Mates en AcciónPropiedades de los determinantes
Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante, sumar a una fila un múltiplo de otra no lo cambia y |A·B| = |A|·|B|.
Qué hacen al determinante las operaciones con filas, cuándo vale 0 sin calcular y cómo hacer ceros en un 4×4.
01Las propiedades
Con la imagen del área son lógicas: estirar un lado multiplica el área; deslizarlo paralelamente a otro no la cambia; intercambiar dos lados cambia la orientación, o sea el signo; dos lados alineados dan área 0.
|Aᵗ| = |A|: lo que vale para filas vale para columnas. Intercambiar dos filas cambia el signo. Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia nada. Multiplicar una fila por k multiplica |A| por k (se saca factor común). |kA| = kⁿ|A|. |A·B| = |A|·|B|, y de ahí |Aᵏ| = |A|ᵏ y |A⁻¹| = 1/|A|.
Vale 0 sin calcular si hay una fila o columna de ceros, dos iguales o proporcionales, o una combinación de otras. Se escribe «= 0 porque C₂ = 2C₁».
Ejemplo: 102030−7−1421502. Se saca 10 de la fila 1 y −7 de la fila 2: 10·(−7)·12312−3502 = −70·(−60) = 4200.
| ✓ | |2A| = 8|A| (A de orden 3)el 2 sale de las 3 filas: 2³ |
| ✗ | |2A| = 2|A| (A de orden 3)solo sería así si se multiplicase una sola fila |
| ✗ | |A + B| = |A| + |B|el determinante no es lineal en la matriz entera; solo |AB| = |A||B| |
| ✓ | F₂ → F₂ + 3F₁ no cambia |A|se suma un múltiplo de otra fila |
| ✗ | F₁ → 3F₁ + F₂ no cambia |A|la fila sustituida queda multiplicada por 3: |A| se triplica |
02Orden 4: hacer ceros
Desarrollar un 4×4 directamente son cuatro determinantes 3×3. Mejor hacer ceros en una columna con la propiedad de sumar un múltiplo de otra fila, que no cambia el valor, y desarrollar por ella.
Se busca un pivote cómodo (un 1 o un −1) y con él se hacen ceros en su columna. Queda un solo determinante de orden 3 y se repite el truco. Al desarrollar, no olvides el signo del damero en la posición del pivote.
03Para recordar
- Intercambiar filas: cambia el signo. Sumar un múltiplo de otra fila: no cambia.
- |kA| = kⁿ|A| · |AB| = |A||B| · |A⁻¹| = 1/|A| · |Aᵗ| = |A|.
- Dos filas proporcionales: determinante 0.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale |2A| en una matriz 3×3?
8|A|, porque el 2 sale de cada una de las tres filas: |kA| = kⁿ|A|.
¿Cuándo un determinante vale 0 sin calcularlo?
Si hay una fila o columna de ceros, dos iguales o proporcionales, o una que es combinación de otras.
¿Cuánto vale |A⁻¹|?
1/|A|, porque |A|·|A⁻¹| = |A·A⁻¹| = |I| = 1.
¿Qué pasa si cambio F₁ por 3F₁ + F₂?
El determinante se multiplica por 3, porque la fila que se sustituye queda multiplicada. Para no alterarlo hay que sustituir F₂ por F₂ + 3F₁.
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