Semejanza y teorema de Tales

01Ampliar sin deformar

Abres una foto en el móvil y la amplías con dos dedos: todo crece a la vez, a lo ancho y a lo alto, y la cara de tu amigo sigue siendo su cara. Ahora haz otra cosa: estira la foto solo a lo ancho para que llene la pantalla. La cara sale chata y ancha. Es la misma foto, pero ya no tiene la misma forma.

La primera copia es semejante a la original y la segunda, no. Saber cuándo dos figuras son semejantes permite cosas que parecen trucos de magia: medir un árbol sin subirse a él, calcular distancias en un mapa o saber cuánta pintura necesita una maqueta.

02Figuras semejantes

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque su tamaño sea distinto. Dicho con precisión: todas las longitudes de una se obtienen multiplicando las de la otra por el mismo número, y los ángulos se mantienen iguales.

La clave está en multiplicar, no en sumar. Una foto de 10 × 15 cm ampliada a 20 × 30 cm es semejante a la original: las dos medidas se han multiplicado por 2. Pero los formatos de revelado de 10 × 15 cm y de 13 × 18 cm no son semejantes: a cada lado se le han sumado 3 cm. Al dividir, 15 : 10 = 1,5 y 18 : 13 ≈ 1,38. La foto de 13 × 18 es menos alargada, y por eso al pasar de un formato a otro la imprenta recorta un trozo.

03La razón de semejanza

El número por el que se multiplican todas las longitudes es la razón de semejanza, k. Se calcula dividiendo una medida de la copia entre la medida que le corresponde en el original: k = copia : original.

Si k > 1, la copia es una ampliación. Si k < 1, es una reducción. Si k = 1, las dos figuras son iguales. Una foto de 10 × 15 cm convertida en un póster de 40 × 60 cm tiene k = 4. Un logotipo de 8 cm reducido a 2 cm para una pegatina tiene k = 2 : 8 = 0,25.

Lados correspondientes son los que ocupan el mismo lugar en las dos figuras: el largo con el largo, el corto con el corto. Dividir el lado largo de una entre el corto de la otra da un número que no significa nada.

04Polígonos semejantes

Dos polígonos son semejantes si cumplen dos condiciones a la vez: sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos correspondientes son iguales. Con una sola no basta.

Un cuadrado de 5 cm y un rombo de 5 cm de lado con ángulos de 60° y 120° tienen los lados proporcionales, con k = 1, pero no los ángulos: el rombo está aplastado. Un cuadrado de 5 cm y un rectángulo de 5 × 9 cm tienen los cuatro ángulos de 90°, pero sus lados no son proporcionales. Ninguna de las dos parejas es semejante.

Por eso todos los cuadrados son semejantes entre sí, igual que todos los triángulos equiláteros o todos los hexágonos regulares. Los rectángulos, no. Una pantalla panorámica 16 : 9 y una tele antigua 4 : 3 tienen formas distintas, y por eso al ver un programa antiguo en una tele moderna salen franjas negras a los lados.

05Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales y los tres lados proporcionales. Con los triángulos hay una ventaja: no hace falta comprobar las seis cosas. Basta con cumplir uno de estos tres criterios.

Primer criterio: dos ángulos iguales. El tercero también lo será, porque los tres suman 180°. Segundo criterio: los tres lados proporcionales, con la misma k. Tercer criterio: dos lados proporcionales y el ángulo que forman entre ellos, igual.

Lo sorprendente es el primero. En un cuadrilátero, tener los ángulos iguales no basta, como pasa con el cuadrado y el rectángulo. En un triángulo, sí: en cuanto fijas dos ángulos, la forma queda decidida y solo puedes cambiar el tamaño.

06Calcular lados que faltan

Si sabes que dos triángulos son semejantes, con una pareja de lados correspondientes sacas k, y con k, todos los demás lados.

Un triángulo tiene lados de 7, 10 y 12 cm. En otro semejante, el lado que corresponde al de 10 cm mide 25 cm. Entonces k = 25 : 10 = 2,5, y los otros dos lados miden 7 · 2,5 = 17,5 cm y 12 · 2,5 = 30 cm.

El perímetro también se multiplica por k. El del pequeño es 7 + 10 + 12 = 29 cm, y el del grande, 29 · 2,5 = 72,5 cm. Compruébalo sumando: 17,5 + 25 + 30 = 72,5 cm.

07Triángulos en posición de Tales

Dos triángulos están en posición de Tales cuando comparten un vértice, sus lados salen por las mismas dos rectas y los lados de enfrente de ese vértice son paralelos. El pequeño queda encajado dentro del grande.

Siempre son semejantes. El ángulo del vértice común es el mismo para los dos, y los ángulos de la base son iguales porque las bases son paralelas. Dos ángulos iguales: primer criterio.

Una rampa sube 1,2 m a lo largo de 8 m de suelo. ¿A qué altura está a 3 m del principio? El triángulo pequeño y el grande comparten el vértice del principio de la rampa, y sus alturas son verticales, así que son paralelas: están en posición de Tales. Por eso altura : 1,2 = 3 : 8, y la altura es 1,2 · 3 : 8 = 0,45 m.

08El teorema de Tales

Si dos rectas cualesquiera se cortan con varias rectas paralelas, los segmentos que quedan en una son proporcionales a los que quedan en la otra.

Imagina dos avenidas que no son paralelas, cortadas por tres calles paralelas entre sí. En la primera avenida, las dos manzanas miden 80 m y 120 m. En la segunda, la primera manzana mide 100 m. ¿Cuánto mide la otra? Por Tales, 80 : 120 = 100 : x, así que x = 120 · 100 : 80 = 150 m.

Es la misma idea que la posición de Tales: si prolongas las dos avenidas hasta que se crucen, aparecen triángulos encajados unos dentro de otros, todos semejantes.

09Medir alturas con sombras

Cuenta la historia que Tales de Mileto calculó la altura de una pirámide de Egipto sin subir a ella, con su sombra. La idea funciona con cualquier cosa alta en un día de sol.

A la misma hora, los rayos de sol llegan paralelos. Tú y un árbol, de pie en vertical, junto con vuestras sombras en el suelo, formáis dos triángulos rectángulos semejantes. Tú mides 1,60 m y tu sombra, 2 m. La sombra del árbol mide 9,5 m. Entonces altura : 9,5 = 1,60 : 2, y el árbol mide 9,5 · 1,60 : 2 = 7,6 m.

Sin sol, vale un espejo. Ponlo en el suelo y retrocede hasta ver en él la punta de una farola. La luz rebota con el mismo ángulo con el que llega, así que vuelven a salir dos triángulos semejantes. Si tus ojos están a 1,5 m del suelo, tú a 2 m del espejo y el espejo a 12 m de la farola: altura = 1,5 · 12 : 2 = 9 m.

10Dividir un segmento en partes iguales

Quieres partir una tira de 10 cm en 3 trozos iguales. Con la regla no puedes, porque 10 : 3 = 3,333… cm. Tales lo resuelve sin dividir.

Desde un extremo A de la tira traza una semirrecta inclinada cualquiera. Marca en ella 3 pasos iguales con el compás, del tamaño que quieras, por ejemplo de 2 cm. Une la última marca con el otro extremo B de la tira. Después, por las otras dos marcas, traza paralelas a esa línea. Donde cortan a la tira, queda partida en 3 trozos iguales.

El truco de la libreta hace lo mismo: coloca la tira inclinada sobre una hoja de rayas, con un extremo sobre una raya y el otro sobre la tercera raya siguiente. Las rayas son paralelas y están a la misma distancia, así que cortan la tira en 3 trozos iguales. Sirve para cualquier número de partes.

11Perímetros, áreas y volúmenes

Si dos figuras son semejantes con razón k, sus perímetros también están en razón k. Pero sus áreas se multiplican por k² y sus volúmenes, por k³: en un área crecen dos medidas a la vez, y en un volumen, tres.

Una tele de 64 pulgadas tiene el doble de diagonal que una de 32, pero cuatro veces más pantalla: k = 2 y k² = 4. Una alfombra de 1,2 × 0,8 m ampliada con k = 1,5 pasa a medir 1,8 × 1,2 m. Su área pasa de 0,96 m² a 2,16 m²: 1,5² = 2,25 veces más.

Con el volumen la sorpresa es mayor. Una figura de chocolate de 10 cm de alto pesa 60 g. La misma figura de 20 cm, el doble de alta, no pesa 120 g, sino 60 · 2³ = 480 g. Por eso no puede existir una hormiga gigante del tamaño de un perro: su peso crecería con k³, y la fuerza de sus patas, que depende de su grosor, solo con k².

12Escalas numéricas y gráficas

Un plano o un mapa es una figura semejante a la realidad, y su escala es la razón de semejanza, casi siempre de reducción. La escala numérica tiene la forma 1 : n. En un mapa 1 : 20 000, 1 cm son 20 000 cm reales, es decir, 200 m.

La escala gráfica es una barra dibujada con la medida real que representa, por ejemplo, una barra de 2,5 cm con la etiqueta «500 m». Para pasarla a numérica: 500 m = 50 000 cm, y 50 000 : 2,5 = 20 000, así que es 1 : 20 000. Su gran ventaja es que, si amplías el mapa en el móvil o lo fotocopias más grande, la barra crece con él y sigue siendo correcta. La escala numérica impresa, no. Por eso los mapas del móvil muestran una barra.

También hay escalas de ampliación, como 5 : 1 en el dibujo de una pieza diminuta de un reloj: 5 cm del dibujo son 1 cm de la pieza.

Las áreas del mapa van con k². En un mapa 1 : 20 000, cada cm² representa un cuadrado de 200 m × 200 m = 40 000 m², es decir, 4 hectáreas. Un parque que ocupa 3 cm² en el mapa mide 12 hectáreas.

13Maquetas

Una maqueta es un modelo semejante en tres dimensiones. Sus escalas suelen ser de reducción: los trenes de modelismo más comunes van a escala 1 : 87, y muchas maquetas de coches, a 1 : 43 o a 1 : 18.

A 1 : 87, un vagón real de 26,1 m mide 26,1 : 87 = 0,3 m, es decir, 30 cm. Una persona de 1,74 m es una figurita de 2 cm.

Para superficies y volúmenes hay que usar k² y k³. En la maqueta de un estadio a escala 1 : 500, el campo de 105 × 68 m queda en 21 × 13,6 cm, y para pintar el césped hace falta 500² = 250 000 veces menos pintura que en el campo real. Si la maqueta de un edificio a escala 1 : 200 ocupa 3 litros, el edificio ocupa 3 · 200³ = 24 000 000 litros, que son 24 000 m³.

14Problemas resueltos

Método: localiza las dos figuras semejantes, empareja los lados correspondientes, calcula k con una pareja conocida y usa k, k² o k³ según te pregunten una longitud, un área o un volumen.

El póster. Una foto de 10 × 15 cm se imprime en un póster de 50 × 75 cm. ¿Cuántas veces más tinta lleva, si la tinta depende de la superficie? k = 50 : 10 = 5, así que el área se multiplica por 5² = 25: de 150 cm² a 3 750 cm². Comprobación: 50 · 75 = 3 750 cm². Lleva 25 veces más tinta, no 5.

Comprobar el método de las sombras. El aro de una canasta de baloncesto está a 3,05 m del suelo. Si un compañero de 1,50 m da una sombra de 1,20 m, la sombra del aro tendría que medir 3,05 · 1,20 : 1,50 = 2,44 m. Mídela y verás que el método funciona.

Gulliver. En la novela Los viajes de Gulliver, los liliputienses son 12 veces más pequeños que él, y le dan cada día 1 728 raciones de comida. No es un número al azar: 12³ = 1 728. El cuerpo de Gulliver tiene 1 728 veces más volumen que el de un liliputiense.

15Para recordar

• Semejantes: misma forma; ángulos iguales y longitudes multiplicadas por el mismo k.
• k = copia : original. Si k > 1, amplía; si k < 1, reduce.
• Polígonos: hacen falta lados proporcionales y ángulos iguales. Triángulos: basta un criterio.
• Criterios: dos ángulos iguales · tres lados proporcionales · dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual.
• Tales: las paralelas que cortan dos rectas dejan en ellas segmentos proporcionales.
• Perímetros por k, áreas por k², volúmenes por k³.
• La escala gráfica sigue valiendo al ampliar o reducir el mapa.