Ecuaciones matriciales

En una ecuación matricial la incógnita es una matriz X; se despeja multiplicando por la inversa de la matriz que la acompaña, por el lado en que esta aparece.

Despejar la matriz X sin dividir: se multiplica por la inversa, y por el lado correcto porque el producto no conmuta.

01Despejar sin dividir

La inversa se multiplica en los dos lados de la igualdad y del mismo lado en que está la matriz que queremos quitar. Antes de usarla hay que justificar que existe.

AX = B: por la izquierda, X = A⁻¹B. XA = B: por la derecha, X = BA⁻¹. BXA = C: X = B⁻¹CA⁻¹, porque B está a la izquierda de X y A a la derecha.

Un sistema con dos incógnitas matriciales (3X + 2Y = A, 2X − 3Y = B) se resuelve por reducción, como con números.

✓AX = B ⇒ X = A⁻¹BA⁻¹ entra por la izquierda, donde está A
✗AX = B ⇒ X = BA⁻¹A⁻¹ por la derecha no deshace a A, que está a la izquierda de X
✓XA + X = B ⇒ X(A + I) = Bse saca factor común con la identidad
✗XA + X = B ⇒ X(A + 1) = Bno se suma una matriz con un número

02Para recordar

  • Multiplicar por la inversa, del lado correcto.
  • Justificar antes que la inversa existe.
  • Factor común con I, nunca con 1.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se despeja X en AX = B?

Multiplicando por A⁻¹ por la izquierda: X = A⁻¹B, siempre que A tenga inversa.

¿Cómo se despeja X en XA + X = B?

Sacando factor común con la identidad: X(A + I) = B, luego X = B(A + I)⁻¹. «A + 1» no existe.

¿Qué hago si la matriz no tiene inversa?

Se escribe X con incógnitas, se plantea la ecuación y se resuelve el sistema resultante.

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