Mates en AcciónPolígonos, triángulos y cuadriláteros
Un polígono es la parte del plano encerrada por una línea poligonal cerrada, hecha de segmentos que no se cruzan. Sus ángulos suman (n − 2) · 180°.
Qué es un polígono y qué no, sus elementos y diagonales, cómo se clasifican, cuánto suman sus ángulos, triángulos y sus puntos notables, y la familia de los cuadriláteros.
01Formas de lados rectos
Sal a la calle y mira las señales: el aviso de peligro es un triángulo, la de stop tiene ocho lados y las de información suelen ser rectángulos. Las celdas de un panal son hexágonos. Todas son polígonos: figuras planas con el borde hecho de segmentos.
Conocer sus propiedades sirve para cosas prácticas: saber si unas varillas forman un triángulo, cuánto mide el ángulo que falta o por qué un cuadrado también es un rectángulo.
02Línea poligonal y polígono
Una línea poligonal es una cadena de segmentos en la que cada uno empieza donde acaba el anterior. Si el final del último coincide con el principio del primero, la línea es cerrada; si no, es abierta, como una escalera dibujada en zigzag.
Un polígono es la región del plano que encierra una línea poligonal cerrada que no se corta a sí misma. Para que sea polígono hacen falta tres cosas: lados rectos, figura cerrada y lados que solo se toquen en sus extremos.
| ✓ | un triángulotres segmentos que cierran la figura |
| ✓ | una estrella de cinco puntases un polígono de 10 lados, aunque tenga entrantes |
| ✓ | la señal de stopun octógono: 8 lados rectos y cerrado |
| ✗ | un círculosu borde es curvo: no tiene lados rectos |
| ✗ | la letra N trazada con tres segmentoses una línea poligonal abierta: no encierra nada |
| ✗ | un reloj de arena hecho con cuatro segmentosdos lados se cruzan en el centro |
| ✗ | media luna con un borde rectouno de sus lados es curvo |
03Elementos y nombres
Los lados son los segmentos del borde. Los vértices, los puntos donde se unen dos lados. Los ángulos interiores son los que forman dos lados consecutivos, por dentro. Un ángulo exterior es el que forma un lado con la prolongación del siguiente. Una diagonal es un segmento que une dos vértices que no están juntos.
Todo polígono tiene el mismo número de lados, de vértices y de ángulos interiores. Por ese número se nombran: triángulo (3), cuadrilátero (4), pentágono (5), hexágono (6), heptágono (7), octógono (8), eneágono (9), decágono (10), endecágono (11) y dodecágono (12). Con 15 lados es un pentadecágono y con 20, un icoságono.
| ✓ | un heptágono tiene 7 vérticestantos vértices como lados |
| ✗ | el segmento que une dos vértices vecinos es una diagonaleso es un lado: la diagonal une vértices no consecutivos |
| ✗ | un pentágono tiene 6 ángulostiene 5, uno en cada vértice |
04Cuántas diagonales tiene
Desde un vértice no se puede trazar diagonal a él mismo ni a sus dos vecinos, que ya están unidos por lados. Así que de cada vértice salen n − 3 diagonales, si el polígono tiene n lados.
Hay n vértices, pero cada diagonal tiene dos extremos y se contaría dos veces. Por eso el total es n · (n − 3)/2.
Heptágono: 7 · 4/2 = 14 diagonales. Dodecágono: 12 · 9/2 = 54. Cuadrilátero: 4 · 1/2 = 2. Triángulo: 3 · 0/2 = 0, ningún vértice está lejos de los otros dos.
| ✓ | heptágono: 14 diagonales7 · 4 = 28, y 28 : 2 = 14 |
| ✗ | heptágono: 28 diagonalesse ha olvidado dividir entre 2: cada diagonal se ha contado desde sus dos extremos |
| ✗ | pentágono: 10 diagonales10 son todos los segmentos entre vértices, lados incluidos; diagonales hay 5 · 2/2 = 5 |
05Convexos o cóncavos, regulares o irregulares
Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180°: no tiene entrantes y todas sus diagonales quedan dentro. Es cóncavo si al menos un ángulo pasa de 180°: tiene un entrante y alguna diagonal se sale de la figura.
Un polígono es regular si tiene todos los lados iguales (equilátero) y todos los ángulos iguales (equiángulo). Si falla una de las dos cosas, es irregular. Los regulares tienen además un centro, que está a la misma distancia de todos los vértices.
| ✓ | un cuadrado es regularcuatro lados iguales y cuatro ángulos de 90° |
| ✓ | una punta de flecha es cóncavael entrante de atrás tiene un ángulo de más de 180° |
| ✗ | un rombo de ángulos 70° y 110° es regulartiene los lados iguales, pero no los ángulos |
| ✗ | un rectángulo de 3 × 5 cm es regulartiene los ángulos iguales, pero no los lados |
| ✗ | un triángulo cóncavono existe: sus ángulos suman 180°, ninguno puede pasar de 180° |
06La suma de los ángulos interiores
Elige un vértice y traza todas las diagonales que salen de él: el polígono queda partido en triángulos, siempre dos menos que lados. Como los ángulos de cada triángulo suman 180°, los de un polígono de n lados suman (n − 2) · 180°.
Heptágono: 5 triángulos, 5 · 180° = 900°. Dodecágono: 10 · 180° = 1 800°. Si es regular, cada ángulo mide 1 800° : 12 = 150°.
En un polígono convexo, los ángulos exteriores suman siempre 360°, tenga los lados que tenga: es una vuelta completa al recorrer el borde. En el dodecágono regular cada uno mide 360° : 12 = 30°, y 150° + 30° = 180°.
| ✓ | heptágono: 900°(7 − 2) · 180° = 5 · 180° |
| ✗ | heptágono: 7 · 180° = 1 260°se divide en 5 triángulos, no en 7 |
| ✗ | un cuadrilátero cóncavo suma menos de 360°también se parte en dos triángulos: suma 360° |
07Clasificar triángulos
Por sus lados, un triángulo es equilátero si tiene los tres iguales, isósceles si tiene dos iguales y escaleno si los tres son distintos.
Por sus ángulos, es acutángulo si los tres son agudos, rectángulo si tiene uno recto y obtusángulo si tiene uno obtuso. En el rectángulo, los dos lados que forman el ángulo recto son los catetos y el tercero, el más largo, es la hipotenusa.
Las dos clasificaciones se combinan: un triángulo puede ser isósceles y rectángulo a la vez, por ejemplo.
| ✓ | isósceles rectángulo: 45°, 45° y 90°dos ángulos iguales y uno recto |
| ✓ | escaleno obtusángulo: 25°, 35° y 120°tres ángulos distintos y uno obtuso |
| ✗ | un triángulo equilátero obtusánguloen el equilátero todos los ángulos miden 60°: es acutángulo |
| ✗ | un triángulo con un ángulo recto y otro obtusoya pasarían de 180° entre los dos |
08Los ángulos de un triángulo
Los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180°. Compruébalo: recorta un triángulo de papel, rasga sus tres esquinas y júntalas con los vértices en el mismo punto. Forman una línea recta.
Así se halla el ángulo que falta. Si dos miden 47° y 68°, el tercero mide 180° − 47° − 68° = 65°. En un rectángulo, los dos agudos son complementarios: si uno mide 36°, el otro mide 54°. En un isósceles con el ángulo desigual de 40°, los otros dos se reparten 140°: 70° cada uno.
Un ángulo exterior de un triángulo es el suplementario del interior de su vértice y vale lo mismo que la suma de los otros dos interiores. En el triángulo de 47°, 68° y 65°, el exterior junto al de 65° mide 115° = 47° + 68°.
| ✓ | 47°, 68° y 65°suman 180° |
| ✓ | cada ángulo de un equilátero mide 60°tres ángulos iguales: 180° : 3 |
| ✗ | un triángulo con ángulos de 100° y 85°esos dos ya suman 185° |
| ✗ | un triángulo más grande suma más de 180°el tamaño no cambia la suma: siempre 180° |
09¿Siempre se puede formar un triángulo?
Coge tres pajitas e intenta unirlas por los extremos. Si una es demasiado larga, las otras dos no llegan a tocarse por arriba. En todo triángulo, cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Basta con comprobarlo para el lado más largo. Con 4, 7 y 10 cm: 4 + 7 = 11, más que 10, así que sí. Con 3, 5 y 9 cm: 3 + 5 = 8, menos que 9, así que no.
| ✓ | 4 cm, 7 cm y 10 cm4 + 7 = 11 > 10 |
| ✓ | 2 cm, 9 cm y 9 cm2 + 9 = 11 > 9: un isósceles muy estrecho |
| ✗ | 3 cm, 5 cm y 9 cm3 + 5 = 8 < 9: los lados cortos no llegan a juntarse |
| ✗ | 5 cm, 7 cm y 12 cm5 + 7 = 12 justo: los dos lados quedan tumbados sobre el tercero y no hay triángulo |
10Rectas y puntos notables
Cada triángulo tiene cuatro familias de tres rectas especiales, y las tres de cada familia se cortan en un mismo punto.
Mediatrices de los lados: se cortan en el circuncentro, que está a la misma distancia de los tres vértices. Es el centro de la circunferencia que pasa por ellos. Un aspersor ahí regaría hasta las tres esquinas de un jardín triangular.
Bisectrices de los ángulos: se cortan en el incentro, a la misma distancia de los tres lados. Es el centro del mayor círculo que cabe dentro.
Alturas: cada una sale de un vértice y cae en perpendicular sobre el lado de enfrente o su prolongación. Se cortan en el ortocentro. Medianas: van de cada vértice al punto medio del lado opuesto y se cortan en el baricentro, el centro de gravedad: un triángulo de cartón se sostiene sobre la punta de un lápiz puesta ahí.
En un triángulo equilátero los cuatro puntos coinciden.
| ✓ | el baricentro está siempre dentro del triángulolas medianas van por dentro, de vértice a punto medio |
| ✗ | la altura siempre cae dentro del triánguloen un obtusángulo dos alturas caen fuera, sobre la prolongación de los lados, y el ortocentro queda fuera |
| ✗ | la mediana es perpendicular al ladova al punto medio, pero no tiene por qué formar 90° |
| ✗ | el incentro está a igual distancia de los vérticeseso es el circuncentro; el incentro equidista de los lados |
11Triángulos iguales y un avance
Dos triángulos son iguales si tienen iguales los tres lados y los tres ángulos, y se pueden superponer. No hace falta comprobar las seis cosas: basta con uno de estos tres criterios.
Los tres lados iguales. Dos lados iguales y el ángulo que forman entre ellos. Un lado igual y los dos ángulos que lo tocan. Por ejemplo, con lados de 9, 6 y 5 cm solo sale un triángulo: dibuja el de 9 cm y, desde sus extremos, arcos de 6 y 5 cm; donde se cortan está el tercer vértice.
Avance para 2º ESO: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es el teorema de Pitágoras. Con catetos de 8 y 15 cm: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17², así que la hipotenusa mide 17 cm.
| ✓ | dos triángulos con lados de 9, 6 y 5 cmtres lados iguales: son iguales |
| ✗ | dos triángulos con los mismos tres ángulospueden tener distinto tamaño, como un equilátero de 2 cm y otro de 7 cm |
| ✗ | dos lados iguales y un ángulo cualquierael ángulo tiene que ser el que forman esos dos lados |
| ✗ | Pitágoras con 4, 7 y 10 cm16 + 49 = 65, no 100: solo vale en triángulos rectángulos |
12Paralelogramos, trapecios y trapezoides
Los cuadriláteros convexos se ordenan según cuántas parejas de lados paralelos tienen.
Paralelogramos: dos parejas de lados paralelos. Si tienen los cuatro ángulos rectos, son rectángulos. Si tienen los cuatro lados iguales, son rombos. Si tienen las dos cosas, son cuadrados. Si no tienen ninguna de las dos, son romboides.
Trapecios: exactamente una pareja de lados paralelos, las bases. Es rectángulo si tiene dos ángulos rectos, isósceles si sus dos lados no paralelos son iguales y escaleno si no es ninguna de las dos cosas. Trapezoides: ninguna pareja de lados paralelos, como una cometa.
La familia funciona como una escalera: todo cuadrado es a la vez rectángulo y rombo, y todo rectángulo o rombo es un paralelogramo. Al revés no se cumple. Algunos libros separan estas figuras en grupos sin mezcla; aquí seguimos la definición que admite que un cuadrado sea también un rectángulo.
| ✓ | un cuadrado es un rombotiene los cuatro lados iguales |
| ✓ | un rectángulo es un paralelogramosus lados opuestos son paralelos |
| ✗ | un rombo es un cuadradosolo si sus ángulos son rectos; uno de 70° y 110° no lo es |
| ✗ | un trapecio es un paralelogramosolo tiene una pareja de lados paralelos |
| ✗ | una cometa es un trapeciono tiene lados paralelos: es un trapezoide |
13Propiedades de los cuadriláteros
Una diagonal parte cualquier cuadrilátero en dos triángulos, así que sus ángulos suman 2 · 180° = 360°. Si tres miden 75°, 110° y 95°, el cuarto mide 360° − 280° = 80°.
En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales, los ángulos opuestos son iguales y dos ángulos seguidos suman 180°. Un romboide con un ángulo de 58° tiene ángulos de 58°, 122°, 58° y 122°. Cada diagonal lo parte en dos triángulos iguales.
Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. En el rectángulo, además, miden lo mismo; en el rombo, se cortan en ángulo recto; en el cuadrado, pasan las dos cosas.
| ✓ | romboide: 58°, 122°, 58° y 122°opuestos iguales y seguidos suplementarios: suman 360° |
| ✗ | romboide: 58°, 58°, 132° y 132°suman 380°, y 58° + 132° no da 180° |
| ✗ | las diagonales de un rombo miden lo mismoen general una es más larga; solo son iguales si el rombo es un cuadrado |
| ✗ | si las diagonales miden lo mismo, es un rectánguloun trapecio isósceles también tiene las diagonales iguales |
14Resolver problemas
Haz un dibujo aproximado, marca los datos y piensa qué propiedad los une: la suma de ángulos, los lados iguales o la desigualdad de los lados.
Un triángulo isósceles tiene los dos ángulos iguales de 52°. El tercero mide 180° − 2 · 52° = 76°. Los tres son agudos, así que es acutángulo.
¿Hay un polígono regular con ángulos de 156°? Cada exterior mediría 180° − 156° = 24°, y como los exteriores suman 360°, tendría 360 : 24 = 15 lados: sí, un pentadecágono. Con ángulos de 130° el exterior sería 50°, y 360 : 50 = 7,2 no es un número entero de lados: no existe.
Un trapecio rectángulo tiene un ángulo de 64°, además de los dos rectos. El cuarto mide 360° − 90° − 90° − 64° = 116°.
15Para recordar
- Polígono: borde cerrado de segmentos que no se cruzan.
- Diagonales: n · (n − 3)/2. Suma de ángulos: (n − 2) · 180°.
- Regular: lados y ángulos iguales. Cóncavo: algún ángulo de más de 180°.
- Triángulo: ángulos que suman 180°; cada lado menor que la suma de los otros dos.
- Circuncentro (mediatrices), incentro (bisectrices), ortocentro (alturas), baricentro (medianas).
- Cuadrilátero: 360°. Todo cuadrado es rectángulo y rombo, y estos son paralelogramos; trapecio, una pareja de lados paralelos; trapezoide, ninguna.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un polígono?
Es una figura plana cerrada cuyo borde está formado solo por segmentos que se unen por sus extremos sin cruzarse. Un círculo no lo es, porque su borde es curvo.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono?
Un polígono de n lados tiene n · (n − 3)/2 diagonales. Un heptágono tiene 7 · 4/2 = 14.
¿Cuánto suman los ángulos de un polígono?
Los de un polígono de n lados suman (n − 2) · 180°: un triángulo 180°, un cuadrilátero 360° y un heptágono 900°.
¿Qué tres lados pueden formar un triángulo?
Tres longitudes forman triángulo solo si la mayor es menor que la suma de las otras dos. Con 3, 5 y 9 cm no se puede, porque 3 + 5 = 8 no llega a 9.
¿Puede un triángulo tener dos ángulos rectos?
No. Dos ángulos rectos ya suman 180°, y no quedaría nada para el tercero. Un triángulo tiene como mucho un ángulo recto o uno obtuso.
¿Un cuadrado es un rectángulo?
Sí. Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos, y el cuadrado los tiene. También es un rombo, porque sus cuatro lados son iguales. Al revés no: no todo rectángulo es un cuadrado.
¿Qué diferencia hay entre un trapecio y un trapezoide?
El trapecio tiene exactamente un par de lados paralelos. El trapezoide no tiene ninguno.
¿Qué es el baricentro de un triángulo?
Es el punto donde se cortan las tres medianas, las rectas que van de cada vértice al punto medio del lado opuesto. Es el centro de gravedad: el triángulo se sostiene en equilibrio sobre él.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: