Mates en AcciónDeterminantes y áreas
El área de un triángulo es ½ del valor absoluto del determinante de filas (xᵢ yᵢ 1) de sus vértices; una matriz M multiplica las áreas por |det M|.
El determinante mide cuánto cambia el área una transformación del plano y permite calcular el área de un triángulo.
01Transformaciones del plano
Una matriz M transforma el plano y el cuadrado de área 1 pasa a medir |det M|. Si det M > 0 conserva la orientación; si det M < 0 la invierte; si det M = 0 aplasta el plano y no es invertible.
Ejemplo: M = 0−231 tiene det = 0·1 − (−2)·3 = 6 > 0: conserva la orientación y multiplica las áreas por 6. Un giro tiene det = 1.
| ✓ | det M = 6las áreas se multiplican por 6 y la orientación se conserva |
| ✓ | det M = −1área igual, pero orientación invertida (reflejo) |
| ✗ | det M = 0 y M invertiblesi aplasta el plano, no se puede deshacer |
02Área de un triángulo
Área = ½·|detx₁y₁1x₂y₂1x₃y₃1|. Si C se mueve paralelo a AB, la altura no cambia y el determinante tampoco; si cruza la recta AB, el determinante cambia de signo.
Ejemplo: A(2,1), B(5,3), C(4,7). El determinante es 2(3 − 7) − 1(5 − 4) + 1(35 − 12) = −8 − 1 + 23 = 14, así que el área es 7 u².
| ✓ | tres puntos alineadosel determinante es 0: el «triángulo» tiene área 0 |
| ✗ | área = det sin ½el determinante da el área del paralelogramo, el triángulo es la mitad |
03Para recordar
- |det M| es el factor por el que M multiplica las áreas.
- Signo de det M: orientación.
- Área del triángulo = ½·|det|.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el área de un triángulo con determinantes?
Área = ½·|detx₁y₁1x₂y₂1x₃y₃1|. Se toma el valor absoluto porque cambiar el orden de los vértices solo cambia el signo.
¿Qué significa que det M sea negativo?
Que la transformación invierte la orientación (como un reflejo), aunque el área se multiplica por |det M|.
¿Por qué un giro tiene determinante 1?
Porque det cos θ−sin θsin θcos θ = cos²θ + sin²θ = 1: no cambia ni áreas ni orientación.
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