Mates en AcciónÁreas y volúmenes de cuerpos
El área de un cuerpo es la superficie que lo envuelve, en m²; su volumen, el espacio que ocupa, en m³. En prismas y cilindros, V = área de la base · altura.
Diferencia entre área y volumen, áreas de prisma, pirámide, cilindro, cono y esfera a partir del desarrollo, volúmenes con el principio de Cavalieri, litros y metros cúbicos, qué pasa al duplicar las medidas y problemas reales.
01Envolver o llenar
Vas a regalar una caja de 30 cm × 20 cm × 10 cm. Para envolverla necesitas papel: unos 2 200 cm², sin contar las solapas. Si en vez de envolverla la llenaras de agua, le cabrían 6 000 cm³, que son 6 litros.
Son dos preguntas distintas sobre la misma caja, con dos respuestas distintas y en unidades distintas. Una mide la piel del cuerpo; la otra, lo que cabe dentro. Saber cuál te piden es la mitad del problema.
02Área y volumen no son lo mismo
El área de un cuerpo es la suma de las áreas de todas las superficies que lo limitan. Se mide en unidades cuadradas: cm², m². Responde a preguntas como cuánta pintura, cuánto papel o cuánta chapa hace falta.
El volumen es el espacio que ocupa el cuerpo. Se mide en unidades cúbicas: cm³, m³. Responde a cuánto cabe, cuánto pesa si es macizo o cuánta agua desplaza.
No van de la mano. Una caja de 1 × 1 × 8 cm y un cubo de 2 cm de arista tienen el mismo volumen, 8 cm³. Pero la caja alargada necesita 34 cm² de cartón y el cubo, solo 24 cm². Cuanto más compacta es la forma, menos envoltorio gasta.
| ✓ | pintar la fachada de un edificiose cubre una superficie: es un área, en m² |
| ✓ | llenar una bañerase ocupa un espacio: es un volumen, en litros o dm³ |
| ✗ | el volumen de un cubo de 4 cm es 96 cm³96 cm² es su área, 6 · 4²; su volumen es 4³ = 64 cm³ |
| ✗ | si dos cajas tienen el mismo volumen, gastan el mismo cartónla de 1 × 1 × 8 cm gasta 34 cm² y el cubo de 2 cm, 24 cm² |
03Área del prisma
Desarrolla un prisma recto: quedan las dos bases y un rectángulo con todas las caras laterales en fila. El largo de ese rectángulo es el perímetro de la base y su alto, la altura del prisma.
Área lateral = perímetro de la base · altura. Área total = área lateral + 2 · área de la base.
Una tienda de campaña canadiense, con suelo, es un prisma triangular tumbado. Sus extremos son triángulos isósceles de lados 1,7 m, 1,7 m y 1,6 m, y mide 2,2 m de largo. La altura del triángulo, por Pitágoras: √(1,7² − 0,8²) = √(2,89 − 0,64) = √2,25 = 1,5 m, así que cada triángulo tiene 1,6 · 1,5 : 2 = 1,2 m².
Las tres caras rectangulares, suelo incluido, forman un rectángulo de 5 m (el perímetro: 1,7 + 1,7 + 1,6) por 2,2 m: 11 m². Con los dos triángulos, la tienda necesita 11 + 2,4 = 13,4 m² de lona.
| ✓ | tienda: 13,4 m² de lona5 · 2,2 = 11 m² de laterales más 2 · 1,2 = 2,4 m² de triángulos |
| ✗ | área total de la tienda = 11 m²es solo el área lateral: faltan los dos triángulos de los extremos |
| ✗ | ortoedro de 30 × 20 × 10 cm: 30 · 20 · 10 cm²eso es su volumen, 6 000 cm³; su área es 2 · (600 + 300 + 200) = 2 200 cm² |
04Área de la pirámide
El desarrollo de una pirámide es su base y una corona de triángulos. La altura de cada uno de esos triángulos se llama apotema de la pirámide. No hay que confundirla con la apotema de la base, que está en el suelo, ni con la altura de la pirámide, que va del vértice al centro de la base.
Las tres forman un triángulo rectángulo: la altura y la apotema de la base son los catetos, y la apotema de la pirámide es la hipotenusa.
Un tejado de cristal con forma de pirámide cuadrangular tiene 10 m de lado de base y 12 m de altura. La apotema de la base es la mitad del lado, 5 m. La apotema de la pirámide: √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 m.
Cada triángulo tiene 10 · 13 : 2 = 65 m², y los cuatro, 260 m² de cristal. El suelo no se acristala; si hubiera que contarlo, se sumarían 100 m² y el área total sería 360 m².
| ✓ | apotema de la pirámide = 13 mhipotenusa de catetos 12 m y 5 m |
| ✗ | cada triángulo mide 10 · 12 : 2 = 60 m²12 m es la altura de la pirámide, no la del triángulo; la del triángulo es la apotema, 13 m |
| ✗ | apotema de la pirámide = 12 + 5 = 17 mlos catetos no se suman: se usa Pitágoras, √169 = 13 m |
05Área del cilindro
Despega la etiqueta de una lata y extiéndela: es un rectángulo. Su alto es la altura de la lata, h, y su largo es lo que da la vuelta completa a la base, la longitud de la circunferencia: 2πr.
Área lateral = 2πr · h. Las dos bases son círculos de área πr² cada uno. Área total = 2πr · h + 2πr².
Las columnas de anuncios de la calle son cilindros. Si una tiene 0,6 m de radio y 3 m de alto, caben 2 · 3,14 · 0,6 · 3 ≈ 11,3 m² de carteles.
Una lata de conservas de 4 cm de radio y 10 cm de altura: lateral 2 · 3,14 · 4 · 10 = 251,2 cm², bases 2 · 3,14 · 4² = 100,48 cm², total 351,68 cm² de chapa.
| ✓ | lata: 351,68 cm² de chapa251,2 cm² de pared más 100,48 cm² de tapa y fondo |
| ✗ | el rectángulo mide r de largotiene que envolver la base entera: mide 2πr |
| ✗ | área total = 2πr · heso es solo la pared: faltan las dos bases |
| ✗ | con diámetro 8 cm: r = 8 cmel radio es la mitad del diámetro, 4 cm; es el error más frecuente |
06Área del cono
El desarrollo de un cono es un círculo, la base, y un sector circular, la pared. El radio del sector es la generatriz g, y su arco tiene que envolver la base, así que mide 2πr.
Ese sector es una parte de un círculo de radio g, cuya circunferencia mide 2πg. La parte es 2πr de 2πg, es decir, r/g. Su área es esa fracción del área del círculo grande: r/g · πg² = π · r · g.
Área lateral = π · r · g. Área total = π · r · g + π · r².
Un gorro de cumpleaños con forma de cono tiene 6 cm de radio y 8 cm de altura. Su generatriz: √(8² + 6²) = √100 = 10 cm. La cartulina del gorro, sin base: 3,14 · 6 · 10 = 188,4 cm².
| ✓ | gorro: 188,4 cm² de cartulinaπ · r · g con r = 6 cm y g = 10 cm |
| ✗ | gorro: 3,14 · 6 · 8 = 150,72 cm²se ha usado la altura; la fórmula lleva la generatriz |
| ✗ | el gorro necesita también 3,14 · 6² cm²un gorro no tiene base; solo se suma si el cono es cerrado |
07Área de la esfera
La esfera no tiene desarrollo plano, pero su área se puede medir con una naranja. Córtala por la mitad, dibuja en un papel varios círculos del tamaño del corte, pela la naranja y rellena los círculos con trocitos de cáscara. Llenarás unos cuatro.
Ese corte es un círculo máximo, de área πr². Por eso el área de la esfera es 4 · π · r².
Una pelota de baloncesto de 12 cm de radio tiene 4 · 3,14 · 12² = 4 · 3,14 · 144 ≈ 1 808,64 cm² de superficie.
| ✓ | esfera de radio 12 cm: 1 808,64 cm²4 · 3,14 · 144 |
| ✗ | área de la esfera = 4 · π · r³un área va con r²; r³ es para el volumen |
| ✗ | área de la esfera = π · r²eso es un solo círculo máximo; la cáscara cubre cuatro |
08El mazo de cartas de Cavalieri
Coge un mazo de cartas cuadrado y bien apilado: es un prisma recto. Ahora empújalo de lado para inclinarlo, o retuércelo un poco. Su forma cambia, pero su volumen no: siguen siendo las mismas cartas, a la misma altura.
Es el principio de Cavalieri: si dos cuerpos tienen la misma altura y al cortarlos a cualquier altura los cortes tienen la misma área, tienen el mismo volumen.
Por eso un prisma oblicuo tiene el mismo volumen que uno recto de igual base y altura. Lo que cuenta es la altura, la distancia entre las bases, no la longitud de las aristas inclinadas.
| ✓ | el mazo inclinado tiene el mismo volumen que el rectomismas cartas: cortes iguales a cada altura |
| ✗ | en un prisma oblicuo se multiplica la base por la arista lateralse multiplica por la altura, que es menor que la arista inclinada |
09Volumen de prismas y cilindros
En un ortoedro, el volumen es largo · ancho · alto, y largo · ancho es el área de la base. Esta idea vale para cualquier prisma y para el cilindro, que son «bases apiladas» como el mazo de cartas.
Volumen = área de la base · altura. Cubo: a³. Ortoedro: a · b · c. Cilindro: π · r² · h.
Un contenedor de barco mide por dentro unos 12 m × 2,4 m × 2,6 m: 12 · 2,4 · 2,6 = 74,88 m³. La tienda de campaña canadiense: base triangular de 1,2 m² por 2,2 m de largo, 2,64 m³ de aire.
La lata de 4 cm de radio y 10 cm de altura: 3,14 · 4² · 10 = 502,4 cm³, medio litro. Si por error se usa el diámetro, 8 cm, sale 3,14 · 64 · 10 = 2 009,6 cm³: cuatro veces más, porque el radio va al cuadrado.
| ✓ | contenedor: 74,88 m³12 · 2,4 = 28,8 y 28,8 · 2,6 = 74,88 |
| ✓ | caja cúbica de 40 cm de arista: 64 000 cm³40³ = 64 000 cm³ = 64 L |
| ✗ | lata: 2 · 3,14 · 4 · 10 cm³eso es el área de la pared; el volumen es π · r² · h = 502,4 cm³ |
| ✗ | lata con r = 8 cm porque el diámetro es 8 cmel radio es 4 cm; con 8 el volumen sale cuatro veces mayor |
10Un tercio: pirámides y conos
Construye en cartulina una pirámide y un prisma con la misma base y la misma altura, los dos abiertos por arriba. Llena la pirámide de agua o de arroz y vacíala en el prisma. Necesitarás tres viajes para llenarlo.
Lo mismo pasa con un cono y un cilindro de igual base y altura. Volumen de la pirámide = área de la base · altura : 3. Volumen del cono = π · r² · h : 3.
El tejado de cristal de 10 m de lado y 12 m de altura encierra 100 · 12 : 3 = 400 m³ de aire. El gorro de cumpleaños de radio 6 cm y altura 8 cm: 3,14 · 36 · 8 : 3 = 301,44 cm³.
Piénsalo en la heladería: un cucurucho lleno hasta el borde tiene solo un tercio de lo que cabría en un vaso cilíndrico de la misma boca y la misma altura.
| ✓ | cono de r = 6 cm y h = 8 cm: 301,44 cm³3,14 · 36 · 8 = 904,32 y 904,32 : 3 = 301,44 |
| ✗ | pirámide: área de la base · alturaeso es el prisma; la pirámide es la tercera parte |
| ✗ | un cono es la mitad de su cilindroes un tercio: caben tres conos de agua en el cilindro |
| ✗ | volumen del cono con la generatriz: π · r² · g : 3el volumen usa la altura; la generatriz es para el área |
11Volumen de la esfera
El volumen de una esfera de radio r es V = 4/3 · π · r³.
La pelota de baloncesto de 12 cm de radio: 4/3 · 3,14 · 12³ = 4/3 · 3,14 · 1 728 = 3,14 · 2 304 ≈ 7 234,56 cm³, unos 7,2 litros de aire.
Hay una relación preciosa, que Arquímedes consideraba su mayor descubrimiento: la esfera ocupa exactamente 2/3 del cilindro que la envuelve, el de su mismo radio y altura 2r. Ese cilindro, para la pelota, tiene 3,14 · 144 · 24 = 10 851,84 cm³, y 2/3 de eso son 7 234,56 cm³.
| ✓ | esfera de r = 12 cm: unos 7,2 L7 234,56 cm³ son 7,23 dm³ |
| ✗ | V = 4/3 · π · r²un volumen lleva tres dimensiones: r³ |
| ✗ | V = 4 · π · r³falta dividir entre 3: 4/3, no 4 |
12Litros y metros cúbicos
El volumen y la capacidad miden lo mismo. La clave es que un cubo de 1 dm de arista se llena con 1 litro exacto: 1 dm³ = 1 L. De ahí salen 1 m³ = 1 000 L y 1 cm³ = 1 mL.
La lata de 502,4 cm³ tiene 502,4 mL, medio litro. El contenedor de 74,88 m³ admitiría 74 880 L de agua.
| ✓ | 3,5 m³ = 3 500 Lcada m³ son 1 000 dm³, es decir, 1 000 L |
| ✓ | 250 cm³ = 0,25 L250 cm³ = 250 mL |
| ✗ | 0,8 m³ = 80 Lse ha multiplicado por 100; son 0,8 · 1 000 = 800 L |
| ✗ | 2 L = 2 cm³2 L = 2 dm³ = 2 000 cm³ |
13Al duplicar las medidas
Una caja de palomitas pequeña mide 10 cm × 10 cm × 20 cm; la grande tiene todas las medidas el doble: 20 cm × 20 cm × 40 cm.
Cartón, contando todas las caras: la pequeña 2 · (100 + 200 + 200) = 1 000 cm² y la grande 2 · (400 + 800 + 800) = 4 000 cm². Cuatro veces más, porque cada cara crece el doble a lo largo y el doble a lo ancho: 2 · 2 = 4.
Palomitas: la pequeña 2 000 cm³, 2 litros; la grande 16 000 cm³, 16 litros. Ocho veces más, porque crecen largo, ancho y alto: 2 · 2 · 2 = 8.
En general, si todas las medidas se multiplican por k, el área se multiplica por k² y el volumen por k³. Al triplicar: área · 9 y volumen · 27.
| ✓ | el doble de medidas: 8 veces el volumen2³ = 8 |
| ✓ | el triple de medidas: 9 veces el área3² = 9 |
| ✗ | el doble de medidas: el doble de volumense duplican tres medidas: 2 · 2 · 2 = 8 veces |
| ✗ | el doble de medidas: 8 veces el cartónel área crece 2² = 4 veces |
14Problemas resueltos
Llenar una piscina. Mide 25 m × 12 m y tiene 1,6 m de profundidad. Volumen: 25 · 12 · 1,6 = 480 m³ = 480 000 L. Si la llenan camiones cisterna de 30 m³, hacen falta 480 : 30 = 16 viajes.
Alicatar la misma piscina. Suelo: 25 · 12 = 300 m². Paredes: 2 · 25 · 1,6 + 2 · 12 · 1,6 = 80 + 38,4 = 118,4 m². En total, 418,4 m² de azulejos. Arriba no se alicata: no se cuenta.
Pintar un depósito de agua cilíndrico de 2 m de radio y 5 m de alto, por fuera y sin la base, que está apoyada en el suelo. Pared: 2 · 3,14 · 2 · 5 = 62,8 m². Tapa: 3,14 · 2² = 12,56 m². Total: 75,36 m². Si un litro de pintura cubre 8 m², hacen falta 75,36 : 8 = 9,42 litros, así que hay que comprar 10.
Envasar pelotas. Tres pelotas de ping-pong de 2 cm de radio van en un tubo justo: radio 2 cm y altura 12 cm. Tubo: 3,14 · 2² · 12 = 150,72 cm³. Pelotas: 3 · 4/3 · 3,14 · 2³ = 100,48 cm³. Aire: 50,24 cm³, exactamente un tercio del tubo, como predice la regla de Arquímedes.
| ✓ | piscina: 480 000 L480 m³ · 1 000 L/m³ |
| ✗ | depósito: comprar 9,42 L de pinturala pintura se vende entera y no puede faltar: se redondea hacia arriba, 10 L |
| ✗ | alicatar la piscina: 480 m²480 es el volumen en m³; los azulejos cubren un área, 418,4 m² |
15Para recordar
- Área: lo que envuelve (cm², m²). Volumen: lo que ocupa (cm³, m³).
- Prisma: lateral = perímetro de la base · altura; total = lateral + 2 bases.
- Pirámide: suma de triángulos con la apotema de la pirámide, hipotenusa entre altura y apotema de la base.
- Cilindro: 2πr · h + 2πr². Cono: π · r · g + π · r². Esfera: 4πr².
- Prisma y cilindro: V = área de la base · altura. Pirámide y cono: la tercera parte.
- Esfera: V = 4/3 · π · r³.
- 1 dm³ = 1 L; 1 m³ = 1 000 L; 1 cm³ = 1 mL.
- Medidas por k: área por k², volumen por k³.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre área y volumen?
El área mide la superficie que envuelve el cuerpo, lo que haría falta para forrarlo, y se da en cm² o m². El volumen mide el espacio que ocupa por dentro, lo que haría falta para llenarlo, y se da en cm³ o m³.
¿Qué es el área lateral?
Es el área de las paredes del cuerpo, sin contar las bases. El área total es la lateral más la de las bases.
¿Cómo se calcula el área de un cilindro?
La pared, desenrollada, es un rectángulo de largo 2πr y alto h; las dos bases son círculos de área πr². Área total = 2πr · h + 2πr².
¿Cuál es el área de un cono?
El área lateral es π · r · g, donde g es la generatriz, no la altura. El área total suma además la base: π · r · g + π · r².
¿Por qué el volumen de un cono es un tercio del de un cilindro?
Porque un cono lleno de agua, vaciado en un cilindro de la misma base y la misma altura, lo llena justo hasta un tercio. Lo mismo pasa con la pirámide y el prisma.
¿Cuál es la fórmula del volumen de la esfera?
V = 4/3 · π · r³. Una pelota de radio 12 cm tiene 4/3 · 3,14 · 1 728 ≈ 7 234,56 cm³, unos 7,2 litros.
¿Cómo se pasa de cm³ a litros?
Se divide entre 1 000, porque 1 000 cm³ = 1 dm³ = 1 L. Una lata de 502,4 cm³ contiene 0,5024 L, medio litro largo.
¿Qué pasa con el volumen si duplico todas las medidas?
Se multiplica por 8, porque se duplican el largo, el ancho y el alto: 2 · 2 · 2 = 8. El área, en cambio, se multiplica por 4.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: