Experimentos compuestos y probabilidad

01Un examen a ciegas

Examen sorpresa tipo test: tres preguntas con cuatro opciones cada una, y no has abierto el libro. Contestas al azar. ¿Qué probabilidad hay de acertar las tres? ¿Y de acertar al menos una?

Mucha gente responde «1/4» a lo primero, porque cada pregunta tiene una opción buena de cuatro, y «3/4» a lo segundo, sumando 1/4 tres veces. Las dos respuestas están mal.

El examen no es un experimento simple, sino tres seguidos. En este tema verás cómo se cuentan los casos cuando un experimento tiene varios pasos, cuándo se suman probabilidades y cuándo se multiplican. Más abajo, el examen tendrá su respuesta.

02Laplace y su letra pequeña

Repaso de 1.º: si todos los resultados de un experimento son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad, entonces P(A) = casos favorables / casos posibles. En una ruleta de 8 sectores iguales numerados del 1 al 8, P(múltiplo de 3) = 2/8 = 1/4, por el 3 y el 6.

La letra pequeña es la palabra equiprobables. Si los casos no tienen todos la misma probabilidad, la fórmula da un número, pero un número falso. Que haya dos resultados posibles no significa que cada uno tenga probabilidad 1/2.

03Experimentos compuestos

Un experimento es compuesto cuando está formado por dos o más experimentos simples, hechos a la vez o uno detrás de otro: lanzar dos dados, contestar al azar tres preguntas, sacar dos caramelos de una bolsa. Cada resultado del compuesto es una lista ordenada con un resultado de cada paso.

Si el primer paso tiene m resultados y el segundo n, el compuesto tiene m · n resultados. Un dado y una moneda dan 6 · 2 = 12. El examen de tres preguntas con cuatro opciones se puede contestar de 4 · 4 · 4 = 64 formas.

04Tablas de doble entrada

Con dos pasos, una tabla de doble entrada muestra todo el espacio muestral de un vistazo: el primer paso en las filas, el segundo en las columnas, y cada casilla es un resultado. Inés y Dani juegan a piedra, papel o tijera eligiendo cada uno al azar. La tabla tiene 3 · 3 = 9 casillas igual de probables.

En la diagonal están los empates: piedra con piedra, papel con papel, tijera con tijera. Son 3 de 9, así que P(empate) = 3/9 = 1/3. De las otras 6 casillas, en 3 gana Inés y en 3 gana Dani: P(gana Inés) = 3/9 = 1/3. El juego es justo, siempre que nadie tenga manías.

La tabla obliga a distinguir el orden: «Inés piedra, Dani papel» e «Inés papel, Dani piedra» son casillas distintas, y en cada una gana una persona diferente.

05Diagramas de árbol

Con más de dos pasos, la tabla no basta y se usa un árbol. Del punto de partida salen tantas ramas como resultados tenga el primer paso; del final de cada rama, tantas como tenga el segundo, y así sucesivamente. Cada camino completo, de la raíz a una punta, es un resultado del experimento compuesto.

De camino al instituto pasas por tres semáforos que no están coordinados. Supón que cada uno puede estar en verde, V, o en rojo, R, con la misma probabilidad. El árbol tiene 2 · 2 · 2 = 8 caminos: VVV, VVR, VRV, VRR, RVV, RVR, RRV y RRR.

Para «exactamente un rojo» hay que buscar todos los caminos con una sola R: VVR, VRV y RVV. Son 3 de 8, así que P = 3/8. «Ningún rojo» es solo VVV: P = 1/8. El árbol evita olvidar caminos y contar dos veces el mismo.

06Por qué el 7 sale más que el 2 o el 12

Al lanzar dos dados y sumar, las sumas van del 2 al 12, pero no son equiprobables. Para verlo, imagina un dado rojo y otro azul: cada resultado es un par ordenado (rojo, azul), y hay 6 · 6 = 36 pares igual de probables.

El 2 solo sale con (1, 1) y el 12 solo con (6, 6): una forma cada uno. El 7 sale de seis formas, una por cada cara del dado rojo, porque el azul siempre puede completar lo que falta hasta 7. Por eso P(7) = 6/36 = 1/6, seis veces más que P(2) = P(12) = 1/36.

Las demás sumas quedan en medio. El 8 sale con (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) y (6, 2): cinco formas. Fíjate en que (3, 5) y (5, 3) son dos pares distintos, pero el doble (4, 4) es uno solo. Contando todas: las sumas del 2 al 7 tienen 1, 2, 3, 4, 5 y 6 formas, y del 8 al 12 bajan otra vez, 5, 4, 3, 2 y 1. En total, 36.

Los diseñadores de juegos de mesa lo saben. En un juego muy conocido de colonizar una isla tirando dos dados, las casillas del 6 y del 8, las más probables después del 7, van marcadas en rojo, y el 7 hace aparecer al ladrón precisamente porque es la suma que más sale.

07Compatibles e incompatibles: «o» e «y»

Dos sucesos son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez, porque no comparten ningún resultado. Son compatibles si tienen algún resultado en común. Con un dado de 12 caras, de los de juegos de rol, «sacar par» y «sacar múltiplo de 3» son compatibles, porque el 6 y el 12 cumplen las dos cosas. «Sacar menos de 4» y «sacar más de 9» son incompatibles.

Con dos sucesos A y B se forman otros dos. La unión, A ∪ B, que se lee «A o B», ocurre si pasa al menos uno de los dos. La intersección, A ∩ B, que se lee «A y B», ocurre si pasan los dos a la vez. Con A = par = {2, 4, 6, 8, 10, 12} y B = múltiplo de 3 = {3, 6, 9, 12}, la intersección es A ∩ B = {6, 12} y la unión es A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.

Ojo con el «o» de las matemáticas: incluye el caso de los dos a la vez. Si sale 12, ha ocurrido «A o B», aunque hayan ocurrido A y también B. No es el «o» de «¿playa o montaña?», que obliga a elegir.

Dos sucesos contrarios siempre son incompatibles, pero no al revés: «sacar 1» y «sacar 2» son incompatibles y ninguno es el contrario del otro, porque entre los dos no cubren todos los resultados.

08Sumar probabilidades: cuándo sí y cuándo no

Si A y B son incompatibles, P(A o B) = P(A) + P(B). Con el dado de 12: P(menos de 4 o más de 9) = 3/12 + 3/12 = 6/12 = 1/2.

Si son compatibles, sumar sin más cuenta dos veces los resultados comunes. P(par) + P(múltiplo de 3) = 6/12 + 4/12 = 10/12, pero la unión solo tiene 8 resultados: el 6 y el 12 se han contado dos veces. Hay que restar la intersección una vez: P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) = 6/12 + 4/12 − 2/12 = 8/12 = 2/3.

Con una tabla se ve sin fórmulas. En una clase de 30 se pregunta quién juega a videojuegos y quién hace deporte en un club. 9 hacen las dos cosas, 11 solo juegan, 5 solo hacen deporte y 5 ninguna de las dos. Juegan 9 + 11 = 20 y hacen deporte 9 + 5 = 14.

Si eliges a alguien al azar, P(videojuegos o deporte) = (9 + 11 + 5)/30 = 25/30 = 5/6. Sumar 20/30 + 14/30 = 34/30 daría más de 1, porque los 9 que hacen las dos cosas se cuentan dos veces. Al restarlos una vez, 34 − 9 = 25, todo cuadra.

09Multiplicar por las ramas

Cuando los resultados de cada paso no son equiprobables, contar casos ya no sirve. Entonces se escribe en cada rama del árbol su probabilidad, y la probabilidad de un camino completo es el producto de las probabilidades de sus ramas.

Una jugadora mete el 80 % de sus penaltis y lanza dos seguidos. Suponemos que lo que pase en el primero no influye en el segundo. En cada nivel del árbol hay dos ramas: gol, con 0,8, y fallo, con 0,2. Caminos: gol-gol, 0,8 · 0,8 = 0,64; gol-fallo, 0,8 · 0,2 = 0,16; fallo-gol, 0,2 · 0,8 = 0,16; fallo-fallo, 0,2 · 0,2 = 0,04.

Si un suceso tiene varios caminos, se suman sus probabilidades: P(exactamente un gol) = 0,16 + 0,16 = 0,32. Comprobación: 0,64 + 0,16 + 0,16 + 0,04 = 1. Si los caminos no suman 1, el árbol tiene un error.

¿Por qué se multiplica? De cada 100 tandas, en unas 80 entra el primer penalti, y de esas 80, en el 80 % entra también el segundo: unas 64. Tomar el 80 % del 80 % es calcular 0,8 · 0,8.

Y el examen del principio: cada pregunta se acierta con probabilidad 1/4, así que P(acertar las tres) = 1/4 · 1/4 · 1/4 = 1/64, poco más del 1,5 %. Muy lejos del 1/4 que parecía.

10Con reemplazamiento o sin él

Una bolsa tiene 8 gominolas: 5 de fresa y 3 de limón. Sacas una sin mirar y luego otra. Importa mucho qué haces con la primera.

Con reemplazamiento, la devuelves a la bolsa antes de sacar la segunda. La bolsa vuelve a estar igual y la segunda extracción no depende de la primera: P(dos de fresa) = 5/8 · 5/8 = 25/64 ≈ 0,39.

Sin reemplazamiento, te la comes. Si la primera era de fresa, quedan 7 gominolas y solo 4 son de fresa, así que la segunda rama cambia: P(dos de fresa) = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14 ≈ 0,36. Lo que sale primero cambia la bolsa para después.

Sin reemplazamiento, P(una de cada sabor) = P(fresa y luego limón) + P(limón y luego fresa) = 5/8 · 3/7 + 3/8 · 5/7 = 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28. Con dos de limón, 3/8 · 2/7 = 6/56, el árbol cuadra: 20/56 + 30/56 + 6/56 = 1.

En la vida real casi todo es sin reemplazamiento: repartir cartas, sortear dos premios sin que le toquen los dos a la misma persona o elegir a los capitanes de dos equipos.

11El truco del contrario: «al menos uno»

Lanzas un dado tres veces. ¿Qué probabilidad hay de sacar al menos un 6? «Al menos uno» incluye sacar uno, dos o tres seises: muchos caminos. Su contrario solo tiene uno: «ningún 6», y es fácil: 5/6 · 5/6 · 5/6 = 125/216. Por tanto, P(al menos un 6) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0,42.

El error típico es sumar: 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2. Esos tres sucesos son compatibles, porque se puede sacar 6 en la primera tirada y también en la segunda, y al sumar esos casos se cuentan varias veces. Se ve que es absurdo con más tiradas: con seis, sumando saldría 6/6 = 1, como si fuera seguro sacar algún 6, y con siete pasaría de 1.

Ahora sí, el examen: P(no acertar ninguna) = 3/4 · 3/4 · 3/4 = 27/64, así que P(acertar al menos una) = 1 − 27/64 = 37/64 ≈ 0,58. No es 3/4: es bastante menos.

El mismo truco explica una sorpresa famosa: en un grupo de 23 personas, la probabilidad de que al menos dos cumplan años el mismo día ya pasa del 50 %. Se calcula con el contrario, «todos en días distintos», multiplicando 365/365 · 364/365 · 363/365… hasta 23 factores.

12Probabilidad experimental y teórica

La probabilidad teórica se calcula razonando: contando casos o multiplicando por las ramas. La experimental se estima repitiendo el experimento muchas veces y calculando la frecuencia relativa. Si el modelo teórico es bueno, las dos se acercan al repetir mucho.

Una clase lanza dos dados 600 veces entre todos. La teoría dice que la suma 7 debería salir alrededor de 600 · 1/6 = 100 veces. Salen 94: frecuencia relativa 94/600 ≈ 0,157, cerca de 1/6 ≈ 0,167. No sale exactamente 100, ni tiene por qué.

A veces no hay teoría posible y solo queda experimentar. ¿Qué probabilidad tiene una botella de agua medio llena de caer de pie al lanzarla dando una vuelta? Nadie la puede calcular contando casos. Si en 200 lanzamientos cae de pie 46 veces, se estima P ≈ 46/200 = 0,23. Y depende de la botella, del agua y de quien lance.

También se puede simular con una hoja de cálculo. La función ALEATORIO.ENTRE, con los extremos 1 y 6, da un número entero al azar entre 1 y 6: copiándola en dos columnas y mil filas se tienen mil tiradas de dos dados en un segundo.

13Errores típicos

La mayoría de los fallos en probabilidad no vienen de las cuentas, sino de contar mal los casos o de usar una regla donde no vale.

El más frecuente: lanzas tres monedas y te preguntan P(2 caras y 1 cruz). Si escribes los resultados como «3 caras, 2 caras, 1 cara, 0 caras» y das 1/4, has supuesto que esos cuatro son equiprobables, y no lo son. Con C para cara y X para cruz, los 8 resultados equiprobables son CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC y XXX. Hay 3 con dos caras: P = 3/8.

14Problemas resueltos

El PIN del móvil. Un PIN tiene 4 cifras y cada una puede ir del 0 al 9: hay 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 PIN posibles. Quien pruebe uno al azar tiene P(acertar) = 1/10 000 = 0,0001. Con tres intentos distintos, 3/10 000: sigue siendo muy improbable.

Dos entradas para un concierto. En una clase de 25 se sortean dos entradas, una detrás de otra, y no le pueden tocar las dos a la misma persona. P(que te toque alguna) = 1 − P(no te toca ninguna) = 1 − 24/25 · 23/24 = 1 − 23/25 = 2/25 = 0,08. Tiene sentido: hay 2 premios para 25 personas.

Dos cajas de bombones. Dani elige al azar una de dos cajas. La caja 1 tiene 3 bombones de chocolate negro y 1 de chocolate blanco; la caja 2 tiene 1 negro y 1 blanco. Después saca un bombón al azar. P(blanco) = 1/2 · 1/4 + 1/2 · 1/2 = 1/8 + 2/8 = 3/8. Ojo: no es 2/6, como si los 6 bombones estuvieran en la misma caja, porque cada bombón de la caja pequeña tiene más posibilidades de salir.

Al menos un 6 con dos dados. P(ningún 6) = 5/6 · 5/6 = 25/36, así que P(al menos un 6) = 1 − 25/36 = 11/36. Se comprueba en la tabla de 36 casillas: la fila del 6 rojo y la columna del 6 azul suman 6 + 6 = 12 casillas, pero el (6, 6) está en las dos, así que son 11.

15Para recordar

• Laplace solo vale con casos equiprobables: P(A) = favorables / posibles.
• Experimento compuesto: varios pasos. N.º de resultados = producto de los resultados de cada paso. Tabla para dos pasos, árbol para más.
• Incompatibles: no pueden pasar a la vez, y P(A o B) = P(A) + P(B). Compatibles: hay que restar P(A y B).
• En un árbol se multiplica a lo largo de cada camino y se suman los caminos de un mismo suceso. Todos los caminos suman 1.
• Sin reemplazamiento, las probabilidades de la segunda extracción cambian.
• P(al menos uno) = 1 − P(ninguno).
• La frecuencia relativa de muchas repeticiones estima la probabilidad y sirve para comprobar el modelo.