Mates en AcciónRango de una matriz por Gauss
El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes; con Gauss es el número de filas no nulas tras hacer ceros.
El rango cuenta cuántas filas aportan información nueva. Se calcula haciendo ceros con el método de Gauss.
01Qué mide el rango
Si una fila es combinación de otras (el triple de otra, la suma de dos…), sobra: no aporta información. El rango es el número de filas que quedan.
Con Gauss se hacen ceros con las operaciones permitidas, y el rango es el número de filas no nulas. Ejemplo: A = 1−233−69205. La fila 2 es el triple de la 1, así que F₂ − 3F₁ la deja en ceros. Las filas 1 y 3 no son proporcionales: rango 2.
El rango nunca supera el menor de n y m. Para una matriz cuadrada, rango igual al orden es lo que permite que tenga inversa.
| ✓ | F₂ → F₂ − 3F₁sumar un múltiplo de otra fila no cambia el rango |
| ✗ | F₂ → 0·F₂multiplicar por 0 destruye la fila y puede bajar el rango |
| ✗ | rango 123456 = 3tiene 2 filas: el rango no supera 2 |
02Para recordar
- Rango = filas independientes = columnas independientes.
- Gauss: ceros con operaciones que no cambian el rango.
- Rango ≤ mín(n, m).
Preguntas frecuentes
¿Qué es el rango de una matriz?
Es el número de filas que no dependen de las demás. Coincide con el número de columnas independientes.
¿Qué operaciones no cambian el rango?
Cambiar filas de orden, multiplicar una fila por un número distinto de 0 y sumar a una fila un múltiplo de otra.
¿Cuál es el mayor rango posible?
El menor entre el número de filas y el de columnas.
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