Mates en AcciónPolinomios e identidades notables
Un polinomio es una suma de monomios, como 2x³ − 5x + 7. Las identidades notables, como (a + b)² = a² + 2ab + b², son productos que se usan sin multiplicar.
Qué es un polinomio y qué no lo es, grado y valor numérico, suma, resta y producto de polinomios, factor común, las tres identidades notables con su dibujo, cálculo mental y división entre un monomio.
01El huerto que crece más de lo que parece
Tienes un huerto cuadrado de 10 m de lado, es decir, de 100 m². Te dejan ampliarlo 3 m de largo y 3 m de ancho. ¿Cuánto ganas? Mucha gente responde 9 m², pero el huerto nuevo mide 13 m de lado y su área es 13² = 169 m²: ganas 69 m².
Si lo dibujas lo ves: al cuadrado de 100 m² se le pegan dos franjas de 10 m por 3 m, de 30 m² cada una, y un cuadradito de 3 m por 3 m en la esquina. 100 + 30 + 30 + 9 = 169.
Con una letra, si el lado es x, el área nueva es (x + 3)² = x² + 6x + 9, sea cual sea el huerto. Esa igualdad es una identidad notable, y en esta página aprenderás a manejar estas expresiones, los polinomios, y a usar las identidades para calcular cosas como 99² de cabeza: 9 801.
02Polinomios: términos y grado
Repaso rápido: un monomio es un número multiplicado por letras con exponentes naturales, como 4t³ o −m²n. El número es el coeficiente, las letras forman la parte literal y el grado es la suma de los exponentes de las letras: los dos ejemplos son de grado 3.
Un polinomio es una suma de monomios que no son semejantes entre sí. Cada monomio es un término. El grado del polinomio es el mayor grado de sus términos, el término sin letra es el término independiente y el coeficiente del término de mayor grado es el coeficiente principal. Se suele llamar con una mayúscula: P(x), Q(x)…
P(x) = 7 − 5x + 2x³ es de grado 3, su coeficiente principal es 2 y su término independiente, 7. Se dice que está ordenado si sus términos van de mayor a menor grado: 2x³ − 5x + 7. Y es completo si tiene todos los grados, desde el mayor hasta el 0. A P(x) le falta el término en x², que se puede escribir con coeficiente 0: 2x³ + 0x² − 5x + 7.
| ✓ | x⁴ − 3x² + x − 1: grado 4, término independiente −1el término independiente se lleva su signo |
| ✓ | 6x² − x + 9 es completotiene los grados 2, 1 y 0 |
| ✗ | El grado de 2x³ + 5x⁴ − 1 es 3el grado lo da el mayor exponente, aunque no esté delante: ordenado es 5x⁴ + 2x³ − 1, de grado 4 |
| ✗ | x³ + 4x − 2 es completofalta el término en x² |
| ✗ | El término independiente de 3x² − 8x es −8−8x lleva x: el término independiente es 0 |
03Qué es y qué no es un polinomio
En un polinomio la variable solo puede aparecer multiplicada por sí misma, con exponentes naturales: 0, 1, 2, 3… Nunca en un denominador, dentro de una raíz ni en un exponente.
Los coeficientes, en cambio, pueden ser cualquier número: fracciones, decimales, negativos o raíces. Dividir entre un número está permitido, porque es multiplicar por una fracción. Dividir entre la x, no.
| ✓ | x²/4 + 1se divide entre un número: es (1/4)x² + 1 |
| ✓ | √3 · x − 0,5la raíz está en el coeficiente, no en la x |
| ✓ | −12un número solo es un polinomio de grado 0 |
| ✗ | 5/x + 2la x está en el denominador: sería 5x⁻¹, con exponente negativo |
| ✗ | x⁻² + xlos exponentes de la variable tienen que ser naturales |
| ✗ | √x + 3√x es x elevado a 1/2: el exponente no es natural |
| ✗ | 2ˣ + 1la x está en el exponente |
04Valor numérico
El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a es el número que sale al sustituir la x por a. Se escribe P(a).
Lanzas una pelota hacia arriba y su altura en metros, t segundos después, es h(t) = 20t − 5t². Al segundo está a h(1) = 20 − 5 = 15 m; a los 2 s, h(2) = 40 − 20 = 20 m, su punto más alto; a los 3 s vuelve a estar a 15 m; y a los 4 s, h(4) = 80 − 80 = 0: ha llegado al suelo.
Con negativos, el paréntesis es obligatorio. Para Q(x) = x³ − 2x² + 4, Q(−2) = (−2)³ − 2 · (−2)² + 4 = −8 − 8 + 4 = −12.
Dos atajos: P(0) es siempre el término independiente, y P(1) es la suma de todos los coeficientes. Q(1) = 1 − 2 + 4 = 3.
| ✓ | h(4) = 20 · 4 − 5 · 4² = 0a los 4 s la pelota vuelve al suelo |
| ✓ | Q(0) = 4con x = 0 solo queda el término independiente |
| ✗ | −2x² para x = −3: −2 · (−6) = 12la potencia va antes que el producto: (−3)² = 9 y −2 · 9 = −18 |
| ✗ | h(2) = 40 − 100solo se eleva el 2: 5 · 2² = 5 · 4 = 20, y h(2) = 20 m |
05Sumar y restar polinomios
Para sumar polinomios se juntan los términos semejantes. Ayuda escribirlos uno debajo de otro, cada grado en su columna, dejando hueco donde falte un término.
Con P(x) = 3x³ − x² + 4x − 6 y Q(x) = −x³ + 5x² − 2: P + Q = (3 − 1)x³ + (−1 + 5)x² + 4x + (−6 − 2) = 2x³ + 4x² + 4x − 8.
Para restar, el signo menos afecta a todo el polinomio que se resta: se cambian los signos de todos sus términos y después se suma. P − Q = 3x³ − x² + 4x − 6 + x³ − 5x² + 2 = 4x³ − 6x² + 4x − 4.
Para comprobar, da un valor a x. Con x = 1, P(1) = 0 y Q(1) = 2, así que P − Q tiene que valer −2. Y en efecto, 4 − 6 + 4 − 4 = −2.
| ✓ | P + Q = 2x³ + 4x² + 4x − 8semejantes con semejantes, grado a grado |
| ✓ | P − Q = 4x³ − 6x² + 4x − 4se cambiaron los tres signos de Q |
| ✗ | P − Q = 4x³ + 4x² + 4x − 8solo se cambió el signo del primer término de Q: el menos afecta a todos |
| ✗ | 3x³ + 5x² = 8x⁵no son semejantes: no se pueden juntar, y al sumar los exponentes no se suman |
06Monomio por polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se usa la propiedad distributiva: el monomio multiplica a cada término. En cada producto se multiplican los coeficientes, con su signo, y se suman los exponentes de la misma letra.
−3x² · (2x² − x + 5) = −6x⁴ + 3x³ − 15x². Fíjate en el segundo término: (−3x²) · (−x) = +3x³.
Con dos letras funciona igual: 4ab · (a − 2b) = 4a²b − 8ab². Y sirve para calcular áreas: un rectángulo de base 3x y altura x + 4 tiene un área de 3x · (x + 4) = 3x² + 12x.
| ✓ | −3x² · (2x² − x + 5) = −6x⁴ + 3x³ − 15x²el monomio multiplica a los tres términos |
| ✗ | −3x² · (2x² − x + 5) = −6x⁴ − x + 5solo se multiplicó el primer término |
| ✗ | −3x² · (2x² − x + 5) = −6x⁴ − 3x³ − 15x²menos por menos es más: (−3x²) · (−x) = +3x³ |
| ✗ | 2x · 5x³ = 10x³los exponentes se suman: x · x³ = x⁴, y queda 10x⁴ |
07Multiplicar dos polinomios
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primero por cada término del segundo. Después se juntan los semejantes y se ordena el resultado.
(x + 6)(x − 2) = x² − 2x + 6x − 12 = x² + 4x − 12.
(2x − 3)(x² + 4x − 1): primero 2x por los tres términos, 2x³ + 8x² − 2x; después −3 por los tres, −3x² − 12x + 3. Juntando: 2x³ + 5x² − 14x + 3. Salen 2 · 3 = 6 productos antes de reducir, y el grado del resultado es la suma de los grados, 1 + 2 = 3.
Comprobación con x = 1: (2 − 3) · (1 + 4 − 1) = −1 · 4 = −4, y 2 + 5 − 14 + 3 = −4.
| ✓ | (x + 6)(x − 2) = x² + 4x − 12cuatro productos y se juntan −2x y 6x |
| ✓ | (2x − 3)(x² + 4x − 1) = 2x³ + 5x² − 14x + 3seis productos, reducidos y ordenados |
| ✗ | (x + 6)(x − 2) = x² − 12faltan los productos cruzados, −2x y 6x |
| ✗ | Multiplicar 2x por el segundo polinomio y después restar 3el −3 también multiplica a cada término del segundo |
08Sacar factor común
Sacar factor común es la distributiva al revés: si todos los términos comparten un factor, se escribe delante de un paréntesis y dentro queda lo que resulta de dividir cada término entre él.
Para sacar el factor común más grande posible, toma el máximo común divisor de los coeficientes y cada letra que aparezca en todos los términos con su menor exponente. En 6x³ − 9x² + 3x, el mcd de 6, 9 y 3 es 3 y la x aparece como mínimo con exponente 1: 6x³ − 9x² + 3x = 3x(2x² − 3x + 1).
Más ejemplos: 10a²b − 15ab² = 5ab(2a − 3b) y 4x⁵ + 8x³ = 4x³(x² + 2). Comprueba siempre multiplicando: tiene que salir lo de partida.
| ✓ | 10a²b − 15ab² = 5ab(2a − 3b)mcd de 10 y 15 es 5, y a y b están en los dos términos |
| ✗ | 6x³ − 9x² + 3x = 3x(2x² − 3x)falta el 1: 3x : 3x = 1, no 0 |
| ✗ | 4x⁵ + 8x³ = 4x(x⁴ + 2x²), con el factor común máximola igualdad es cierta, pero dentro aún queda x² en los dos términos: el máximo es 4x³ |
09Cuadrado de una suma
(a + b)² = a² + 2ab + b². Se lee: el cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Sale de multiplicar: (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b².
El dibujo es el del huerto: un cuadrado de lado a + b se divide en un cuadrado de lado a, otro de lado b y dos rectángulos de a por b. Por eso el término 2ab nunca se puede olvidar: son las dos franjas.
El error más extendido del álgebra es escribir (a + b)² = a² + b². Con números se ve que es falso: (3 + 4)² = 7² = 49, pero 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Faltan los 2 · 3 · 4 = 24 de las franjas.
Ejemplos: (x + 5)² = x² + 10x + 25 y (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4.
| ✓ | (x + 5)² = x² + 10x + 25x², 2 · x · 5 = 10x y 5² = 25 |
| ✓ | (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4(3x)² = 9x² y 2 · 3x · 2 = 12x |
| ✗ | (x + 5)² = x² + 25falta el doble producto: con x = 1, 6² = 36 y 1 + 25 = 26 |
| ✗ | (3x + 2)² = 3x² + 12x + 4el 3 también se eleva al cuadrado: (3x)² = 9x² |
10Cuadrado de una diferencia
(a − b)² = a² − 2ab + b². Es como la anterior, pero el doble producto va restando. El último término siempre es positivo, porque es un cuadrado.
El dibujo: parte de un cuadrado de lado a y recorta una franja de a por b de un lado y otra de a por b del otro, para quedarte con un cuadrado de lado a − b. Al recortar, el cuadradito de b por b de la esquina lo has quitado dos veces, así que hay que devolverlo una vez: a² − 2ab + b².
Ejemplos: (x − 4)² = x² − 8x + 16, (5 − y)² = 25 − 10y + y² y (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1.
| ✓ | (x − 4)² = x² − 8x + 16x², −2 · x · 4 = −8x y (−4)² = 16 |
| ✓ | (5 − y)² = 25 − 10y + y²el primero es 5 y el segundo, y |
| ✗ | (x − 4)² = x² − 8x − 16el último término es (−4)² = +16: un cuadrado no es negativo |
| ✗ | (x − 4)² = x² − 16eso es (x + 4)(x − 4): falta el −8x |
11Suma por diferencia
(a + b)(a − b) = a² − b². Al multiplicar sale a² − ab + ab − b², y los dos productos cruzados se anulan. Se lee: suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
El dibujo: a un cuadrado de lado a le quitas un cuadradito de lado b en una esquina. Queda una figura en forma de L de área a² − b². Si cortas una de sus dos alas y la pegas en la otra, la L se convierte en un rectángulo de a + b por a − b.
Ejemplos: (x + 8)(x − 8) = x² − 64, (2x + 1)(2x − 1) = 4x² − 1 y (3a − 5b)(3a + 5b) = 9a² − 25b².
| ✓ | (x + 8)(x − 8) = x² − 64los productos cruzados, −8x y 8x, se anulan |
| ✓ | (3a − 5b)(3a + 5b) = 9a² − 25b²el orden de los factores no importa |
| ✗ | (x + 8)(x − 8) = x² + 64el segundo cuadrado va restando |
| ✗ | (x + 8)(x + 8) = x² − 64eso es el cuadrado de una suma: x² + 16x + 64 |
12Calcular de cabeza
Las identidades no son solo para letras: sirven para hacer cuentas de cabeza buscando un número redondo cerca.
51² = (50 + 1)² = 2 500 + 100 + 1 = 2 601. 49² = (50 − 1)² = 2 500 − 100 + 1 = 2 401. 32² = (30 + 2)² = 900 + 120 + 4 = 1 024.
49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2 500 − 1 = 2 499. 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9 996. Y el truco del principio: 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801.
| ✓ | 51² = 2 6012 500 + 2 · 50 · 1 + 1 |
| ✓ | 98 · 102 = 9 996suma por diferencia: 100² − 2² |
| ✗ | 51² = 2 501falta el doble producto, 2 · 50 · 1 = 100 |
| ✗ | 49 · 51 = 2 500hay que restar 1² = 1: es 2 499 |
13Factorizar con las identidades
Leídas de derecha a izquierda, las identidades convierten una suma en un producto. Eso es factorizar, y es muy útil para simplificar y para resolver ecuaciones.
Un trinomio es un cuadrado perfecto si dos de sus términos son cuadrados y el otro es el doble producto de sus raíces, sumando o restando. En x² + 14x + 49, x² es el cuadrado de x, 49 el de 7 y 14x = 2 · x · 7, así que x² + 14x + 49 = (x + 7)². Igual, x² − 10x + 25 = (x − 5)² y 9x² − 12x + 4 = (3x − 2)².
Una resta de dos cuadrados es una suma por diferencia: x² − 81 = (x + 9)(x − 9) y 4x² − 25 = (2x + 5)(2x − 5).
Muchas veces conviene sacar antes factor común: 2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x + 3)(x − 3).
| ✓ | x² + 14x + 49 = (x + 7)²49 = 7² y 14x = 2 · x · 7 |
| ✓ | x² − 81 = (x + 9)(x − 9)diferencia de los cuadrados de x y de 9 |
| ✓ | 2x² − 18 = 2(x + 3)(x − 3)primero factor común 2 y después suma por diferencia |
| ✗ | x² + 81 = (x + 9)(x − 9)la suma por diferencia da una resta de cuadrados, nunca una suma |
| ✗ | x² + 6x + 4 = (x + 2)²(x + 2)² = x² + 4x + 4: el doble producto no cuadra |
14Dividir entre un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término entre el monomio: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de la misma letra.
(12x⁴ − 8x³ + 4x²) : 4x² = 3x² − 2x + 1. Para comprobarlo se multiplica al revés: 4x² · (3x² − 2x + 1) = 12x⁴ − 8x³ + 4x².
Con dos letras: (15a³b − 10a²b²) : 5a²b = 3a − 2b.
La división solo da un polinomio si cada término tiene, como mínimo, las letras del divisor con exponentes iguales o mayores. (x³ + 6) : x da x² + 6/x, que ya no es un polinomio.
| ✓ | (12x⁴ − 8x³ + 4x²) : 4x² = 3x² − 2x + 1cada término dividido entre 4x² |
| ✗ | (12x⁴ − 8x³ + 4x²) : 4x² = 3x² − 2x4x² : 4x² = 1, no 0 |
| ✗ | (12x⁴ − 8x³ + 4x²) : 4x² = 3x² − 8x³ + 4x²hay que dividir todos los términos, no solo el primero |
| ✗ | (x³ + 6) : x = x² + 66 : x no es un monomio: el resultado no es un polinomio |
15Para recordar
- Polinomio: suma de monomios con exponentes naturales. Grado: el mayor exponente. Término independiente: el que no lleva letra.
- √x, 1/x o x⁻² no son polinomios.
- Valor numérico: sustituir con los negativos entre paréntesis. P(0) es el término independiente.
- Restar: cambia el signo de todos los términos que se restan.
- Multiplicar: cada término por cada término, reducir y ordenar.
- (a + b)² = a² + 2ab + b². (a − b)² = a² − 2ab + b². (a + b)(a − b) = a² − b².
- (a + b)² no es a² + b²: faltan las dos franjas de área ab.
- Factorizar: sacar factor común y leer las identidades al revés.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un polinomio?
Es una suma de monomios no semejantes, como 2x³ − 5x + 7. Su grado es el mayor exponente de la variable, y el número sin letra es el término independiente.
¿Por qué √x o 1/x no son polinomios?
Porque en un polinomio la variable solo puede llevar exponentes naturales: 0, 1, 2, 3… Y √x es x elevado a 1/2, mientras que 1/x es x⁻¹.
¿Cómo se restan polinomios?
Se cambia el signo de todos los términos del polinomio que se resta y después se suman los semejantes. Olvidar cambiar alguno es el error más frecuente.
¿Cómo se multiplican dos polinomios?
Se multiplica cada término del primero por cada término del segundo, se juntan los semejantes y se ordena: (x + 6)(x − 2) = x² + 4x − 12.
¿(a + b)² es igual a a² + b²?
No: (a + b)² = a² + 2ab + b². Con números se ve enseguida: (3 + 4)² = 49, pero 3² + 4² = 25.
¿Cuáles son las identidades notables?
El cuadrado de una suma, (a + b)² = a² + 2ab + b². El cuadrado de una diferencia, (a − b)² = a² − 2ab + b². Y la suma por diferencia, (a + b)(a − b) = a² − b².
¿Cómo se calcula 49 · 51 de cabeza?
Con la suma por diferencia: 49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 50² − 1² = 2 500 − 1 = 2 499.
¿Qué significa factorizar un polinomio?
Escribirlo como un producto, sacando factor común o usando una identidad notable al revés: x² − 81 = (x + 9)(x − 9).
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: