Movimientos en el plano

01Las piezas del Tetris

En el Tetris solo puedes hacer dos cosas con una pieza: deslizarla hacia los lados y girarla de 90° en 90°. Por mucho que lo intentes, la pieza en S nunca se convierte en la pieza en Z, aunque sean idénticas en forma y tamaño. Una es el reflejo de la otra en un espejo.

Deslizar, girar y reflejar son los tres movimientos del plano. Cambian una figura de sitio sin deformarla. En este tema verás cómo se describe cada uno con precisión, por qué el reflejo es distinto de los otros dos y cómo se combinan para decorar un suelo o un palacio entero.

02Transformar una figura

Una transformación geométrica es una regla que lleva cada punto del plano a otro, su imagen. Aplicada a una figura, da otra figura, su transformada. Hay tres grandes familias.

Isometrías o movimientos: conservan las distancias y los ángulos. La figura se mueve, pero tiene la misma forma y el mismo tamaño. Semejanzas: conservan los ángulos y la proporción entre las longitudes, pero cambian el tamaño, como las muñecas rusas, cada una igual a la anterior en pequeño. Deformaciones: no conservan ni lo uno ni lo otro, como una foto estirada solo a lo ancho para que llene la pantalla, en la que las caras se ven anchas.

03Directos e inversos

Recorre los vértices de un triángulo en orden A, B, C. Si vas en sentido contrario a las agujas del reloj, después de trasladarlo o girarlo seguirás yendo en ese sentido: la orientación se conserva. Esos movimientos se llaman directos.

Después de una simetría axial, el recorrido A, B, C va al revés, en el sentido de las agujas. La figura es igual pero «dada la vuelta», y no se puede superponer a la original sin levantarla del plano. Es un movimiento inverso.

Por eso en el capó de las ambulancias la palabra AMBULANCIA está escrita al revés: el conductor de delante la lee bien en su retrovisor, que aplica una simetría. Y por eso la cámara delantera del móvil te muestra como en un espejo.

04Vectores

Un vector es una flecha que va de un punto A, su origen, a otro B, su extremo. Tiene tres características: el módulo, que es su longitud; la dirección, que es la de la recta que lo contiene; y el sentido, que indica hacia dónde apunta la flecha.

Sus coordenadas se calculan restando las del origen a las del extremo. De A(−1, 3) a B(5, −5): (5 − (−1), −5 − 3) = (6, −8). Seis a la derecha y ocho hacia abajo.

El módulo sale con Pitágoras: √(6² + 8²) = √100 = 10. El vector (−6, 8) tiene el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario: va de B a A.

El salto del caballo en el ajedrez es un vector: (2, 1), (1, 2), (−2, 1) y otros cinco. Todos tienen el mismo módulo, √5, pero distinta dirección o sentido.

05Traslaciones

Una traslación desplaza todos los puntos de una figura la misma distancia, en la misma dirección y en el mismo sentido. Queda determinada por un vector, el vector de traslación.

Con coordenadas basta sumar. El triángulo de vértices P(−3, 1), Q(0, 4) y R(2, −2), trasladado con el vector (5, −3), pasa a P′(2, −2), Q′(5, 1) y R′(7, −5). Todo el triángulo baja tres y avanza cinco.

Para deshacerla se usa el vector opuesto, (−5, 3). Dos traslaciones seguidas son otra traslación cuyo vector es la suma: (5, −3) seguido de (−2, 6) equivale a (3, 3).

Un ejemplo sorprendente: en una noria, la rueda gira, pero cada cabina, que cuelga siempre derecha, no gira. Entre dos posiciones de una misma cabina hay una traslación.

06Giros

Un giro queda determinado por tres cosas: el centro O, el ángulo y el sentido. Por convenio, el sentido positivo es el contrario a las agujas del reloj. Cada punto se mueve sobre una circunferencia de centro O y conserva su distancia al centro.

Con centro en el origen, un giro de 90° positivo lleva (x, y) a (−y, x). Así, el punto (3, 1) va a (−1, 3); con 180°, a (−3, −1); y con 270°, a (1, −3). Un giro de 360° deja todo como estaba.

Dos giros con el mismo centro equivalen a uno solo cuyo ángulo es la suma: 90° y luego 50° dan 140°. El giro de −90° deshace el de 90°. Los giros son movimientos directos: la figura no se da la vuelta.

En un tiovivo, todos los caballitos giran el mismo ángulo, pero los de fuera recorren más camino, porque están más lejos del centro.

07Simetría central

La simetría central de centro O es un giro de 180° alrededor de O. Cada punto P va a un punto P′ tal que O es el punto medio del segmento PP′.

Respecto del origen, (x, y) pasa a (−x, −y). Respecto de otro centro se puede usar el punto medio. Con centro C(1, 2), el punto P(4, 3) va a P′(−2, 1): el punto medio de P y P′ es ((4 − 2) : 2, (3 + 1) : 2), que es (1, 2). Comprobado.

Una figura tiene centro de simetría si coincide con ella misma al girarla 180°. Las cartas de la baraja de póquer tienen las figuras dibujadas dos veces, una boca abajo, para que se vean igual se cojan como se cojan. La palabra SOS y el número 69 también resisten el giro.

Tienen centro de simetría el círculo, los paralelogramos y los polígonos regulares de un número par de lados. Ningún triángulo lo tiene, ni el pentágono regular.

08Simetría axial

La simetría axial de eje e lleva cada punto P a un punto P′ al otro lado del eje, a la misma distancia y en la perpendicular. El eje es la mediatriz del segmento PP′. Es lo que hace un espejo puesto de canto sobre el papel.

Respecto del eje de ordenadas, (x, y) pasa a (−x, y): el punto (5, −2) va a (−5, −2). Respecto del eje de abscisas, (x, y) pasa a (x, −y): el punto (5, −2) va a (5, 2).

Conserva distancias y ángulos, pero invierte la orientación: es un movimiento inverso. Los puntos del eje se quedan donde están.

09Ejes de simetría de una figura

Una recta es eje de simetría de una figura si, al reflejarla en ella, la figura coincide consigo misma. Al doblar el papel por el eje, las dos mitades encajan.

Un polígono regular tiene tantos ejes como lados: el triángulo equilátero 3, el cuadrado 4, el pentágono regular 5 y el hexágono regular 6. El círculo tiene infinitos, todos sus diámetros. El rectángulo tiene 2, que pasan por los puntos medios de los lados; el rombo, 2, sus diagonales; el trapecio isósceles, 1.

Con letras mayúsculas se hacen juegos. La palabra AMA tiene eje vertical: se lee igual en un espejo puesto al lado. La palabra DECIDO tiene eje horizontal: ponle un espejo debajo y su reflejo dice lo mismo. Los cinco aros olímpicos, sin contar los colores, tienen un único eje, vertical.

10Componer movimientos

Componer es aplicar un movimiento y, a la figura que resulta, otro. El resultado es siempre un movimiento. Dos directos, o dos inversos, dan uno directo; uno directo y uno inverso dan uno inverso.

Dos simetrías de ejes paralelos equivalen a una traslación, perpendicular a los ejes y de longitud el doble de la distancia entre ellos. Con ejes x = 1 y x = 4, el punto (0, 2) va primero a (2, 2) y luego a (6, 2): una traslación de vector (6, 0), y 6 = 2 · 3. Es lo que ves en el ascensor con dos espejos enfrentados: cada dos reflejos, una copia tuya desplazada.

Dos simetrías de ejes que se cortan equivalen a un giro, con centro en el punto de corte y ángulo el doble del que forman los ejes. Con el eje de abscisas y luego el de ordenadas, que forman 90°, el punto (3, 1) va a (3, −1) y luego a (−3, −1): un giro de 180°.

El orden importa. Con los ejes paralelos al revés, primero x = 4 y luego x = 1, el punto (0, 2) acaba en (−6, 2): la traslación sale con el vector opuesto. Y una simetría seguida de una traslación a lo largo del eje da algo nuevo, la simetría con deslizamiento: son tus huellas al andar por la arena, una izquierda y una derecha, cada una reflejada y adelantada respecto a la anterior.

11Lo que no se mueve

Un elemento invariante es un punto o una recta que se transforma en sí mismo. Saber cuáles hay ayuda a reconocer el movimiento.

Traslación: no deja ningún punto quieto, aunque las rectas paralelas al vector se deslizan sobre sí mismas. Giro: solo el centro. Simetría central: el centro y, como rectas, todas las que pasan por él. Simetría axial: todos los puntos del eje y, como rectas, las perpendiculares al eje. El movimiento identidad, quedarse quieto, deja todo invariante.

12Mosaicos

Un mosaico o teselado cubre el plano con piezas que no dejan huecos ni se montan. Para que funcione, los ángulos que se juntan en cada vértice tienen que sumar 360°.

Con un solo tipo de polígono regular solo hay tres posibilidades. Triángulos equiláteros: 6 · 60° = 360°. Cuadrados: 4 · 90° = 360°. Hexágonos regulares: 3 · 120° = 360°. El pentágono regular falla: tres suman 3 · 108° = 324° y dejan un hueco de 36°; cuatro suman 432° y se montan. Desde el heptágono, el ángulo pasa de 120° y ni siquiera caben tres.

Mezclando polígonos hay más: dos octógonos y un cuadrado, 135° + 135° + 90° = 360°, es el suelo clásico de muchas cocinas. También tres triángulos y dos cuadrados, 3 · 60° + 2 · 90° = 360°, o dos dodecágonos y un triángulo, 2 · 150° + 60° = 360°.

Y una sorpresa: cualquier cuadrilátero, aunque sea irregular, tesela el plano. Basta girar copias 180° alrededor de los puntos medios de sus lados; sus cuatro ángulos, que suman 360°, se juntan siempre en cada vértice.

13Frisos, rosetones y arte

Un friso repite un motivo a lo largo de una franja mediante traslaciones, a veces combinadas con simetrías o giros: las ventanillas iguales de un vagón de tren, el estampado de una pulsera o las huellas en la arena. Un rosetón repite un motivo alrededor de un punto mediante giros, y a veces simetrías: un ventilador de tres aspas curvas solo tiene giros de 120°; una margarita idealizada de 12 pétalos tiene giros de 30° y 12 ejes.

La Alhambra de Granada está cubierta de alicatados: piezas de cerámica de colores que repiten un motivo por traslaciones, giros y simetrías hasta llenar paredes enteras. Los matemáticos demostraron en el siglo XIX que solo hay 17 tipos de mosaicos según los movimientos que los dejan iguales, y en sus paredes se han identificado muchos de ellos.

El artista neerlandés M. C. Escher visitó la Alhambra en 1936 y salió obsesionado: deformó cuadrados y hexágonos con traslaciones y giros hasta convertirlos en lagartos, peces y pájaros que encajan sin huecos. Muchos logotipos usan las mismas ideas: tres rombos unidos por una punta forman un logo con giros de 120° y tres ejes.

14Resolver problemas

Un diseñador mueve un logo de modo que el punto A(1, 1) acaba en A′(−3, 4). ¿Qué vector ha usado y dónde acaba B(2, −1)? Vector: (−3 − 1, 4 − 1) = (−4, 3), de módulo √(16 + 9) = 5. B′ = (2 − 4, −1 + 3) = (−2, 2).

El punto P(2, 5) y su simétrico P′(2, −1) tienen la misma abscisa, así que el eje es horizontal. Pasa por el punto medio, (2, 2): es la recta y = 2.

Un punto se gira 90° alrededor del origen y después 270° con el mismo centro. Los ángulos suman 360°: el punto vuelve a su sitio, es la identidad.

¿Se puede alicatar un suelo con hexágonos regulares, cuadrados y triángulos equiláteros juntándolos en un vértice? Un hexágono, dos cuadrados y un triángulo: 120° + 2 · 90° + 60° = 360°. Sí.

15Para recordar

• Isometría o movimiento: conserva forma y tamaño. Semejanza: conserva la forma y cambia el tamaño.
• Directos (traslación y giro): conservan la orientación. Inverso (simetría axial): la invierten.
• Vector de A a B: extremo menos origen; módulo con Pitágoras.
• Traslación: se suma el vector. Giro de 90° con centro el origen: (x, y) pasa a (−y, x).
• Simetría central = giro de 180°: (x, y) pasa a (−x, −y).
• Simetría axial: el eje es la mediatriz de PP′. Polígono regular de n lados: n ejes.
• Dos simetrías: ejes paralelos, traslación; ejes que se cortan, giro.
• Mosaicos regulares: solo triángulos, cuadrados y hexágonos, porque sus ángulos dividen a 360°.