Mates en AcciónPoliedros y cuerpos redondos
Un poliedro es un cuerpo cerrado cuyas caras son todas polígonos. Si tiene alguna superficie curva, como el cilindro, el cono o la esfera, es un cuerpo redondo.
Qué es un poliedro y qué no, sus elementos, convexos y cóncavos, la fórmula de Euler, los cinco poliedros regulares, prismas, pirámides, desarrollos planos, cilindro, cono y esfera, y las vistas de un cuerpo.
01La bolsa de dados de rol
Abre una bolsa de dados de rol: hay uno de 4 caras, uno de 6, uno de 8, uno de 12 y uno de 20. ¿Por qué esos números y no un dado de 7 o de 9 caras con todas las caras iguales y bien repartidas?
Porque solo existen cinco cuerpos con todas las caras iguales, regulares y colocadas igual en cada esquina. Los griegos ya lo sabían, y en este tema verás por qué no puede haber un sexto.
En la bolsa suele haber un intruso: el dado de 10 caras. Es justo, pero sus caras no son polígonos regulares. Al final del tema sabrás distinguirlo, contar sus aristas sin tocarlo y dibujar cómo se ve desde arriba.
02Del plano al espacio
Un punto no tiene dimensiones. Una línea tiene una: el largo. Una figura plana, como un triángulo dibujado, tiene dos: largo y ancho. Un cuerpo tiene tres: largo, ancho y alto, y ocupa un lugar en el espacio.
Las figuras planas se miden con área y los cuerpos, además, con volumen. Este tema trata de los cuerpos geométricos: los que tienen forma regular y se pueden describir con figuras planas que ya conoces.
| ✓ | la sombra de una farola en el sueloes una figura plana: tiene largo y ancho, pero no grosor |
| ✓ | un cubito de hieloes un cuerpo: tiene tres dimensiones |
| ✗ | una hoja de papel es una figura planaes un cuerpo muy fino; la figura plana es la idea del rectángulo, sin grosor |
| ✗ | un círculo es un cuerpo redondoes plano; el cuerpo redondo parecido es la esfera o el cilindro |
03Qué es un poliedro y qué no
Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado cuyas caras son todas polígonos. La palabra viene del griego: «muchas caras».
Si un cuerpo tiene alguna superficie curva, ya no es un poliedro. Los cuerpos redondos más importantes son el cilindro, el cono y la esfera.
| ✓ | un ladrilloseis caras rectangulares |
| ✓ | la pirámide de cristal del museo del Louvreuna base cuadrada y cuatro caras triangulares |
| ✓ | el dado de 20 carasveinte triángulos iguales |
| ✗ | un cucurucho de heladosu pared es curva: es un cono |
| ✗ | una barra de pegamentotiene forma de cilindro: bases circulares y pared curva |
| ✗ | una bola de billares una esfera: toda su superficie es curva |
| ✗ | una caja de cartón abierta por arribano es cerrada: le falta una cara |
04Caras, aristas, vértices y diedros
Las caras son los polígonos que limitan el poliedro. Las aristas son los lados de las caras: cada arista es la línea donde se tocan dos caras. Los vértices son las esquinas, donde se juntan tres o más aristas.
El ángulo diedro es la abertura entre dos caras que comparten una arista. Abre un portátil: la pantalla y el teclado forman un diedro, que puede ser de 90°, de 110° o de casi 180°. En un ladrillo todos los diedros son rectos.
Contar bien tiene truco. Un ladrillo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas: 4 arriba, 4 abajo y 4 de pie. Si cuentas los lados de cada cara, salen 6 · 4 = 24, pero cada arista se ha contado dos veces, una por cada cara que la comparte.
| ✓ | un ladrillo: 6 caras, 8 vértices, 12 aristascuatro aristas arriba, cuatro abajo y cuatro verticales |
| ✗ | un ladrillo tiene 24 aristasson los lados de las 6 caras, pero cada arista es lado de dos caras: 24 : 2 = 12 |
| ✗ | el diedro es el ángulo de una caraes el ángulo entre dos caras que se tocan en una arista |
05Convexos y cóncavos
Un poliedro es convexo si el segmento que une dos puntos cualesquiera del cuerpo queda siempre dentro de él. Dicho de otra forma: no tiene entrantes y puede apoyarse sobre cualquiera de sus caras.
Es cóncavo si tiene algún entrante. Imagina la pieza en forma de L del Tetris hecha de madera: si la apoyas sobre la cara interior de la esquina, el resto de la pieza estorba y no queda plana.
| ✓ | un cuboconvexo: cualquier segmento entre dos de sus puntos queda dentro |
| ✓ | la pieza en L del Tetris en maderacóncava: tiene una esquina hacia dentro |
| ✓ | una pieza de madera con forma de signo +cóncava: entre brazo y brazo hay esquinas hacia dentro |
| ✗ | todo poliedro con muchas caras es cóncavoel dado de 20 caras es convexo; lo que cuenta son los entrantes, no el número de caras |
06La fórmula de Euler
Cuenta caras, vértices y aristas de cualquier poliedro convexo y pasa algo sorprendente: siempre se cumple C + V = A + 2. Lo descubrió el matemático Leonhard Euler en el siglo XVIII.
Ladrillo: 6 + 8 = 14 y 12 + 2 = 14. Pirámide de base hexagonal: 7 caras, 7 vértices y 12 aristas; 7 + 7 = 14 = 12 + 2. Prisma de base pentagonal: 7 caras, 10 vértices y 15 aristas; 17 = 17. Dado de 20 caras: 20 + 12 = 32 = 30 + 2.
Sirve para averiguar un dato que falta. Un poliedro convexo tiene 9 caras y 16 aristas: V = 16 + 2 − 9 = 9 vértices. Encaja con una pirámide de base octogonal: 8 caras laterales más la base, 8 vértices abajo más la cúspide, y 8 + 8 = 16 aristas.
Ojo: no vale para todos. Piensa en un marco de fotos de madera con un agujero cuadrado en medio, hecho solo de caras planas. Si cada cara de delante y de detrás se parte en cuatro trapecios, tiene 16 caras, 16 vértices y 32 aristas: C + V − A = 0, no 2. El agujero cambia la cuenta.
| ✓ | prisma pentagonal: 7 + 10 = 15 + 2caras más vértices, 17, igual a aristas más dos, 17 |
| ✓ | dado de 10 caras: 10 caras, 12 vértices, 20 aristas10 + 12 = 22 = 20 + 2 |
| ✗ | un poliedro convexo con 6 caras, 6 vértices y 9 aristas6 + 6 = 12, pero 9 + 2 = 11: no existe; con 6 caras y 9 aristas tendría 5 vértices |
| ✗ | el marco de fotos con agujero cumple C + V = A + 216 + 16 = 32 = A: le faltan 2; la fórmula es para poliedros sin agujeros |
07Los cinco poliedros regulares
Un poliedro es regular si todas sus caras son el mismo polígono regular y en cada vértice se junta el mismo número de caras.
Solo hay cinco. Tetraedro: 4 triángulos, 3 en cada vértice. Cubo o hexaedro: 6 cuadrados, 3 en cada vértice. Octaedro: 8 triángulos, 4 en cada vértice. Dodecaedro: 12 pentágonos, 3 en cada vértice. Icosaedro: 20 triángulos, 5 en cada vértice. Son los dados de 4, 6, 8, 12 y 20 caras de la bolsa de rol.
Sus cuentas: tetraedro 4 caras, 4 vértices y 6 aristas; cubo 6, 8 y 12; octaedro 8, 6 y 12; dodecaedro 12, 20 y 30; icosaedro 20, 12 y 30. Todos cumplen la fórmula de Euler.
| ✓ | el octaedroocho triángulos equiláteros, cuatro en cada vértice |
| ✗ | el dado de 10 carassus caras son iguales, pero tienen forma de cometa, que no es un polígono regular |
| ✗ | un prisma de base triangular con caras laterales cuadradastodas sus caras son regulares, pero no son iguales: hay triángulos y cuadrados |
| ✗ | dos pirámides de base pentagonal pegadas por la base, con 10 triángulos equiláterosen las dos puntas se juntan 5 caras y en los vértices del medio, 4: no es igual en todos |
08Por qué solo hay cinco
Para formar una esquina hacen falta al menos tres caras. Y la suma de sus ángulos tiene que ser menor que 360°: si llega a 360°, las caras quedan planas sobre la mesa y no se puede doblar la esquina hacia arriba.
Con triángulos equiláteros, de 60°: tres suman 180°, cuatro 240° y cinco 300°. Son el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Seis triángulos suman 360° y quedan planos.
Con cuadrados, de 90°: tres suman 270°, el cubo. Cuatro ya son 360°. Con pentágonos regulares, de 108°: tres suman 324°, el dodecaedro. Cuatro serían 432°, demasiado. Con hexágonos, de 120°, tres ya suman 360°: se quedan planos, como las baldosas hexagonales de un suelo. Con más lados el ángulo es todavía mayor.
No hay más posibilidades: tres casos con triángulos, uno con cuadrados y uno con pentágonos. Cinco en total.
| ✓ | 3 pentágonos en un vértice3 · 108° = 324°, menos de 360°: es el dodecaedro |
| ✗ | 6 triángulos equiláteros en un vértice6 · 60° = 360°: quedan planos, no cierran un cuerpo |
| ✗ | un poliedro regular de caras hexagonalestres hexágonos ya suman 3 · 120° = 360° |
| ✗ | 2 cuadrados en un vérticecon solo dos caras no se forma una esquina, solo una arista |
09Prismas
Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas y tantas caras laterales como lados tiene la base. Las caras laterales son paralelogramos. La altura es la distancia entre las bases.
Se nombra por su base: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal… Es recto si las caras laterales son rectángulos y oblicuo si están inclinadas, como un taco de pósits empujado de lado. Es regular si es recto y su base es un polígono regular.
El ortoedro es el prisma recto de base rectangular: todas sus caras son rectángulos, como un ladrillo o un brik de leche. El cubo es un ortoedro con todas las aristas iguales.
Si la base tiene n lados, el prisma tiene n + 2 caras, 2n vértices y 3n aristas. Un prisma heptagonal: 9 caras, 14 vértices y 21 aristas.
| ✓ | un lápiz hexagonal sin afilarprisma hexagonal regular: dos hexágonos iguales y seis rectángulos |
| ✓ | una tienda de campaña canadiense con sueloprisma triangular tumbado: las bases son los dos triángulos de los extremos |
| ✗ | un lápiz recién afiladola punta termina en un cono: ya no tiene dos bases iguales |
| ✗ | un prisma recto de base rectangular es regularun rectángulo que no sea cuadrado no es un polígono regular |
| ✗ | un prisma pentagonal tiene 5 carastiene 5 laterales más las 2 bases: 7 |
10Pirámides
Una pirámide tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se juntan en un punto, el vértice o cúspide. La altura es la distancia del vértice a la base.
Se nombra también por su base: triangular, cuadrangular, hexagonal… Es regular si su base es un polígono regular y el vértice está justo encima del centro de la base. Si la base tiene n lados, la pirámide tiene n + 1 caras, n + 1 vértices y 2n aristas.
Si cortas una pirámide con un plano paralelo a la base, queda arriba una pirámide pequeña y abajo un tronco de pirámide, con dos bases de distinto tamaño. Muchas macetas cuadradas tienen esa forma.
| ✓ | el tetraedro es una pirámide triangularcualquier cara puede hacer de base y las otras tres se juntan en un vértice |
| ✓ | una pirámide hexagonal: 7 caras, 7 vértices, 12 aristasn + 1 = 7, n + 1 = 7 y 2n = 12 |
| ✗ | una pirámide tiene tantas caras como lados la basese olvida la base: son n + 1 |
| ✗ | una maceta cuadrada que se estrecha hacia abajo es una pirámidetiene dos bases cuadradas de distinto tamaño: es un tronco de pirámide |
11Desarrollos planos
El desarrollo plano de un cuerpo es la figura que sale al cortarlo por algunas aristas y extenderlo sobre la mesa. Al revés, doblando un desarrollo de cartulina se construye el cuerpo.
El cubo tiene 11 desarrollos distintos de seis cuadrados. El más conocido es la cruz: una fila de cuatro cuadrados, que serán las paredes, con un cuadrado arriba y otro abajo, que serán la tapa y el suelo. Para que funcione, la tapa y el suelo deben quedar a distintos lados de la fila.
Un prisma recto se desarrolla en sus dos bases y un rectángulo con todas las caras laterales seguidas. La pirámide, en su base y una corona de triángulos. El cilindro, en dos círculos y un rectángulo. El cono, en un círculo y un sector circular, como un abanico.
La esfera no tiene desarrollo exacto: pela una naranja e intenta extender la cáscara sin romperla. Es imposible, y por eso cualquier mapa plano del mundo deforma los continentes.
| ✓ | la cruz: cuatro cuadrados en fila, uno arriba y otro abajo del segundola fila cierra las paredes y los otros dos hacen de tapa y suelo |
| ✓ | la escalera: dos, dos y dos cuadrados desplazados como peldañoses otro de los 11 desarrollos del cubo |
| ✗ | seis cuadrados en una sola filacuatro dan la vuelta y los otros dos se montan encima de los primeros: no hay tapa ni suelo |
| ✗ | un bloque de 2 × 3 cuadradosal doblarlo, unos cuadrados se solapan y quedan caras sin cubrir |
| ✗ | cuatro en fila con dos cuadrados encima del primero y del segundolos dos quieren ser la tapa y nadie hace de suelo |
12Cuerpos de revolución
Un cuerpo de revolución se obtiene al hacer girar una figura plana alrededor de una recta, el eje. Es lo que hace un alfarero en el torno: el perfil que marca con la mano, al girar, se convierte en un jarrón.
Un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados genera un cilindro. Un triángulo rectángulo que gira alrededor de un cateto genera un cono. Un semicírculo que gira alrededor de su diámetro genera una esfera. Un trapecio rectángulo que gira alrededor de su lado perpendicular a las bases genera un tronco de cono.
El eje importa. Un triángulo rectángulo de catetos 2 cm y 7 cm, girando sobre el de 7 cm, da un cono alto y estrecho: radio 2 cm y altura 7 cm. Girando sobre el de 2 cm, da un cono chato: radio 7 cm y altura 2 cm.
| ✓ | una peonzasu perfil, al girar alrededor del eje, genera todo el cuerpo |
| ✓ | un rectángulo que gira sobre un lado da un cilindroel lado opuesto dibuja la pared y los otros dos, las bases |
| ✗ | un cubo es un cuerpo de revoluciónninguna figura plana genera aristas y caras planas al girar |
| ✗ | un semicírculo que gira sobre su diámetro da un conoda una esfera; el cono sale del triángulo rectángulo |
13Cilindro, cono y esfera
Cilindro: dos bases circulares iguales y paralelas y una superficie lateral curva. Tiene radio r y altura h. La generatriz es el segmento de la pared que va de una base a la otra; en el cilindro recto mide lo mismo que la altura.
Cono: una base circular, una superficie lateral curva y un vértice. La altura h va del vértice al centro de la base; la generatriz g va del vértice al borde. Forman un triángulo rectángulo con el radio, así que g² = h² + r². Con r = 5 cm y h = 12 cm: g² = 144 + 25 = 169 y g = 13 cm.
Esfera: todos sus puntos están a la misma distancia, el radio, de un punto interior, el centro. Cualquier corte plano de una esfera es un círculo; si el corte pasa por el centro, es un círculo máximo, el más grande posible.
| ✓ | un cono con r = 5 cm y h = 12 cm tiene g = 13 cm5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² |
| ✗ | la generatriz del cono mide lo mismo que su alturala generatriz es la hipotenusa del triángulo: siempre es más larga que la altura |
| ✗ | un balón de rugby es una esferaestá alargado: sus puntos no están todos a la misma distancia del centro |
| ✗ | un cilindro es un prisma de base circularse parecen, pero un círculo no es un polígono: el cilindro es un cuerpo redondo |
14Perspectiva y vistas
Un cuerpo de tres dimensiones se dibuja en un papel de dos de varias formas. En perspectiva, con las aristas paralelas dibujadas paralelas y las ocultas a trazos, se ve el volumen. Con vistas, se dibuja el cuerpo tal como se ve desde tres sitios: de frente, el alzado; desde arriba, la planta; y de lado, el perfil.
Un cono de pie: alzado y perfil son triángulos y la planta es un círculo con un punto en el centro, el vértice. Un cilindro de pie: alzado y perfil son rectángulos y la planta, un círculo. Una esfera: tres círculos iguales.
Una sola vista puede engañar. Hay un tapón que encaja en un agujero redondo, en uno cuadrado y en uno triangular: es un cilindro tan alto como ancho al que se le han cortado dos cuñas desde un diámetro de arriba hasta el borde de abajo. Su planta es un círculo, su alzado un cuadrado y su perfil un triángulo.
| ✓ | pirámide cuadrangular: alzado triángulo, planta cuadrado con sus diagonalesdesde arriba se ven la base y las cuatro aristas que suben al vértice |
| ✓ | el tapón de tres agujerosplanta circular, alzado cuadrado y perfil triangular: un mismo cuerpo |
| ✗ | si el alzado es un rectángulo, el cuerpo es un prismaun cilindro de pie también tiene alzado rectangular; hace falta ver la planta |
| ✗ | la planta de un cono de pie es un triángulodesde arriba se ve la base: un círculo |
15Para recordar
- Poliedro: cuerpo cerrado de caras poligonales. Cuerpo redondo: tiene alguna superficie curva.
- Elementos: caras, aristas, vértices y ángulos diedros. Convexo: sin entrantes.
- Euler, en poliedros convexos: C + V = A + 2.
- Cinco poliedros regulares: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. En cada vértice, los ángulos suman menos de 360°.
- Prisma de base de n lados: n + 2 caras, 2n vértices, 3n aristas. Pirámide: n + 1 caras, n + 1 vértices, 2n aristas.
- Cilindro (rectángulo que gira), cono (triángulo rectángulo que gira) y esfera (semicírculo que gira). En el cono, g² = h² + r².
- Vistas: alzado de frente, planta desde arriba y perfil de lado.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un poliedro?
Es un cuerpo geométrico cerrado limitado solo por polígonos, que son sus caras. Un ladrillo, una pirámide o un dado de 20 caras son poliedros.
¿Un cilindro es un poliedro?
No. Su pared es curva y sus bases son círculos, que no son polígonos. Es un cuerpo redondo, igual que el cono y la esfera.
¿Qué dice la fórmula de Euler?
En todo poliedro convexo, caras más vértices es igual a aristas más dos: C + V = A + 2. Un ladrillo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas, y 6 + 8 = 12 + 2.
¿Por qué solo hay cinco poliedros regulares?
Porque en cada vértice tienen que juntarse al menos tres caras iguales y sus ángulos deben sumar menos de 360°. Solo cinco combinaciones lo cumplen: tres, cuatro o cinco triángulos, tres cuadrados o tres pentágonos.
¿Qué diferencia hay entre un prisma y una pirámide?
El prisma tiene dos bases iguales y paralelas unidas por paralelogramos. La pirámide tiene una sola base y sus caras laterales son triángulos que se juntan en un vértice.
¿Qué es la generatriz de un cono?
Es el segmento que va del vértice del cono a cualquier punto del borde de la base. Por Pitágoras, g² = h² + r²: con radio 5 cm y altura 12 cm, la generatriz mide 13 cm.
¿Cuántos desarrollos planos tiene un cubo?
Hay 11 desarrollos distintos formados por seis cuadrados que, al doblarlos, cierran un cubo. Una tira de seis cuadrados en línea o un bloque de 2 × 3 no sirven.
¿Se puede hacer el desarrollo plano de una esfera?
No de forma exacta. Una superficie esférica no se puede aplanar sin estirarla o romperla; por eso todos los mapas del mundo deforman algo.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: