

Se multiplican (o dividen) los valores absolutos y luego se pone el signo: si los dos signos son iguales, +; si son distintos, −. Así, (−3) · (+12) = −36, (−8) · (−5) = +40, (+48) : (−8) = −6 y (−63) : (−9) = +7.

¿Por qué menos por menos es más? Mira la serie 3 · (−2) = −6, 2 · (−2) = −4, 1 · (−2) = −2, 0 · (−2) = 0. Cada vez el resultado sube 2. Para seguir el patrón, (−1) · (−2) tiene que ser +2.

Con varios factores, cuenta los negativos: si son pares, el resultado es positivo; si son impares, negativo.

10Potencias de base negativa

Una potencia de base negativa es un producto de negativos, así que basta con contar: con exponente par sale positiva y con exponente impar, negativa. (−6)² = 36, (−2)⁵ = −32 y (−10)⁴ = 10 000.

Cuidado con los paréntesis: (−4)² = (−4) · (−4) = 16, pero −4² es el opuesto de 4², es decir, −16. El exponente solo afecta a lo que tiene justo debajo.

11Jerarquía con enteros

El orden es el de siempre: paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones, y por último sumas y restas. La única novedad es aplicar la regla de los signos en cada paso.

Ejemplo: −3 + 4 · (−5) − (−18) : 6 = −3 + (−20) − (−3) = −3 − 20 + 3 = −20. Otro: (−2)³ − 2 · (7 − 11) = −8 − 2 · (−4) = −8 + 8 = 0.

12Resolver problemas

Elige el cero, decide qué es positivo y qué negativo, y escribe cada dato con su signo antes de operar.

Sacas un helado del congelador, a −18 °C, a una cocina a 22 °C. La diferencia es 22 − (−18) = 22 + 18 = 40 grados.

Una golfista hace cuatro hoyos con −1, +2, −1 y −1 respecto al par. Su resultado es −1 + 2 − 1 − 1 = −1: un golpe bajo par.

13Para recordar

• ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}: naturales, sus opuestos y el 0.
• En la recta, más a la derecha es mayor: −9 < −2.
• |a| es la distancia al 0; el opuesto está al otro lado, a la misma distancia.
• Sumar con signo igual: se suman y se deja el signo. Con signo distinto: se restan y gana el de mayor valor absoluto.
• Restar es sumar el opuesto: a − (−b) = a + b.
• × y : con signos iguales, +; distintos, −. Base negativa: exponente par +, impar −.