Mates en AcciónMenores, adjuntos y desarrollo
El adjunto de aᵢⱼ es (−1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ, con Mᵢⱼ el determinante que queda al tachar su fila y su columna; el determinante es una línea por sus adjuntos.
Cómo trocear un determinante grande con menores y adjuntos, y cómo desarrollarlo por la fila o columna con más ceros.
01Menor y adjunto
El menor complementario Mᵢⱼ es el determinante que queda al tachar la fila i y la columna j. El adjunto es ese menor con un signo (−1)ⁱ⁺ʲ que sigue un damero: + − + / − + − / + − +.
Ejemplo: A = 12340−6−18−2 y el adjunto A₂₃ (el del −6). Se tacha la fila 2 y la columna 3; sobreviven 1, 2, −1 y 8. M₂₃ = 12−18 = 8 + 2 = 10. Como 2 + 3 = 5 es impar, el signo es −: A₂₃ = −10.
El signo sale de la posición, no del número que haya en ella.
| ✓ | A₂₃ = −10 en el ejemplomenor 10 y signo − por ser 2 + 3 impar |
| ✗ | A₂₃ = 10falta el signo del damero en la casilla (2,3) |
| ✓ | A₁₁ = +M₁₁1 + 1 es par |
02Desarrollo por una fila o columna
El determinante es la suma de los elementos de cualquier fila o columna multiplicados por sus adjuntos: |A| = aᵢ₁Aᵢ₁ + aᵢ₂Aᵢ₂ + … + aᵢₙAᵢₙ. Sale lo mismo por cualquiera.
Receta: elegir la línea con más ceros; poner los signos del damero; para cada elemento, elemento × signo × menor; sumar. Los ceros no hace falta ni calcularlos.
Ejemplo con A = 12340−6−18−2, por la 3.ª columna: |A| = 3·40−18 − (−6)·12−18 + (−2)·1240 = 3·32 + 6·10 − 2·(−8) = 96 + 60 + 16 = 172.
En un 3×3 sin ceros, Sarrus es más rápido. Con ceros, o en orden 4, conviene desarrollar. El «− (−6)» es el sitio clásico donde se pierde un signo: escríbelo entero.
| ✓ | desarrollar por la fila con un ceroese término vale 0 y se ahorra un determinante |
| ✗ | usar los signos de la fila elegida según el valorel signo depende de la posición (damero), no del valor |
03Para recordar
- Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ; damero + − +.
- Desarrollar por la línea con más ceros.
- Escribe los signos completos: − (−6) = +6.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el menor complementario?
Es el determinante que queda al tachar la fila i y la columna j de un elemento aᵢⱼ.
¿Cómo se sabe el signo de un adjunto?
Por la posición, con el damero + − + / − + − / + − +. No depende del valor del elemento.
¿Por qué fila conviene desarrollar?
Por la fila o columna con más ceros: cada cero ahorra calcular un determinante entero.
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