Mates en AcciónInversa por adjuntos y ecuaciones
Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si |A| ≠ 0, y entonces A⁻¹ = (1/|A|)·(Adj A)ᵗ, donde Adj A es la matriz de los adjuntos.
A tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. La fórmula A⁻¹ = (1/|A|)(Adj A)ᵗ y su uso para despejar matrices.
01La fórmula
Pasos: 1) comprobar |A| ≠ 0 y escribirlo; 2) calcular la matriz de adjuntos con el damero; 3) trasponerla; 4) dividir por |A|; 5) comprobar A·A⁻¹ = I.
Ejemplo: A = 0243145−30, |A| = −16 ≠ 0. Adjuntos: 1220−14−12−2010412−6. Trasponiendo y dividiendo entre −16 sale A⁻¹ = ⅛·−66−2−1010−67−53.
Funciona porque A·(Adj A)ᵗ = |A|·I: en la diagonal cada fila se multiplica por sus propios adjuntos, que es el desarrollo de |A|; fuera de la diagonal sale el determinante de una matriz con dos filas iguales, o sea 0.
| ✓ | A⁻¹ = (1/|A|)·(Adj A)ᵗadjuntos, traspuesta y división por el determinante |
| ✗ | A⁻¹ = (1/|A|)·Adj Afalta trasponer la matriz de adjuntos |
| ✗ | invertir una matriz con |A| = 0el determinante cero indica que no hay inversa |
02Ecuaciones matriciales
AXB = C se despeja con X = A⁻¹·C·B⁻¹: A⁻¹ por la izquierda y B⁻¹ por la derecha, justificando antes |A| ≠ 0 y |B| ≠ 0.
Ejemplo: A = 1234, B = 2132, C = −1101. |A| = −2 y |B| = 1. X = A⁻¹CB⁻¹ = −213/2−1/2·−1101·2−1−32 = 7−4−67/2.
El orden importa: A⁻¹CB⁻¹ no es A⁻¹B⁻¹C.
03Para recordar
- ∃ A⁻¹ ⇔ |A| ≠ 0.
- A⁻¹ = (1/|A|)(Adj A)ᵗ; después, comprobar A·A⁻¹ = I.
- AXB = C ⇒ X = A⁻¹CB⁻¹.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo existe la inversa de una matriz?
Si y solo si es cuadrada y su determinante es distinto de 0.
¿Cuál es la fórmula de la inversa con adjuntos?
A⁻¹ = (1/|A|)·(Adj A)ᵗ: se calculan los adjuntos de todos los elementos, se traspone esa matriz y se divide entre |A|.
¿Cómo se invierte una matriz 2×2 rápidamente?
abcd⁻¹ = (1/(ad − bc))·d−b−ca: se intercambia la diagonal, se cambia el signo de la otra y se divide por el determinante.
Si A² + 2A = I, ¿cuánto vale A⁻¹?
A⁻¹ = A + 2I, porque A(A + 2I) = I. Además |A|·|A + 2I| = 1, así que |A| ≠ 0.
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