Azar y probabilidad

01El azar en el día a día

Para decidir quién empieza una partida, se lanza una moneda al aire. Nadie protesta, porque nadie puede saber qué saldrá y los dos tienen las mismas posibilidades. Otras veces las posibilidades no están igualadas: es más fácil que una tostada caiga al suelo que te toque un premio en una rifa con miles de papeletas.

La probabilidad es el número que mide esas posibilidades. No dice qué va a pasar, sino cuánto conviene fiarse de que pase.

02Experimentos aleatorios y deterministas

Un experimento es aleatorio cuando, si lo haces igual una y otra vez, el resultado puede cambiar y no hay forma de saber cuál saldrá. Lanzar un dado, girar una ruleta de colores o sacar sin mirar una canica de una bolsa son experimentos aleatorios.

Es determinista cuando el resultado se conoce antes de hacerlo: calentar agua pura a nivel del mar hasta que hierva siempre da 100 °C, y comprar 3 cuadernos de 2 € siempre cuesta 6 €.

Que tú no sepas el resultado no lo vuelve aleatorio. Quizá no sabes de memoria cuánto es 37 · 43, pero ahí no hay azar: siempre da 1 591.

03El espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Se suele llamar E y sus resultados se escriben entre llaves. Para un dado normal, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para una ruleta con sectores rojo, verde y azul, E = {rojo, verde, azul}.

Depende de lo que se decida mirar. Si al lanzar el dado solo te interesa si sale un número primo, E = {primo, no primo}. Lo importante es que estén todos los resultados y que ninguno se cuente dos veces.

04Sucesos

Un suceso es algo que puede pasar o no al hacer el experimento, y se describe con los resultados que lo cumplen. Con un dado, «sacar un múltiplo de 3» es el suceso A = {3, 6}. Se dice que ocurre A si sale un 3 o un 6.

Un suceso elemental tiene un solo resultado, como «sacar un 4» = {4}. Un suceso compuesto tiene varios, como «sacar un número primo» = {2, 3, 5}.

El suceso seguro ocurre siempre: «sacar menos de 7» es todo E. El suceso imposible no ocurre nunca: «sacar un 8» no tiene ningún resultado y se escribe ∅, el conjunto vacío.

05El suceso contrario

El contrario de un suceso A, que se escribe «no A», ocurre justo cuando no ocurre A. Se forma con los resultados de E que no están en A. Si A = «sacar un múltiplo de 3» = {3, 6}, su contrario es {1, 2, 4, 5}.

Entre los dos cubren todo E y no comparten ningún resultado: siempre ocurre uno de los dos, y nunca los dos a la vez. El contrario del suceso seguro es el imposible.

06Frecuencias al repetir un experimento

Si repites un experimento muchas veces, puedes contar cuántas veces ocurre cada suceso. Esa cuenta es su frecuencia absoluta. Si la divides entre el número de repeticiones, obtienes la frecuencia relativa, que siempre queda entre 0 y 1.

Ejemplo: giras 50 veces una ruleta y cae 20 veces en rojo, 18 en azul y 12 en verde. La frecuencia absoluta del azul es 18 y su relativa, 18/50 = 0,36, el 36 %. Las del rojo y el verde son 0,4 y 0,24. Las tres relativas suman 1.

07La frecuencia se estabiliza

Lanza una moneda 10 veces y pueden salir 7 caras: frecuencia relativa 0,7. Parece mucho, pero con tan pocas tiradas pasa a menudo. Si sigues, las rachas se diluyen: en una prueba con 100 lanzamientos salieron 46 caras, que es 0,46; con 1 000 salieron 508, que es 0,508; y con 10 000, 4 986, que es 0,4986.

Al aumentar el número de tiradas, la frecuencia relativa oscila cada vez menos y se queda rondando un valor fijo. Ese valor es la probabilidad del suceso, y la idea se conoce como ley de los grandes números. Con pocas repeticiones, en cambio, la frecuencia todavía da bandazos.

08La regla de Laplace

Cuando todos los resultados de E tienen las mismas posibilidades de salir, se dice que son equiprobables. Entonces la probabilidad de un suceso A se calcula sin hacer el experimento: P(A) = casos favorables / casos posibles.

Una bolsa tiene 12 canicas iguales al tacto: 5 verdes, 3 azules y 4 amarillas. Los casos posibles son las 12 canicas y los favorables a «sacar azul», las 3 azules. Así, P(azul) = 3/12 = 1/4.

Otro ejemplo: un bombo con bolas numeradas del 1 al 20. P(múltiplo de 5) = 4/20 = 1/5, porque valen el 5, el 10, el 15 y el 20. Y P(primo) = 8/20 = 2/5, con el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19.

09Cuándo no vale Laplace

La regla solo funciona si los resultados son equiprobables. Una chincheta puede caer tumbada o con la punta mirando al techo, pero eso no hace que cada postura tenga probabilidad 1/2: su forma favorece una de ellas. La probabilidad se estima lanzándola muchas veces. Si en 400 tiradas cae 248 veces con la punta al techo, P ≈ 248/400 = 0,62.

Un dado trucado, con un peso escondido junto a una cara, cae más veces sobre esa cara, así que la de enfrente sale más que las otras. Tampoco son equiprobables las sumas de dos dados: hay 11 sumas posibles, del 2 al 12, pero la suma 7 sale de 6 maneras y la suma 2 de una sola.

10Entre 0 y 1

Ninguna probabilidad baja de 0 ni pasa de 1. Vale 0 para el suceso imposible y 1 para el seguro. Cerca de 0 es poco probable; 1/2 es tan probable que pase como que no; cerca de 1, muy probable.

Se puede escribir como fracción, como decimal o como porcentaje: P(azul) = 1/4 = 0,25 = 25 %. Para pasar de fracción a decimal se divide el numerador entre el denominador, y de decimal a porcentaje se multiplica por 100.

Un suceso y su contrario se reparten todos los casos, así que sus probabilidades suman 1: P(no A) = 1 − P(A). Con las canicas, P(no azul) = 1 − 1/4 = 3/4. A menudo es más rápido calcular el contrario y restar.

11La falacia del jugador

Lanzas una moneda y salen cinco caras seguidas. Mucha gente cree que ahora «toca» cruz. Es falso: la moneda no recuerda lo que ha salido antes, y en el sexto lanzamiento la cruz sigue teniendo probabilidad 1/2.

Este error se llama falacia del jugador y hace perder mucho dinero en los juegos de azar. La ley de los grandes números no dice que el azar «devuelva» lo de antes: dice que, entre miles de tiradas, cinco caras de más pesan cada vez menos en la frecuencia relativa.

Lo mismo pasa con «llevo diez rifas sin ganar, la próxima me toca». Cada rifa empieza de cero, con las mismas probabilidades.

12Contar casos con tablas y árboles

Con dos experimentos a la vez hay que contar bien los casos posibles. Un diagrama de árbol abre una rama por cada resultado del primero y, de cada una, una rama por cada resultado del segundo. Con dos monedas, llamando C a la cara y X a la cruz, salen 2 · 2 = 4 caminos igual de probables: CC, CX, XC y XX.

Así, P(dos cruces) = 1/4 y P(una cara y una cruz) = 2/4 = 1/2, porque CX y XC son casos distintos. Y P(al menos una cara) = 3/4, que también sale como 1 − P(ninguna cara) = 1 − 1/4.

Con dos dados conviene una tabla de doble entrada: el primer dado en las filas, el segundo en las columnas y la suma en cada casilla. Hay 6 · 6 = 36 casillas equiprobables. La suma 7 aparece en 6 de ellas, (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) y (6, 1), así que P(suma 7) = 6/36 = 1/6. La suma 10 aparece 3 veces: P(suma 10) = 3/36 = 1/12.

El árbol sirve también con experimentos distintos: una moneda y una ruleta de 3 colores con sectores iguales dan 2 · 3 = 6 caminos, y P(cara y rojo) = 1/6.

13Resolver problemas

Pasos: describe el experimento y su espacio muestral; comprueba si los casos son equiprobables; cuenta los favorables y los posibles, con tabla o árbol si hace falta; da el resultado como fracción simplificada y, si ayuda, como decimal o porcentaje; comprueba que queda entre 0 y 1.

Rifa: para el viaje de fin de curso se venden 250 papeletas y compras 5. P(ganar) = 5/250 = 1/50 = 0,02 = 2 %, y P(no ganar) = 1 − 0,02 = 0,98.

Música en aleatorio: una lista tiene 40 canciones y 12 son de rock. P(rock) = 12/40 = 3/10 = 30 % y P(no rock) = 7/10 = 70 %.

Un dado de 4 caras y otro de 6 a la vez: hay 4 · 6 = 24 casos. Suman 5 con (1, 4), (2, 3), (3, 2) y (4, 1), así que P(suma 5) = 4/24 = 1/6.

14Para recordar

• Aleatorio: no se puede saber el resultado. Determinista: se sabe de antemano.
• Espacio muestral E: todos los resultados. Suceso: parte de E. Seguro = E; imposible = ∅.
• Al repetir mucho, la frecuencia relativa se estabiliza cerca de la probabilidad.
• Laplace, solo con casos equiprobables: P(A) = favorables / posibles.
• 0 ≤ P(A) ≤ 1 y P(no A) = 1 − P(A). Fracción, decimal o %: 1/4 = 0,25 = 25 %.
• El azar no tiene memoria. Con dos experimentos, cuenta los casos con un árbol o una tabla.