Estadística: tablas y gráficos

01Para qué sirve

Un instituto quiere cambiar el horario de la cafetería y necesita saber a qué hora tienen hambre sus alumnos. Una tienda tiene que decidir cuántas camisetas pedir de cada talla. Un laboratorio compara dos jarabes para ver cuál cura antes. En todos los casos hay montones de datos y hace falta ponerlos en orden para decidir.

La estadística es la parte de las matemáticas que recoge esos datos, los ordena en tablas, los dibuja en gráficos y los resume con unos pocos números. No adivina el futuro: describe con cuidado lo que se ha observado.

02Población, muestra e individuo

La población es el grupo entero que se quiere estudiar: los 600 alumnos de un instituto, o todos los móviles que fabrica una empresa en un mes. Cada elemento de la población es un individuo, y no tiene por qué ser una persona: puede ser un móvil, un árbol o un día.

Preguntar a todos cuesta mucho tiempo y dinero, así que a menudo se estudia solo una muestra, una parte de la población. Para que lo que pasa en la muestra se parezca a lo que pasa en todos, tiene que ser bastante grande y estar elegida al azar, sin favorecer a ningún grupo.

Una muestra sesgada es la que se inclina hacia un lado. Si quieres saber cuántas horas de deporte hacen los alumnos y solo preguntas en la puerta del gimnasio, te saldrá mucho más deporte del que hay de verdad.

03Tipos de variable

La variable es la característica que se estudia en cada individuo. Es cualitativa si se responde con palabras, como el color de la mochila o el deporte favorito. Es cuantitativa si se responde con un número que se cuenta o se mide, como el número de mascotas o el tiempo en correr 60 m.

Las cuantitativas pueden ser discretas o continuas. Una variable discreta solo toma valores sueltos, que se cuentan: se tienen 0, 1 o 2 mascotas, nunca 1,7. Una continua puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, porque se mide: correr 60 m puede llevar 9,4 s, 9,41 s o 9,413 s, según la precisión del cronómetro.

Ojo: que una respuesta se escriba con cifras no la hace cuantitativa. El dorsal de una camiseta o un código postal son etiquetas: no tiene sentido sumarlos ni calcular su media.

04Recoger datos y hacer el recuento

Los datos se consiguen con una encuesta (preguntando), con la observación (mirando y apuntando) o con un experimento (midiendo). Antes de empezar hay que fijar la pregunta exacta y las respuestas posibles: «¿Cuántas mascotas tenéis en casa?» se contesta con un número; «¿Te gustan los animales?» deja muchas dudas.

Para contar sin perderse se usan marcas de recuento: un palito por cada dato y, al llegar al quinto, una raya que tacha los cuatro anteriores. Así se cuenta de cinco en cinco y es difícil saltarse alguno.

Ejemplo: se pregunta a 20 alumnos cuántas mascotas tienen y responden 1, 0, 2, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 1, 1, 4, 0, 2, 1, 1, 0, 2, 1. El recuento da 5 veces el 0, 9 veces el 1, 4 veces el 2, una vez el 3 y una vez el 4.

05La tabla de frecuencias

La frecuencia absoluta de un valor es el número de veces que aparece. La frecuencia relativa es la absoluta dividida entre el número total de datos, que se llama N. Se puede dar como fracción, como decimal o como porcentaje: el 1 sale 9 veces de 20, así que su frecuencia relativa es 9/20 = 0,45 = 45 %.

La tabla de las mascotas queda así. Valor 0: absoluta 5, relativa 0,25, que es el 25 %. Valor 1: absoluta 9, relativa 0,45. Valor 2: absoluta 4, relativa 0,2. Valores 3 y 4: absoluta 1 cada uno, relativa 0,05.

Dos comprobaciones que no fallan: las frecuencias absolutas suman N, 5 + 9 + 4 + 1 + 1 = 20, y las relativas suman 1, 0,25 + 0,45 + 0,2 + 0,05 + 0,05 = 1, que es el 100 %. Si has redondeado, pueden salir 0,99 o 1,01, y es normal.

06Frecuencias acumuladas

Con variables cuantitativas tiene sentido preguntar «¿cuántos tienen 2 mascotas o menos?». La frecuencia absoluta acumulada de un valor es su frecuencia más la de todos los valores menores. Con las mascotas: 5, luego 5 + 9 = 14, luego 14 + 4 = 18, después 19 y por último 20.

La relativa acumulada se obtiene igual sumando relativas, o dividiendo cada acumulada entre N: 0,25; 0,7; 0,9; 0,95 y 1. De un vistazo se ve que el 90 % de los alumnos tiene 2 mascotas o menos.

La última acumulada siempre es N, o 1 si es relativa; si no sale eso, hay un error. Con variables cualitativas, como el color favorito, acumular no tiene sentido, porque los colores no van en ningún orden.

07Diagrama de barras y de líneas

En un diagrama de barras, el eje horizontal lleva los valores de la variable y el vertical, las frecuencias. Cada valor tiene su barra, todas igual de anchas y separadas, con la altura de su frecuencia. Para las mascotas, cinco barras de alturas 5, 9, 4, 1 y 1. Si el eje vertical lleva frecuencias relativas, el dibujo es idéntico: solo cambian los números del eje.

El diagrama de líneas une con segmentos los puntos que marcarían lo alto de cada barra. Es el mejor cuando la variable es el tiempo, porque deja ver si algo sube o baja. Una tomatera mide 4, 9, 15, 22, 26 y 28 cm en seis semanas seguidas: la línea sube deprisa al principio y se va aplanando cuando la planta crece menos.

08Pictograma y diagrama de sectores

Un pictograma cambia las barras por filas de dibujos que recuerdan el tema. Tres clases recogen botellas para reciclar: 60, 45 y 80. Si cada dibujo vale 10 botellas, se pintan 6, 4 y medio, y 8 dibujos. Sin la leyenda «cada dibujo = 10 botellas», el pictograma no se puede leer.

El diagrama de sectores reparte un círculo en porciones proporcionales a las frecuencias. Como el círculo completo mide 360°, el ángulo de cada sector es su frecuencia relativa · 360°. Con las mascotas: 0,25 · 360° = 90°, 0,45 · 360° = 162°, 0,2 · 360° = 72°, y 0,05 · 360° = 18° para el 3 y otros 18° para el 4.

Comprobación: 90 + 162 + 72 + 18 + 18 = 360. Los ángulos se dibujan con el transportador, uno a continuación de otro.

09Qué gráfico elegir

Cada gráfico responde bien a una pregunta. Para comparar categorías o valores sueltos, barras. Para ver cómo cambia algo con el tiempo, líneas. Para ver qué parte del total es cada categoría, sectores. Para un cartel o para lectores pequeños, un pictograma.

10Gráficos engañosos

Un gráfico puede tener todos los números bien y aun así engañar. El truco más común es cortar el eje vertical. En la elección de delegado, Ana saca 48 votos y Bruno 52. Si el eje empieza en 45, la barra de Bruno mide 7 y la de Ana 3: parece que Bruno ha arrasado con más del doble, cuando solo le saca 4 votos.

Antes de fiarte de un gráfico, mira dónde empieza el eje, si las marcas van a saltos iguales, si los sectores suman el 100 % y si se dice de dónde salen los datos y cuántos son.

11Media, mediana y moda

Son las medidas de centralización: un solo número que representa a todo el grupo de datos. Íker apunta sus puntos en 7 partidas de dardos: 12, 9, 17, 12, 11, 20 y 10.

Para la media, se suman todos los datos y el total se reparte entre cuántos hay: (12 + 9 + 17 + 12 + 11 + 20 + 10) : 7 = 91 : 7 = 13 puntos. La media no tiene por qué ser uno de los datos: Íker nunca hizo 13.

Para la mediana, primero se ordenan los datos del más pequeño al más grande: 9, 10, 11, 12, 12, 17, 20. La mediana es el que queda justo en medio; con 7 datos es el 4.º, así que vale 12. Si hay un número par de datos, en medio quedan dos y la mediana es su media. Seis mochilas cuestan 16, 25, 34, 20, 40 y 27 €; ordenadas, 16, 20, 25, 27, 34, 40, y la mediana es (25 + 27) : 2 = 26 €.

La moda es el valor que más se repite: en los dardos, 12. Puede haber dos modas o ninguna. Es la única de las tres que sirve con variables cualitativas: la moda del color de ojos puede ser «marrón», pero no existe una media de colores.

12Rango y valores atípicos

Dos jugadores pueden tener la misma media y jugar de forma muy distinta. Sara hace 12, 13, 14, 13, 13, 14 y 12 puntos, que suman 91, así que su media también es 13. Pero Íker va de 9 a 20 y Sara solo de 12 a 14. El rango, o recorrido, mide esa separación: dato mayor menos dato menor. Íker tiene rango 20 − 9 = 11; Sara, 14 − 12 = 2. Sara es mucho más regular.

Cuándo la media engaña: cinco amigos reciben de paga 5, 6, 5, 8 y 6 € a la semana, con media 30 : 5 = 6 €. Se une un sexto que recibe 100 €. La nueva media es 130 : 6 ≈ 21,67 €, aunque cinco de los seis cobran 8 € o menos. La mediana no se deja arrastrar: con 5, 5, 6, 6, 8 y 100, vale (6 + 6) : 2 = 6 €.

Un dato muy alejado del resto se llama valor atípico. Si lo hay, la mediana describe mejor al grupo. Conviene dar las dos medidas, avisar del dato raro y comprobar que no es un error al apuntarlo.

13La hoja de cálculo

Con muchos datos, una hoja de cálculo hace las cuentas en un momento. Casi todas funcionan igual: se escribe cada dato en una celda de la misma columna y se usan funciones. En las versiones en español suelen llamarse PROMEDIO, MEDIANA, MODA, MAX y MIN, según el programa con o sin tilde. CONTAR.SI dice cuántas veces aparece un valor, que es justo su frecuencia absoluta.

Para el gráfico, se seleccionan los datos y se elige el tipo: columnas o barras, líneas o circular, que es el de sectores. El programa dibuja lo que le pidas aunque no tenga sentido: si eliges líneas para el color de ojos, las pinta igual. Elegir el gráfico y revisar dónde empieza el eje sigue siendo cosa tuya.

Revisa también lo que has tecleado: un 120 escrito en lugar de 12 cambia la media y el rango, y la hoja no avisa.

14Resolver un estudio completo

Pasos: 1.º fija la pregunta y la población; 2.º elige una muestra sin sesgo; 3.º recoge los datos y haz el recuento; 4.º monta la tabla de frecuencias y compruébala; 5.º dibuja el gráfico adecuado; 6.º calcula las medidas que tengan sentido; 7.º escribe la conclusión con una frase.

Ejemplo: se pregunta a 40 alumnos qué instrumento quieren aprender. Responden guitarra 14, piano 10, batería 9, ukelele 5 y otros 2, que suman 40. Las relativas son 0,35; 0,25; 0,225; 0,125 y 0,05, que suman 1.

Es una variable cualitativa que reparte un total, así que encaja un diagrama de sectores. Los ángulos son 0,35 · 360° = 126°, 90°, 81°, 45° y 18°, que suman 360°. Solo tiene sentido la moda, guitarra. Conclusión: «Algo más de un tercio de los encuestados, el 35 %, quiere aprender guitarra».

15Para recordar

• Población: todo el grupo. Muestra: la parte que se estudia, elegida al azar y sin sesgo.
• Variable cualitativa (palabras) o cuantitativa (números): discreta si se cuenta, continua si se mide.
• Frecuencia relativa = absoluta : N. Las absolutas suman N; las relativas, 1.
• Barras para comparar, líneas para el tiempo, sectores para partes de un total. Ángulo = relativa · 360°.
• Desconfía de ejes que no empiezan en 0 y de sectores que no suman 100 %.
• Media: suma : número de datos. Mediana: el del centro tras ordenar. Moda: el que más se repite. Rango: mayor − menor.