Tiempo, ángulos y sistema sexagesimal

01¿1,4 horas son 1 h 40 min?

Sales de casa a las 17:50 y el navegador dice que el viaje dura 1,4 h. Mucha gente leería «una hora y cuarenta minutos» y diría que llegas a las 19:30. Pero llegas a las 19:14.

La clave es que una hora no tiene 100 minutos, sino 60. Así que 0,4 h es el 40 % de 60 minutos, 0,4 · 60 = 24 min, y 1,4 h es 1 h 24 min. El tiempo y los ángulos no cuentan de 10 en 10, como el metro o el euro, sino de 60 en 60: usan el sistema sexagesimal.

02¿Por qué de 60 en 60?

Se lo debemos a Mesopotamia: hace más de 4 000 años, los babilonios escribían los números en base 60, y sus astrónomos dejaron sus tablas a griegos y árabes, que las pasaron a Europa. Hay una explicación posible de dónde salió: con el pulgar se cuentan las 12 falanges de los otros cuatro dedos de una mano, y con los 5 dedos de la otra se apuntan las docenas. 12 · 5 = 60.

Pero la razón de que haya durado tanto es otra: 60 tiene muchísimos divisores, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60. Doce en total, frente a los cuatro de 10. Por eso la mitad, la tercera, la cuarta, la quinta o la sexta parte de una hora son minutos exactos. Con una hora de 100 minutos, un tercio serían 33,333… minutos.

03Las unidades de tiempo

La unidad del Sistema Internacional es el segundo (s). De 60 en 60 salen el minuto (min) y la hora (h): 1 min = 60 s y 1 h = 60 min = 3 600 s. A partir de ahí ya no se cuenta de 60 en 60: un día tiene 24 h, una semana 7 días y un año 365 días, o 366 si es bisiesto. Los meses tienen 28, 29, 30 o 31 días.

Por debajo del segundo, en cambio, se usan décimas, centésimas y milésimas, como con cualquier decimal. Por eso un cronómetro enseña algo como 2:07,35, que son 2 min y 7,35 s: minutos sexagesimales y segundos con decimales a la vez.

04Forma compleja e incompleja

Una medida en forma compleja usa varias unidades a la vez, como 2 h 13 min 50 s; en forma incompleja, una sola, como 8 030 s. Las dos son la misma duración.

De compleja a incompleja se multiplica: las horas por 3 600, los minutos por 60, y se suma todo. 2 h 13 min 50 s = 7 200 s + 780 s + 50 s = 8 030 s.

De incompleja a compleja se divide entre 60 dos veces. ¿Cuánto son 10 000 s? 10 000 : 60 da 166 min y sobran 40 s. 166 : 60 da 2 h y sobran 46 min. Así que 10 000 s = 2 h 46 min 40 s: ni siquiera llegan a tres horas.

Una forma compleja bien escrita tiene siempre los minutos y los segundos por debajo de 60.

05De horas decimales a horas y minutos

Las apps, las hojas de cálculo y muchos aparatos dan el tiempo con decimales. Para pasarlo a forma compleja, la parte entera son las horas y la parte decimal se multiplica por 60 para obtener los minutos. Si aún quedan decimales, se vuelven a multiplicar por 60 para sacar los segundos.

Así, 2,35 h son 2 h y 0,35 · 60 = 21 min: 2 h 21 min. Y 0,64 h son 0,64 · 60 = 38,4 min; los 0,4 min que sobran son 0,4 · 60 = 24 s, así que 0,64 h = 38 min 24 s.

La trampa más común es leer los decimales como si fueran minutos. 2,4 h no son 2 h 40 min, sino 2 h 24 min.

06De horas y minutos a horas decimales

Al revés, los minutos se dividen entre 60, los segundos entre 3 600, y se suma todo a las horas. 2 h 33 min = 2 + 33/60 = 2 + 0,55 = 2,55 h. 3 h 7 min 30 s = 3 + 7,5/60 = 3,125 h.

A veces sale un periódico: 1 h 20 min = 1 + 20/60 = 1 + 1/3 = 1,333… h. En esos casos es mejor dejarlo como fracción, 4/3 h, para no arrastrar errores de redondeo.

Hace falta, por ejemplo, para calcular velocidades. Un autobús recorre 150 km en 1 h 40 min. Como 40 min = 2/3 h, el tiempo es 5/3 h y la velocidad, 150 : 5/3 = 150 · 3/5 = 90 km/h. Si se divide entre 1,40 como si fueran horas decimales, sale un falso 107 km/h.

07Sumar y restar con acarreo

Se colocan horas con horas, minutos con minutos y segundos con segundos, y se opera cada columna. Lo distinto es el acarreo: cada 60 segundos se convierten en 1 minuto, y cada 60 minutos, en 1 hora.

Una tarde de cine en casa: tres películas de 2 h 34 min, 1 h 58 min y 2 h 41 min. Suman 5 h 133 min. Como 133 min = 2 h 13 min, en total son 7 h 13 min. Si empiezas a las 16:30, acabas a las 23:43.

Para restar, si arriba hay menos minutos que abajo, se pide prestada 1 hora, que son 60 minutos. Una excursión sale a las 8:47 y vuelve a las 14:20: como 14 h 20 min = 13 h 80 min, dura 13 h 80 min − 8 h 47 min = 5 h 33 min.

Si por medio está la medianoche, divide en dos tramos. Un vuelo nocturno sale a las 22:35 y aterriza a las 6:10: hasta las 24:00 van 1 h 25 min, y luego 6 h 10 min más. En total, 7 h 35 min.

08Multiplicar una duración por un número

Se multiplica cada unidad por el número y después se hacen los acarreos, empezando por los segundos.

Un capítulo de tu serie dura 42 min 35 s y ves 8 seguidos. 8 · 35 s = 280 s y 8 · 42 min = 336 min. Como 280 s = 4 min 40 s, hay 340 min 40 s. Y 340 min = 5 h 40 min. Total: 5 h 40 min 40 s.

Comprueba a ojo: 8 capítulos de unos 40 min son 320 min, algo más de 5 horas. Cuadra.

09Dividir una duración entre un número

Se divide empezando por la unidad mayor. Lo que sobra no se tira: se pasa a la unidad siguiente multiplicando por 60 y se suma a lo que ya había.

Una ciclista da 5 vueltas a un circuito en 1 h 3 min 45 s. ¿Cuánto tarda de media en cada vuelta? 1 h : 5 no llega a una hora entera, así que la hora se pasa a minutos: 60 + 3 = 63 min. 63 : 5 da 12 min y sobran 3 min, que son 180 s. Con los 45 s, 225 s, y 225 : 5 = 45 s. Cada vuelta: 12 min 45 s.

Comprueba multiplicando: 5 · 12 min 45 s = 60 min 225 s = 63 min 45 s = 1 h 3 min 45 s.

10Ángulos: multiplicar y dividir

Los ángulos siguen las mismas reglas que el tiempo, con grados (°), minutos (′) y segundos (″): 1° = 60′ y 1′ = 60″. Sumar y restar ya lo sabes; multiplicar y dividir funcionan como con las horas.

Multiplicar. Una cámara de vigilancia gira 23°47′15″ en cada barrido. Tras 4 barridos: 92°188′60″. Como 60″ = 1′, son 92°189′, y como 189′ = 3°9′, el total es 95°9′.

Dividir. La bisectriz parte un ángulo de 75°23′ en dos. 75° : 2 da 37° y sobra 1°, que son 60′: con los 23′, 83′. 83′ : 2 da 41′ y sobra 1′, que son 60″, y 60″ : 2 = 30″. Cada mitad mide 37°41′30″.

Aquí se ve por qué hacen falta minutos y segundos. Para dibujar un heptágono regular, la vuelta se parte en 7 ángulos iguales: 360° : 7 da 51° y sobran 3° = 180′; 180′ : 7 da 25′ y sobran 5′ = 300″; 300″ : 7 ≈ 43″. Cada ángulo mide unos 51°25′43″. Con grados enteros no se podría.

11Ángulos con decimales

Calculadoras, mapas y GPS suelen dar los ángulos en grados decimales. Se pasan igual que las horas: la parte decimal por 60 da los minutos, y la que quede, otra vez por 60, los segundos.

Un móvil marca una latitud de 42,36°. 0,36 · 60 = 21,6′, y 0,6 · 60 = 36″. Es decir, 42°21′36″, no 42°36′. Al revés: 15°45′ = 15 + 45/60 = 15,75°.

Las dos formas son correctas: la decimal es más cómoda para la calculadora, y la sexagesimal es la del transportador, los planos y las cartas de navegación.

12Horarios y cronómetros

En los problemas de horarios hay dos tipos de datos: horas del reloj, que marcan un momento, como las 7:48, y duraciones, que miden cuánto pasa, como 3 h 27 min. Un momento más una duración da otro momento; un momento menos otro da una duración. Sumar dos horas del reloj, 7:48 + 9:05, no tiene sentido.

Llegada. Un tren sale a las 7:48 y tarda 3 h 27 min: 7 h 48 min + 3 h 27 min = 10 h 75 min = 11 h 15 min. Llega a las 11:15.

Salida. Quieres llegar a las 9:05 y tardas 35 min: como 9 h 5 min = 8 h 65 min, 8 h 65 min − 35 min = 8 h 30 min. Tienes que salir a las 8:30.

Cronómetro. En un 200 m de natación, una nadadora hace los primeros 100 m en 58,74 s y los segundos en 1 min 3,57 s. Total: 1 min 62,31 s = 2 min 2,31 s. Los segundos llevan decimales, pero al llegar a 60 se pasan a minutos.

13Husos horarios

La Tierra da una vuelta, 360°, en 24 horas. Así que gira 360° : 24 = 15° cada hora, y 1° cada 4 minutos. Por eso el planeta se reparte en 24 husos horarios de unos 15° de ancho, y cada uno va, en principio, una hora por delante del que tiene al oeste.

En la práctica, las fronteras se adaptan a los países. La España peninsular va una hora por delante de Canarias y, casi todo el año, seis horas por delante de Nueva York.

Un vuelo sale de Madrid a las 12:30 y dura 8 h 15 min. Con la hora de Madrid, aterriza a las 20:45. Pero en Nueva York son 6 horas menos: llegas a las 14:45 de allí, a tiempo para comer. Viajando hacia el este pasa lo contrario: el reloj se adelanta y el día se hace más corto.

14Monedas y cambio de divisas

El dinero, en cambio, sí es decimal: 1 € = 100 céntimos, y 2,35 € son 2 € y 35 céntimos. Las monedas de otros países se llaman divisas, y el tipo de cambio dice cuántas unidades de otra moneda da un euro. Cambia cada día.

Vuelves de un viaje a Japón con 6 400 yenes. Si 1 € = 160 yenes, son 6 400 : 160 = 40 €. Al pasar de yenes a euros se divide, y el número tiene que bajar mucho, porque un yen vale muy poco. Si la casa de cambio cobra 2 € de comisión, te dan 38 €.

15Para recordar

• Sexagesimal: 1 h = 60 min = 3 600 s y 1° = 60′ = 3 600″. Viene de Babilonia y dura porque 60 tiene 12 divisores.
• Día = 24 h, semana = 7 días, año = 365 o 366 días. Por debajo del segundo, decimales.
• Compleja → incompleja: multiplicar por 60 o por 3 600. Incompleja → compleja: dividir entre 60 dos veces.
• Decimal → compleja: la parte decimal, por 60. 2,4 h = 2 h 24 min, no 2 h 40 min.
• Sumar y multiplicar: cada unidad por separado y cada 60 pasa a la unidad mayor. Restar: pedir prestado 60. Dividir: el resto pasa a la unidad menor.
• Momento + duración = momento. Momento − momento = duración. Dos horas del reloj no se suman.
• La Tierra gira 15° por hora: cada huso horario es, más o menos, una hora.
• El dinero sí es decimal: 1 € = 100 céntimos. De divisa a euros se divide entre el tipo de cambio.