Mates en AcciónDeterminantes de orden 2 y 3
El determinante de una matriz cuadrada es un número que indica si se puede invertir; en orden 2 vale ad − bc y en orden 3 se calcula con la regla de Sarrus.
El determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Cálculo en 2×2, regla de Sarrus en 3×3 y su significado como área.
01Orden 2 y su significado
A cada matriz cuadrada se le asocia un número, |A| o det(A). En 2×2, el valor absoluto es el área del paralelogramo que forman las dos columnas vistas como flechas. Si están alineadas, el área es 0.
abcd = a·d − b·c. Ejemplo: 3427 = 3·7 − 4·2 = 21 − 8 = 13. Con negativos, cada factor entre paréntesis: 2−35−1 = 2·(−1) − (−3)·5 = −2 + 15 = 13.
| ✓ | 3427 = 1321 − 8 |
| ✗ | 3427 = 29se han sumado los productos en vez de restarlos |
| ✓ | 1234 = 1324el determinante no cambia al trasponer |
02Regla de Sarrus (orden 3)
Se calculan seis productos de tres números, con un número de cada fila y de cada columna. Los tres en dirección de la diagonal principal suman; los tres en dirección de la secundaria restan.
|A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃.
Ejemplo: 123456987. Con +: 1·5·7 + 2·6·9 + 3·4·8 = 35 + 108 + 96 = 239. Con −: 3·5·9 + 1·6·8 + 2·4·7 = 135 + 48 + 56 = 239. Resultado: 239 − 239 = 0.
Atajo: en una matriz triangular o diagonal, el determinante es el producto de la diagonal. 1−2−80−56003 = 1·(−5)·3 = −15. El signo menos de Sarrus afecta a los tres productos: pon paréntesis.
| ✓ | 200030004 = 24diagonal: producto 2·3·4 |
| ✗ | 123456 (3×2)no es cuadrada: no tiene determinante |
03Para recordar
- Solo matrices cuadradas.
- Orden 2: ad − bc.
- Orden 3: Sarrus, tres con + y tres con −.
- Triangular o diagonal: producto de la diagonal.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale un determinante 2×2?
abcd = ad − bc: producto de la diagonal principal menos producto de la secundaria.
¿Qué es la regla de Sarrus?
Es el método para determinantes 3×3: tres productos en la dirección de la diagonal principal suman y tres en la dirección de la secundaria restan.
¿Puede calcularse el determinante de una matriz no cuadrada?
No. Solo las matrices cuadradas tienen determinante.
¿Qué significa que el determinante sea 0?
Que las columnas están alineadas, el área es 0 y la matriz aplasta el plano: no tiene inversa.
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