Media, mediana, moda y dispersión

01Misma media, clases distintas

En el examen de Ciencias, 2.º A y 2.º B sacan la misma nota media: un 6. Dicho así, parecen dos clases iguales. Pero las notas de 2.º A son 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 y 7, y las de 2.º B son 2, 2, 3, 3, 4, 8, 9, 9, 10 y 10.

En 2.º A aprueban todos y nadie destaca. En 2.º B suspende la mitad y la otra mitad saca notable o sobresaliente. Un profesor que solo mire la media pensará que las dos clases necesitan lo mismo, y se equivocará.

Hace falta un segundo número que diga cuánto se separan los datos del centro. A esa separación se le llama dispersión. En este tema se calculan las medidas de centro con tablas y con intervalos, y se aprende a medir la dispersión.

02Las tres medidas de centro

Las medidas de centralización resumen un conjunto de datos en un solo valor. Ya las conoces de 1.º. Media: se suman todos los datos y se divide entre cuántos hay. Mediana: se ordenan los datos y se toma el que queda en el centro, o la media de los dos centrales si hay un número par. Moda: el valor que más se repite.

Con 2.º B: la media es 60 : 10 = 6. Con 10 datos ordenados, los centrales son el 5.º y el 6.º, 4 y 8, así que la mediana es (4 + 8) : 2 = 6. Media y mediana valen 6, y nadie en 2.º B ha sacado un 6. En cuanto a la moda, el 2, el 3, el 9 y el 10 aparecen dos veces cada uno: hay cuatro modas y ninguna dice gran cosa.

03La media a partir de una tabla

Cuando muchos datos se repiten, se ordenan en una tabla de frecuencias. El equipo de fútbol sala del barrio ha jugado 20 partidos esta temporada. Marcó 0 goles en 4 partidos, 1 gol en 7, 2 goles en 6, 3 goles en 2 y 5 goles en 1.

No hace falta escribir siete veces el 1: si aparece 7 veces, aporta 1 · 7. Se multiplica cada valor por su frecuencia, se suman los productos y se divide entre el número total de datos, N: (0 · 4 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 2 + 5 · 1) : 20 = (0 + 7 + 12 + 6 + 5) : 20 = 30 : 20 = 1,5 goles por partido.

El error típico es promediar los valores de la tabla sin mirar cuántas veces sale cada uno: (0 + 1 + 2 + 3 + 5) : 5 = 2,2. Ese cálculo da al único partido de 5 goles el mismo peso que a los 7 partidos de 1 gol, y se inventa 0,7 goles más por partido. Por eso esta media se llama ponderada: cada valor pesa según su frecuencia.

04Cuando unos datos pesan más

A veces los pesos no son frecuencias, sino que los decide alguien. En muchos institutos el examen cuenta un 70 % de la nota y el trabajo de clase un 30 %. Lucía saca un 4 en el examen y un 9 en el trabajo. La media sin pesos sería (4 + 9) : 2 = 6,5. Con pesos: 0,7 · 4 + 0,3 · 9 = 2,8 + 2,7 = 5,5. Aprueba, pero con un punto menos de lo que creía.

Otro tropiezo frecuente es hacer la media de dos medias. En un club de natación, un grupo de 10 nadadores hace de media 8 largos por entrenamiento y otro de 20 hace 5. La media del club no es (8 + 5) : 2 = 6,5. El primer grupo suma 10 · 8 = 80 largos y el segundo 20 · 5 = 100, así que la media del club es 180 : 30 = 6 largos. El grupo grande pesa el doble.

05La mediana con frecuencias acumuladas

En una tabla los datos ya están ordenados por filas, así que no hace falta escribirlos uno a uno. Basta con saber qué posición ocupa el centro y buscarla con las frecuencias acumuladas, que dicen cuántos datos hay hasta cada valor.

En los goles, N = 20 y las acumuladas son 4, 11, 17, 19 y 20. Los datos 1.º a 4.º son ceros, del 5.º al 11.º son unos, del 12.º al 17.º son doses, y así sigue. Como N es par, el centro está entre los datos 10.º y 11.º, y los dos valen 1: la mediana es 1 gol.

A veces los dos datos centrales caen en valores distintos. Dieciséis alumnos apuntan cuántas horas durmieron la noche antes de un examen: 6 h, 3 alumnos; 7 h, 5 alumnos; 8 h, 6 alumnos; 9 h, 2 alumnos. Las acumuladas son 3, 8, 14 y 16. El 8.º dato es el último 7 y el 9.º es el primer 8, así que la mediana es (7 + 8) : 2 = 7,5 h.

Con N impar la cuenta es más corta: el dato central ocupa la posición (N + 1) : 2. Con 25 datos, el 13.º.

06La moda, también con palabras

La moda es la única medida de centro que funciona con variables cualitativas. 2.º C vota el destino de la excursión de fin de curso: parque de atracciones, 11 votos; playa, 9; nieve, 6; museo de ciencia, 2. La moda es «parque de atracciones». No existe una media de destinos ni una mediana, porque los destinos no se suman ni se ordenan.

La moda es el valor, no su frecuencia. Y puede haber más de una: si dos valores empatan en lo más alto, la distribución es bimodal. Con datos agrupados en intervalos se habla de intervalo modal, el que tiene más datos.

07Qué medida elegir

Una empresa pequeña tiene 10 personas en plantilla. Nueve cobran 1 400 € al mes y la dueña cobra 12 000 €. La media es (9 · 1 400 + 12 000) : 10 = 24 600 : 10 = 2 460 €. Un anuncio de empleo puede presumir de «sueldo medio de 2 460 €» sin mentir, aunque nueve de cada diez cobran mucho menos. La mediana, 1 400 €, describe mucho mejor lo que cobrarías si entraras.

Con las notas pasa algo parecido. Marcos saca 9, 8, 9 y 9, pero no se presenta a un examen y tiene un 0. Su media es 35 : 5 = 7 y su mediana es 9. Las dos dicen algo cierto: la media recuerda el examen perdido y la mediana, cómo rinde Marcos cuando se presenta.

Regla práctica: si no hay valores atípicos, la media, que aprovecha todos los datos. Si los hay, la mediana. Si la variable es cualitativa, o lo que importa es lo más frecuente, la moda.

08Datos agrupados en intervalos

Si la variable es continua o toma muchos valores distintos, los datos se agrupan en intervalos, también llamados clases. En Educación Física, 25 alumnos hacen salto de longitud sin carrera. Resultados: de 120 a 150 cm, 4 alumnos; de 150 a 180 cm, 9; de 180 a 210 cm, 8; de 210 a 240 cm, 4. Cada intervalo incluye su extremo izquierdo y no el derecho: quien salta justo 180 cm va al tercero.

Al agrupar se pierde el dato exacto: solo se sabe que 9 alumnos saltaron entre 150 y 180 cm. Para calcular la media se supone que todos los de un intervalo están en su punto medio, que se llama marca de clase: (150 + 180) : 2 = 165. Las cuatro marcas son 135, 165, 195 y 225.

Media ≈ (135 · 4 + 165 · 9 + 195 · 8 + 225 · 4) : 25 = (540 + 1 485 + 1 560 + 900) : 25 = 4 485 : 25 = 179,4 cm. El resultado es aproximado, porque las marcas sustituyen a los datos reales.

El intervalo modal es el de 150 a 180 cm, el de más alumnos. Para la mediana, las acumuladas son 4, 13, 21 y 25: el dato central, el 13.º, está en el intervalo de 150 a 180 cm.

09Rango y desviación media

Dos pizzerías prometen traer el pedido en media hora. Pides cinco veces a cada una y apuntas los minutos. Pizzería Norte: 28, 30, 31, 29 y 32. Pizzería Sur: 15, 45, 20, 40 y 30. Las dos tienen media 150 : 5 = 30 min. Pero con la Sur nunca sabes si cenarás pronto o tarde. Las medidas de dispersión ponen un número a esa diferencia.

El rango, o recorrido, es el dato mayor menos el menor. Norte: 32 − 28 = 4 min. Sur: 45 − 15 = 30 min. Es fácil de calcular, pero solo mira dos datos: un único pedido raro lo dispara.

La desviación media usa todos los datos: es la media de las distancias de cada dato a la media, sin signo. Norte: distancias 2, 0, 1, 1 y 2, que suman 6, y 6 : 5 = 1,2 min. Sur: 15, 15, 10, 10 y 0, que suman 50, y 50 : 5 = 10 min. Un pedido de la Sur se aparta, de media, 10 minutos de la media hora; uno de la Norte, poco más de un minuto.

¿Por qué sin signo? Porque las diferencias con signo siempre suman 0: los datos que quedan por debajo de la media compensan exactamente a los que se pasan. En la Norte, −2 + 0 + 1 − 1 + 2 = 0.

10Varianza y desviación típica

La medida de dispersión más usada quita el signo de otra forma: elevando al cuadrado. La varianza es la media de los cuadrados de las diferencias con la media. La desviación típica, que se escribe σ, es la raíz cuadrada de la varianza.

Paso a paso con la Pizzería Norte, de media 30. Diferencias: −2, 0, 1, −1 y 2. Cuadrados: 4, 0, 1, 1 y 4, que suman 10. Varianza = 10 : 5 = 2. Desviación típica: σ = √2 ≈ 1,41 min.

Con la Sur: diferencias −15, 15, −10, 10 y 0. Cuadrados: 225, 225, 100, 100 y 0, que suman 650. Varianza = 650 : 5 = 130. Desviación típica: σ = √130 ≈ 11,4 min.

¿Para qué la raíz? La varianza sale en minutos², una unidad que no significa nada en una pizzería. Al hacer la raíz se vuelve a minutos y el número se puede comparar con los datos. La desviación típica es, más o menos, lo que suele apartarse un pedido de la media: en la Norte, un minuto y medio arriba o abajo; en la Sur, más de 11 minutos. σ pequeña, datos apiñados; σ grande, datos desperdigados.

11Comparar dos conjuntos de datos

Vuelve a las dos clases del principio, las dos con media 6. En 2.º A las diferencias con la media son −1, ocho ceros y 1: los cuadrados suman 2, la varianza es 2 : 10 = 0,2 y σ ≈ 0,45. En 2.º B las diferencias son −4, −4, −3, −3, −2, 2, 3, 3, 4 y 4: los cuadrados suman 108, la varianza es 108 : 10 = 10,8 y σ ≈ 3,29.

Ahora sí se ve la diferencia: en 2.º A las notas se apartan de la media menos de medio punto y en 2.º B más de tres puntos. Para describir un conjunto de datos hacen falta dos números, uno de centro y otro de dispersión. Uno solo cuenta media historia.

Otro caso: dos youtubers tienen de media 14 000 visitas por vídeo. Uno tiene σ = 2 000 y el otro σ = 9 000. El primero es regular: casi todos sus vídeos rondan las 14 000. El segundo alterna vídeos que casi nadie ve con alguno que se hace viral. Una marca que quiera asegurar visitas para su anuncio elegirá al primero.

12Cuartiles: un avance

La mediana parte los datos ordenados en dos mitades. Los cuartiles los parten en cuatro cuartos. Por debajo del primer cuartil, Q₁, queda el 25 % de los datos; por debajo del segundo, Q₂, que es la mediana, el 50 %; y por debajo del tercero, Q₃, el 75 %.

Once amigos cronometran cuántos segundos aguantan haciendo la plancha: 25, 30, 34, 40, 42, 45, 50, 52, 58, 61 y 150. La mediana es el 6.º dato, 45 s. Q₁ es la mediana de la mitad de abajo, 25, 30, 34, 40 y 42: vale 34 s. Q₃ es la mediana de la mitad de arriba, 50, 52, 58, 61 y 150: vale 58 s.

El rango intercuartílico, Q₃ − Q₁ = 58 − 34 = 24 s, mide lo que ocupa la mitad central de los datos. El rango, 150 − 25 = 125 s, se dispara por culpa del amigo que aguanta dos minutos y medio; el intercuartílico ni se entera. Hay varias formas de calcular los cuartiles y con pocos datos pueden dar resultados algo distintos: en cursos siguientes se ven con detalle.

13Leer estadísticas en las noticias

Los medios dan medidas estadísticas a diario, y no siempre con cuidado. Antes de creerte un titular, hazte cuatro preguntas. ¿Es una media o una mediana? ¿Hay valores atípicos que la deformen? ¿Cuántos datos hay y de dónde salen? ¿Se dice algo de la dispersión?

El sueldo es el caso clásico: unos pocos sueldos enormes suben la media, así que en un país el sueldo medio suele quedar por encima del mediano, y la mayoría de la gente cobra menos que la media. Si un titular habla del «sueldo medio», conviene buscar también la mediana.

Una media sin dispersión también engaña. Hay un viejo chiste de estadísticos: uno se ahogó cruzando un río cuya profundidad media era de 1 m. La media no avisaba de la poza de 3 m que había en el centro.

14Problemas resueltos

¿Qué nota necesito? Nerea lleva 6, 8, 5 y 7 en cuatro exámenes y quiere terminar con media 7 tras el quinto. Para que cinco notas tengan media 7 tienen que sumar 5 · 7 = 35. Ya suma 6 + 8 + 5 + 7 = 26, así que necesita un 35 − 26 = 9.

Subir un punto a todos. El profesor sube 1 punto a todos los de 2.º A. La media pasa de 6 a 7, pero la desviación típica no cambia: todas las notas se mueven juntas y cada una sigue a la misma distancia de la media. Sigue siendo σ ≈ 0,45.

Una tabla completa. Una zapatería apunta las tallas vendidas en una mañana: talla 37, 3 pares; talla 38, 5; talla 39, 8; talla 40, 4. N = 20. Media = (37 · 3 + 38 · 5 + 39 · 8 + 40 · 4) : 20 = (111 + 190 + 312 + 160) : 20 = 773 : 20 = 38,65. Las acumuladas son 3, 8, 16 y 20: los datos 10.º y 11.º son 39, así que la mediana es 39. La moda también es 39. Para el próximo pedido, a la tienda le sirve la moda: no existe la talla 38,65.

15Para recordar

• Media con tabla: suma de valor · frecuencia, dividida entre N. No promedies los valores sin pesarlos.
• Mediana con tabla: busca la posición central con las frecuencias acumuladas. Con N par, media de los dos datos centrales.
• Moda: el valor más frecuente, no su frecuencia. Es la única que sirve con variables cualitativas.
• Con valores atípicos, mejor la mediana. Con intervalos, se usa la marca de clase y el resultado es aproximado.
• Rango = mayor − menor. Desviación media: media de las distancias a la media, sin signo.
• Varianza: media de los cuadrados de las diferencias con la media. Desviación típica: σ = √varianza, en las unidades de los datos.
• Para describir unos datos, un número de centro y otro de dispersión.