Mates en AcciónCoordenadas, tablas y gráficas
Las coordenadas (x, y) sitúan un punto del plano respecto a dos ejes. Una gráfica reúne esos puntos para ver cómo cambia una magnitud según otra.
Ejes y coordenadas de un punto, cuadrantes, tablas de valores, cuándo unir los puntos, cómo leer una gráfica y la función de proporcionalidad y = k · x.
01Dos datos para encontrar un sitio
En el cine, tu entrada dice «fila 9, butaca 14». Con un solo número no encontrarías el asiento. En hundir la flota disparas a «D7»: una letra para la columna y un número para la fila.
Para localizar algo en una superficie hacen falta dos datos, y además hay que saber cuál es cuál: la fila 14, butaca 9 es otro asiento. Las matemáticas hacen lo mismo con dos rectas numéricas, y así cualquier punto queda nombrado con dos números.
02Los ejes de coordenadas
Unos ejes de coordenadas son dos rectas numéricas que se cortan en ángulo recto justo en sus ceros. El punto donde se cortan se llama origen y se escribe O.
El eje horizontal es el eje de abscisas o eje X: positivos a la derecha y negativos a la izquierda, como en la recta de los enteros. El eje vertical es el eje de ordenadas o eje Y: positivos hacia arriba y negativos hacia abajo.
Para no confundirlos: la a de abscisas va antes que la o de ordenadas en el abecedario, igual que la x va antes que la y. Estos ejes se llaman cartesianos por René Descartes, el filósofo francés del siglo XVII que unió la geometría con los números.
03Coordenadas de un punto
Cada punto del plano se nombra con un par ordenado (x, y). La primera coordenada, x o abscisa, dice cuánto moverse en horizontal desde el origen. La segunda, y u ordenada, cuánto en vertical. Van entre paréntesis, separadas por una coma, y el punto se nombra con una mayúscula: A = (4, 1).
Para dibujar B = (−3, 5), sal del origen, ve 3 unidades a la izquierda y luego sube 5. Para leer las coordenadas de un punto ya dibujado, haz el camino al revés: baja o sube en vertical hasta el eje X y lee la x; ve en horizontal hasta el eje Y y lee la y.
El orden importa. El punto (6, 1) está lejos a la derecha y casi pegado al eje X; el (1, 6) está cerca del eje Y y mucho más arriba. Son puntos distintos, como la fila 9, butaca 14 y la fila 14, butaca 9.
| ✓ | A = (4, 1): 4 a la derecha y 1 arribaprimero el movimiento horizontal, después el vertical |
| ✓ | C = (−2, −4): 2 a la izquierda y 4 abajolos signos negativos indican izquierda y abajo |
| ✗ | (6, 1) = (1, 6)al cambiar el orden se cambia de punto: uno está abajo a la derecha y el otro arriba a la izquierda |
| ✗ | D = (5, −3): 5 arriba y 3 a la derechala primera coordenada es siempre la horizontal: 5 a la derecha y 3 abajo |
04Cuadrantes y signos
Los dos ejes parten el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes. Se numeran del 1.º al 4.º empezando por arriba a la derecha y girando en sentido contrario a las agujas del reloj.
Los signos de las coordenadas dicen en qué cuadrante está un punto sin necesidad de dibujarlo: 1.º (+, +), 2.º (−, +), 3.º (−, −) y 4.º (+, −). Por ejemplo, (7, −2) está en el 4.º: a la derecha y por debajo del eje X.
| ✓ | (−3, 5) en el 2.º cuadrantex negativa e y positiva: arriba a la izquierda |
| ✓ | (5, −3) en el 4.º cuadrantex positiva e y negativa: abajo a la derecha |
| ✗ | (−2, −4) en el 1.º cuadrantecon los dos signos negativos está en el 3.º, abajo a la izquierda |
| ✗ | (−1, 8) en el 4.º cuadranteel 4.º pide x positiva e y negativa: este punto está en el 2.º |
05Puntos sobre los ejes
Si una de las coordenadas es 0, el punto no está en ningún cuadrante: está encima de un eje. Con x = 0 no te mueves a los lados, así que caes en el eje Y, como (0, 7). Con y = 0 no subes ni bajas y caes en el eje X, como (−5, 0).
El origen es (0, 0): el único punto que está a la vez en los dos ejes.
| ✓ | (0, 7) está en el eje Yx = 0: no hay movimiento horizontal |
| ✓ | (−5, 0) está en el eje Xy = 0: no hay movimiento vertical |
| ✗ | (0, 7) está en el eje Xel 0 de la x obliga a quedarse en el eje vertical |
| ✗ | (0, 0) está en el 1.º cuadranteel origen no está en ningún cuadrante: es el cruce de los ejes |
06Una magnitud que depende de otra
Muchas magnitudes van unidas: los segundos que dura una descarga y los megas que se bajan, las entradas que compras y lo que pagas, los minutos que lleva encendido un horno y su temperatura. Si cambia una, cambia la otra.
La variable independiente es la que eliges o la que avanza sola, como el tiempo, y se coloca en el eje X. La variable dependiente es la que resulta y va en el eje Y. La pregunta clave es ¿qué depende de qué? Lo que pagas depende de las entradas que compras, y no al revés.
Si cada valor de la independiente da un solo valor de la dependiente, la relación es una función.
| ✓ | Minutos cargando → porcentaje de bateríael tiempo es la independiente: va en el eje X |
| ✓ | Entradas compradas → precio totalel precio sale de cuántas entradas compras |
| ✗ | La hora depende de la batería del móviles al revés: la batería cambia con el paso de las horas |
| ✗ | Número de pie → mes del cumpleañosno hay relación: saber uno no dice nada del otro |
07Tablas de valores
Una tabla de valores coloca, en dos filas o en dos columnas, varios valores de la variable independiente y los que les corresponden. Cada pareja de la tabla va junta. En la cabecera se escribe el nombre de cada magnitud y su unidad.
Un archivo se descarga a 5 MB por segundo. Tiempo (s): 0, 1, 2, 4, 10. Descargado (MB): 0, 5, 10, 20, 50. Cada valor de abajo es 5 veces el de arriba.
Si la relación viene dada por una fórmula, se sustituye cada valor. Con y = 3 · x − 2 y x = 1, 2, 3, 4 salen y = 1, 4, 7, 10: por ejemplo, con x = 4, y = 3 · 4 − 2 = 10.
| ✓ | 4 s → 20 MB4 · 5 = 20 |
| ✗ | 10 s → 15 MBse ha sumado 10 + 5: hay que multiplicar, 10 · 5 = 50 MB |
08De la tabla a la gráfica
Cada pareja de la tabla es un punto. En la descarga, la pareja «4 s y 20 MB» es el punto (4, 20).
Pasos: pon la variable independiente en el eje X y la dependiente en el eje Y. Elige una escala para cada eje, que no tiene por qué ser la misma: un cuadrito puede valer 1 s en el eje X y 5 MB en el eje Y. Escribe junto a cada eje la magnitud y su unidad. Por último, marca los puntos.
Si las dos magnitudes nunca son negativas, como el tiempo, el peso o el precio, basta con dibujar el 1.er cuadrante.
| ✓ | Una escala distinta en cada ejevale, siempre que dentro de cada eje las marcas vayan a saltos iguales |
| ✗ | Las marcas 0, 1, 2, 4, 10 a la misma distanciala escala se deforma: del 4 al 10 hay seis unidades, no una |
| ✗ | Ejes sin nombre ni unidadesnadie sabe si el 20 son megas, euros o grados |
09¿Unir los puntos o no?
Si entre dos valores de la tabla tienen sentido los valores intermedios, los puntos se unen con una línea. En la descarga, a los 2,5 s también se han bajado megas: 12,5 MB. El tiempo, la distancia o la temperatura son magnitudes continuas.
Si solo valen ciertos números, los puntos se dejan sueltos. Las entradas de un concierto cuestan 15 € cada una: 1 entrada, 15 €; 2, 30 €; 3, 45 €. No existe media entrada, así que no se une nada. Las entradas son una magnitud discreta: se cuentan de una en una.
| ✓ | Unir los puntos de minutos y temperatura del hornoel tiempo y la temperatura pasan por todos los valores intermedios |
| ✓ | Dejar sueltos los puntos de entradas y preciono se pueden comprar 2,5 entradas |
| ✗ | Unir los puntos de entradas y preciola línea diría que existe media entrada a 7,50 € |
| ✗ | Unir los puntos de altura y número de hermanos de cinco alumnoscada punto es una persona distinta: entre dos personas no hay nada |
10Leer e interpretar una gráfica
Imagina la gráfica de la batería de un móvil a lo largo de un día. A las 7 h está al 100 %. Baja poco a poco hasta el 40 % a las 14 h. Se enchufa y a las 15 h ya está al 90 %. De 15 h a 17 h se queda en el 90 % porque está apagado. Después vuelve a bajar hasta el 15 % a las 23 h.
Una gráfica crece donde la línea sube al avanzar hacia la derecha (de 14 h a 15 h), decrece donde baja (de 7 h a 14 h y de 17 h a 23 h) y es constante donde es horizontal (de 15 h a 17 h). El máximo es el punto más alto, (7, 100). El mínimo, el más bajo, (23, 15). A las 14 h hay un mínimo solo de esa zona: justo antes y justo después la batería está más alta.
La inclinación dice la rapidez: cargando sube 50 puntos en una hora; por la mañana baja 60 puntos en siete horas, menos de 9 por hora. Para leer un valor, sube desde la hora en el eje X hasta la línea y mira a la izquierda en el eje Y.
| ✓ | De 15 h a 17 h es constanteel tramo es horizontal: ni sube ni baja |
| ✓ | El mínimo es un 15 % a las 23 hes el punto más bajo de toda la gráfica |
| ✗ | Si la línea está alta, crececrecer es subir al ir hacia la derecha: a las 17 h está alta y a partir de ahí decrece |
| ✗ | El máximo es a las 100 hse han cambiado los ejes: 100 es el valor (eje Y) y las 7 h, el momento (eje X) |
11Gráficas de situaciones reales
Nora va en bici al embalse, a 8 km de casa. Los primeros 3 km son llanos y los hace en 10 min. Luego viene una cuesta y tarda 15 min en subir 2 km más. Para 5 min a beber en una fuente. Los últimos 3 km son de bajada y los hace en 5 min.
Con el tiempo en el eje X y la distancia a casa en el eje Y, la gráfica une (0, 0), (10, 3), (25, 5), (30, 5) y (35, 8). El tramo más empinado es la bajada: 3 km en 5 min. El más tumbado, la cuesta: 2 km en 15 min. Y la parada es un tramo horizontal: el tiempo corre, pero la distancia no cambia.
Otro caso: se enciende un horno, que está a 20 °C como la cocina, y se programa a 180 °C. Tarda 10 min en llegar. El termostato lo mantiene a 180 °C los 35 min que tarda en hacerse un bizcocho. Al apagarlo se enfría: media hora después marca 70 °C. La gráfica sube de (0, 20) a (10, 180), sigue horizontal hasta (45, 180) y baja en curva hasta (75, 70): al principio se enfría deprisa y luego cada vez más despacio.
| ✓ | La bajada de Nora es el tramo más empinadorecorre más kilómetros en menos minutos |
| ✗ | La parada de Nora es un tramo verticalvertical sería cambiar de sitio sin que pase el tiempo; parar es horizontal |
| ✗ | La gráfica del horno empieza en 0 °Cempieza a la temperatura de la cocina, 20 °C |
12¿Qué gráfica cuenta la historia?
Abres el grifo y la bañera se llena durante 12 min hasta que el agua llega a 30 cm. Cierras el grifo y te metes: el nivel sube en unos segundos hasta 36 cm. Te bañas 20 min. Quitas el tapón y se vacía en 8 min.
Tres gráficas del nivel del agua frente al tiempo. Gráfica A: sube, sigue horizontal y baja hasta 0. Gráfica B: sube, da un pequeño salto casi vertical hacia arriba, sigue horizontal y baja hasta 0. Gráfica C: sube, da un salto hacia abajo, sigue horizontal y baja.
La buena es la B. Para decidir, recorre la historia tramo a tramo y pregúntate en cada uno si el nivel sube, baja o se queda igual, y si lo hace deprisa o despacio.
| ✓ | Gráfica Btiene los cuatro tramos: llenado, salto al meterte, baño y vaciado |
| ✗ | Gráfica Aolvida que al meterte en la bañera el agua sube |
| ✗ | Gráfica Cal meterte el agua no baja: tu cuerpo ocupa sitio y la empuja hacia arriba |
| ✗ | Una gráfica con un tramo que vuelve hacia la izquierdael tiempo no va hacia atrás: a cada instante le corresponde un único nivel |
13La función lineal y = k · x
En la descarga, los megas son siempre 5 veces los segundos: y = 5 · x. Cuando dos magnitudes son directamente proporcionales, el cociente y : x es siempre el mismo número k, la constante de proporcionalidad, y la relación se escribe y = k · x. Se llama función lineal.
Una impresora 3D gasta 4 g de plástico por minuto. Con x = 1, 3, 5, 10 minutos salen y = 4, 12, 20, 40 g. Como 12 : 3 = 20 : 5 = 40 : 10 = 4, la fórmula es y = 4 · x.
Su gráfica es siempre una recta que pasa por el origen, porque con x = 0 sale y = 0. Cuanto mayor es k, más empinada es la recta: y = 5 · x sube más deprisa que y = 4 · x. Si k es negativo, la recta baja: y = −4 · x pasa por (1, −4) y por (−1, 4).
| ✓ | y = 4 · xrecta que pasa por el origen: con x = 0, y = 0 |
| ✗ | y = 4 · x + 6es una recta, pero con x = 0 da y = 6: no pasa por el origen |
| ✗ | Una vela de 20 cm que se acorta 2 cm cada hora: y = 20 − 2 · xla recta corta el eje Y en 20 y baja: no es proporcional |
| ✗ | La altura de una pelota lanzada hacia arribasube y luego baja: su gráfica es una curva, no una recta |
| ✗ | x: 1, 2, 4 → y: 3, 6, 103 : 1 = 3 y 6 : 2 = 3, pero 10 : 4 = 2,5: el cociente no es fijo |
14Resolver problemas con gráficas
Un club alquila kayaks con dos tarifas. Tarifa A: 5 € por hora. Tarifa B: 8 € al llegar y 3 € por hora. ¿Cuál conviene?
Haz una tabla. Horas: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tarifa A: 5, 10, 15, 20, 25, 30 €. Tarifa B: 11, 14, 17, 20, 23, 26 €. Dibuja las dos en los mismos ejes, con las horas en el eje X y el precio en el eje Y. La A es y = 5 · x, una recta que sale del origen. La B empieza en 8 € y sube más despacio.
Las rectas se cortan en (4, 20): con 4 horas, las dos cuestan 20 €. Antes de ese punto la A va por debajo y después, la B. Respuesta: para 2 horas conviene la A (10 € frente a 14 €), y para pasar el día, 6 horas, la B (26 € frente a 30 €).
| ✓ | Para 6 horas, la tarifa Bsu recta va por debajo a partir de las 4 horas: 26 € frente a 30 € |
| ✗ | Siempre la A, porque 5 € es menos que 8 €comparar un solo dato engaña: hay que comparar el precio total de cada caso |
15Para recordar
- Ejes: el X (abscisas) es horizontal y el Y (ordenadas), vertical. Se cortan en el origen, (0, 0).
- Un punto es (x, y): primero la horizontal y luego la vertical. (6, 1) ≠ (1, 6).
- Cuadrantes: 1.º (+, +), 2.º (−, +), 3.º (−, −), 4.º (+, −). Con una coordenada 0, el punto está en un eje.
- La variable independiente va en el eje X y la dependiente en el eje Y, cada una con su unidad.
- Se unen los puntos si hay valores intermedios (continuas). Si no, se dejan sueltos (discretas).
- Sube: crece. Baja: decrece. Horizontal: constante. El punto más alto es el máximo y el más bajo, el mínimo.
- Proporcionalidad directa: y = k · x, una recta que pasa por el origen.
Preguntas frecuentes
¿Qué son las coordenadas de un punto?
Son dos números escritos en orden, (x, y): x dice cuánto moverse en horizontal desde el origen e y cuánto en vertical. El punto (4, 1) está 4 a la derecha y 1 arriba.
¿Qué va primero, la x o la y?
Siempre la x, la del eje horizontal, y después la y, la del vertical. Cambiar el orden da otro punto: (6, 1) y (1, 6) no son el mismo.
¿En qué cuadrante está el punto (−3, 5)?
En el segundo: x negativa lo lleva a la izquierda e y positiva, hacia arriba. Los signos del 2.º cuadrante son (−, +).
¿El origen pertenece a algún cuadrante?
No. El origen (0, 0) y cualquier punto con una coordenada igual a 0 están sobre los ejes, que son la frontera entre cuadrantes.
¿Qué es la variable independiente?
La que eliges o avanza sola, como el tiempo, y se dibuja en el eje X. La dependiente es la que resulta de ella y va en el eje Y.
¿Cuándo se unen los puntos de una gráfica?
Cuando tienen sentido los valores intermedios, como en el tiempo o la temperatura. Si solo valen números sueltos, como personas o entradas, los puntos se dejan sin unir.
¿Qué significa un tramo horizontal en una gráfica?
Que la magnitud del eje Y no cambia mientras pasa la del eje X. En una gráfica de distancia y tiempo, quiere decir que estás parado.
¿Cómo sé si una gráfica es de proporcionalidad directa?
Si es una recta que pasa por el origen. Su fórmula es y = k · x, y al dividir cada y entre su x sale siempre el mismo número k.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: