Ecuaciones de segundo grado

01Un patio con 40 m²

Vas a poner césped artificial en un patio rectangular. El largo mide 3 m más que el ancho y has comprado justo 40 m² de césped. ¿Cuánto mide el ancho? Si lo llamas x, el largo es x + 3 y el área es x(x + 3) = 40.

Probando sale: con 4 m de ancho, 4 · 7 = 28 m², poco; con 5 m, 5 · 8 = 40 m², justo. Pero si hubieras comprado 50 m², ningún entero sirve: 5 · 8 = 40 se queda corto y 6 · 9 = 54 se pasa. La respuesta es unos 5,73 m, y eso no se adivina probando.

Al quitar el paréntesis aparece x² + 3x = 50: una ecuación con la incógnita al cuadrado. Esta página enseña a resolver cualquiera de ellas, con un método que no depende de la suerte.

02Qué es una ecuación de segundo grado

Una ecuación es de segundo grado cuando, después de quitar paréntesis y juntar términos, el mayor exponente de la incógnita es 2. Siempre se puede escribir así: ax² + bx + c = 0, con todos los términos en un miembro y un 0 en el otro.

Los números a, b y c son los coeficientes: a acompaña a x², b acompaña a x y c es el término independiente, el que no lleva x. La única condición es a ≠ 0: si a valiera 0, el x² desaparecería y la ecuación sería de primer grado.

Las soluciones también se llaman raíces de la ecuación. Una ecuación de primer grado tiene como mucho una solución; una de segundo grado puede tener dos, una o ninguna.

03Qué es y qué no es

Antes de decidir, quita paréntesis y junta los términos semejantes: lo que cuenta es cómo queda la ecuación al final, no cómo empieza.

04Los coeficientes a, b y c

Para leer los coeficientes, la ecuación tiene que estar ordenada: todo en un miembro e igualado a 0. Cada coeficiente se lleva su signo, y si falta un término, su coeficiente es 0.

En 6 + 4x − x² = 0 el orden está cambiado, pero se leen igual: a = −1, porque −x² es −1 · x², b = 4 y c = 6. Si a sale negativo, puedes multiplicar toda la ecuación por −1: x² − 4x − 6 = 0 tiene las mismas soluciones y es más cómoda.

05Sin término en x: x² = k

Si falta el término en x, la ecuación es ax² + c = 0 y no necesita fórmula. Se despeja x² como si fuera una incógnita normal y al final se hace la raíz cuadrada.

Ejemplo: 5x² − 80 = 0. Se pasa el 80: 5x² = 80. Se divide entre 5: x² = 16. ¿Qué números al cuadrado dan 16? El 4 y también el −4, porque (−4)² = 16. Las soluciones son x = 4 y x = −4, y se escribe x = ±4.

Hay tres casos según el número k de x² = k. Si k es positivo, hay dos soluciones opuestas, ±√k. Si k = 0, solo vale x = 0. Si k es negativo, no hay solución: ningún número al cuadrado da negativo, tampoco los negativos. Así, x² + 25 = 0 lleva a x² = −25 y no tiene solución.

06Sin término independiente: factor común

Si falta c, la ecuación es ax² + bx = 0 y los dos términos llevan x. Se saca x factor común y queda un producto igualado a 0. Aquí está la clave: si un producto vale 0, alguno de sus factores tiene que ser 0. No hay otra forma de que una multiplicación dé 0.

Ejemplo: 5x² + 30x = 0. Sacando 5x factor común, 5x(x + 6) = 0. O bien 5x = 0, que da x = 0, o bien x + 6 = 0, que da x = −6. Comprobación con −6: 5 · 36 − 180 = 0. En este tipo de ecuaciones, una de las soluciones es siempre x = 0.

El error más frecuente: en x² = 9x, dividir los dos miembros entre x y escribir x = 9. Se pierde la solución x = 0, porque dividir entre x es dividir entre un número que podría ser 0, y eso no se puede hacer. Lo correcto es pasarlo todo a un lado: x² − 9x = 0, x(x − 9) = 0, y x = 0 o x = 9.

Ojo: la regla del producto solo funciona si al otro lado hay un 0. En x(x − 3) = 10 no se puede decir «x = 10 o x − 3 = 10»: con x = 10 sale 10 · 7 = 70. Hay que quitar el paréntesis, x² − 3x − 10 = 0, y resolverla como completa. Sus soluciones son 5 y −2.

07De dónde sale la fórmula

Cuando la ecuación está completa, con a, b y c distintos de 0, los trucos anteriores no sirven. La idea es convertir una parte en un cuadrado perfecto, como (x + 3)², y luego hacer lo mismo que con x² = k.

Ejemplo: x² + 6x − 7 = 0. Se pasa el 7: x² + 6x = 7. Ahora se suma 9 a los dos miembros, porque x² + 6x + 9 es justo (x + 3)²: queda (x + 3)² = 16. Entonces x + 3 = 4 o x + 3 = −4, es decir, x = 1 o x = −7. Comprobación: 1 + 6 − 7 = 0 y 49 − 42 − 7 = 0.

¿Por qué 9? Porque (x + 3)² = x² + 6x + 9: el 6 es el doble de 3 y el 9 es 3². Si este truco se hace una sola vez con letras, con ax² + bx + c = 0, sale una fórmula que resuelve de golpe todas las ecuaciones de segundo grado. Es la de la sección siguiente.

08La fórmula general paso a paso

Las soluciones de ax² + bx + c = 0 son x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). El signo ± quiere decir que la cuenta se hace dos veces: una sumando la raíz y otra restándola.

Pasos: 1.º ordena la ecuación e iguálala a 0; 2.º escribe a, b y c con sus signos; 3.º calcula lo de dentro de la raíz, b² − 4ac; 4.º haz la raíz; 5.º calcula las dos soluciones, con + y con −; 6.º compruébalas.

Ejemplo: 2x² − 7x + 3 = 0. Coeficientes: a = 2, b = −7, c = 3. Dentro de la raíz: (−7)² − 4 · 2 · 3 = 49 − 24 = 25, y √25 = 5. Entonces x = (7 ± 5) / 4. Con el más, 12/4 = 3; con el menos, 2/4 = 1/2. Las soluciones son x = 3 y x = 1/2.

Fíjate en −b: como b = −7, −b = 7. Y el cuadrado de un negativo es positivo: (−7)² = 49. Son los dos despistes que más soluciones estropean.

09El discriminante

Lo de dentro de la raíz, b² − 4ac, se llama discriminante y se escribe con la letra griega Δ, delta. Calcularlo primero te dice cuántas soluciones vas a encontrar antes de terminar las cuentas.

Si Δ > 0, hay dos soluciones distintas: en x² − 2x − 15 = 0, Δ = 4 + 60 = 64, y x = (2 ± 8) / 2 da 5 y −3. Si Δ = 0, el ± suma y resta 0 y sale una sola solución, llamada doble: en x² − 10x + 25 = 0, Δ = 100 − 100 = 0 y x = 10/2 = 5. Si Δ < 0, no hay solución, porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo: en x² + 2x + 6 = 0, Δ = 4 − 24 = −20.

La solución doble tiene truco: x² − 10x + 25 es (x − 5)², así que la ecuación dice (x − 5)² = 0, y eso solo pasa con x = 5. Otro detalle útil: si a y c tienen signos contrarios, −4ac es positivo, Δ también, y siempre hay dos soluciones.

10Comprobar las soluciones

Cada solución se sustituye en la ecuación del principio, la del enunciado, y no en la ya ordenada: así también cazas los errores que se colaron al ordenar. Los negativos, siempre entre paréntesis.

Con x² − 2x − 15 = 0 y x = −3: (−3)² − 2 · (−3) − 15 = 9 + 6 − 15 = 0. Con x = 5: 25 − 10 − 15 = 0. Las dos valen.

Hay además un truco rápido: las dos soluciones suman −b/a y su producto es c/a. En x² − 2x − 15 = 0, 5 + (−3) = 2, que es −b/a, y 5 · (−3) = −15, que es c/a. Si no cuadra, hay un error en algún sitio.

11Ecuaciones que hay que ordenar antes

Muchas ecuaciones no llegan ordenadas. Antes de usar la fórmula hay que quitar paréntesis, desarrollar las identidades notables, quitar denominadores y pasarlo todo a un miembro. Solo entonces se leen a, b y c.

Con una identidad notable: (x + 2)² = 3x + 10. Se desarrolla: x² + 4x + 4 = 3x + 10. Se pasa todo a la izquierda: x² + x − 6 = 0. Δ = 1 + 24 = 25 y x = (−1 ± 5) / 2, que da 2 y −3. Comprobación con −3: a la izquierda, (−1)² = 1; a la derecha, −9 + 10 = 1.

Con denominadores se hace como en las de primer grado: todo por el m.c.m. En x²/4 + x/2 = 2, el m.c.m. es 4: x² + 2x = 8, es decir, x² + 2x − 8 = 0. Δ = 4 + 32 = 36 y x = (−2 ± 6) / 2: las soluciones son 2 y −4. Comprobación con −4: 16/4 − 4/2 = 4 − 2 = 2.

Con un factor repetido: x(x − 4) = 2(x − 4). La tentación es dividir entre x − 4 y quedarse con x = 2, pero se pierde x = 4, que hace 0 los dos miembros. Mejor desarrollar: x² − 4x = 2x − 8, x² − 6x + 8 = 0, Δ = 36 − 32 = 4 y x = (6 ± 2) / 2. Soluciones: 4 y 2.

12Problemas de áreas

El patio del principio: x(x + 3) = 40 se ordena como x² + 3x − 40 = 0. Δ = 9 + 160 = 169, √169 = 13 y x = (−3 ± 13) / 2, que da 5 y −8. Un ancho de −8 m no existe, así que el patio mide 5 m de ancho y 8 m de largo: 5 · 8 = 40 m².

Un marco: un póster de 60 cm × 40 cm se enmarca con una moldura de la misma anchura x por los cuatro lados, y el conjunto ocupa 2 816 cm². Cada medida crece 2x, porque la moldura está a los dos lados: (60 + 2x)(40 + 2x) = 2 816.

Desarrollando: 2 400 + 200x + 4x² = 2 816, o sea, 4x² + 200x − 416 = 0. Todo es múltiplo de 4, así que se divide entre 4: x² + 50x − 104 = 0. Δ = 2 500 + 416 = 2 916 = 54², y x = (−50 ± 54) / 2 da 2 y −52. La moldura mide 2 cm. Comprobación: 64 · 44 = 2 816.

13Problemas de números y edades

Números: dos números consecutivos multiplicados dan 156. Si el menor es x, el otro es x + 1 y x(x + 1) = 156, es decir, x² + x − 156 = 0. Δ = 1 + 624 = 625, √625 = 25 y x = (−1 ± 25) / 2, que da 12 y −13. Aquí valen las dos: 12 y 13, o −13 y −12, porque (−13) · (−12) = 156. Un número sí puede ser negativo.

Edades: Inés tiene 30 años menos que su padre y el producto de sus edades es 175. Con x = edad de Inés, el padre tiene x + 30 y x(x + 30) = 175, o sea, x² + 30x − 175 = 0. Δ = 900 + 700 = 1 600, √1 600 = 40 y x = (−30 ± 40) / 2, que da 5 y −35. Una edad de −35 años no tiene sentido: Inés tiene 5 años y su padre, 35. Comprobación: 5 · 35 = 175.

Con una identidad notable: si multiplicas la edad que tendrá Bruno dentro de 4 años por la que tenía hace 4, sale 105. Con x = su edad, (x + 4)(x − 4) = 105, que es x² − 16 = 105. Es incompleta: x² = 121 y x = ±11. Bruno tiene 11 años: 15 · 7 = 105.

14Soluciones que no tienen sentido

La ecuación no sabe de qué trata el problema: da todos los números que cumplen la igualdad. Eres tú quien decide, con el enunciado delante, cuáles sirven. Por eso, después de resolver, pregúntate si cada solución tiene sentido.

Se descartan las longitudes, las áreas, las edades y los tiempos negativos, y los resultados con decimales cuando se cuentan cosas enteras, como personas. Si hay que descartar todas las soluciones, revisa el planteamiento: lo más probable es que haya un error.

15Para recordar

• Forma general: ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0. Ordena siempre antes de leer a, b y c.
• Sin término en x: x² = k. Si k > 0, x = ±√k; si k = 0, x = 0; si k < 0, no hay solución.
• Sin término independiente: saca x factor común. Una solución es siempre x = 0. Nunca dividas entre x.
• Completa: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
• Discriminante Δ = b² − 4ac: positivo, dos soluciones; cero, una doble; negativo, ninguna.
• Comprueba cada solución en la ecuación original, con los negativos entre paréntesis.
• En los problemas, descarta las soluciones sin sentido: longitudes, edades o tiempos negativos.