Mates en AcciónPotencias, raíces y notación científica
Un exponente negativo da el inverso: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, así que 2⁻³ = 1/8. La notación científica escribe un número como a · 10ⁿ, con 1 ≤ a < 10.
Potencias de base negativa y fraccionaria, exponente negativo, todas las propiedades, potencias de 10, notación científica para números enormes y diminutos, estimaciones y raíces cuadradas con sus dos signos.
01Lo enorme y lo diminuto
Tu cuerpo tiene unos 37 billones de células: 37 000 000 000 000. Y un glóbulo rojo mide unas 8 millonésimas de metro: 0,000008 m. Escritos así, es muy fácil comerse un cero, y un cero de menos es dividir entre 10.
Con potencias de 10 se escriben sin error y se ve de un vistazo su tamaño: 3,7 · 10¹³ células y 8 · 10⁻⁶ m. Para entender ese exponente negativo hay que repasar las potencias y estirarlas un poco más allá de lo que viste en 1º.
02Base negativa: el exponente decide el signo
Una potencia sigue siendo una multiplicación repetida, aⁿ = a · a · … · a, aunque la base sea negativa. Y ahí manda la regla de los signos: (−10)⁴ = (−10) · (−10) · (−10) · (−10) = 10 000, porque cuatro negativos dan positivo, pero (−10)³ = −1 000, porque tres dan negativo.
Regla: base negativa con exponente par, resultado positivo; con exponente impar, negativo. Así se sabe sin hacer ninguna cuenta que (−1)¹⁰⁰ = 1 y (−1)⁹⁹ = −1.
Ojo con los paréntesis. En (−10)⁴ la base es −10. En −10⁴ la base es solo 10, y el menos se pone después de elevar: −10⁴ = −10 000.
| ✓ | (−10)⁴ = 10 000exponente par: positivo |
| ✓ | (−1)⁹⁹ = −1exponente impar: negativo |
| ✗ | (−10)³ = 1 000tres factores negativos dan negativo: −1 000 |
| ✗ | −10⁴ = 10 000sin paréntesis solo se eleva el 10: −10 000 |
| ✗ | (−6)² = −36(−6) · (−6) = +36 |
03Base fraccionaria y decimal
Para elevar una fracción se elevan el numerador y el denominador: (2/5)³ = 2³/5³ = 8/125. Con decimales hay que contar las cifras decimales: 0,3² = 0,09, porque 3 · 3 = 9 y hacen falta dos decimales.
Aquí aparece algo nuevo: elevar no siempre agranda. Una pelota rebota hasta la mitad de la altura desde la que cae. Si se suelta desde 3,2 m, tras cinco botes sube 3,2 · (1/2)⁵ = 3,2 : 32 = 0,1 m. Con una base entre 0 y 1, cuanto mayor es el exponente, más pequeño es el resultado.
Si la fracción es negativa, la regla de los signos sigue valiendo: (−1/2)⁵ = −1/32.
| ✓ | (2/5)³ = 8/125se elevan los dos términos |
| ✓ | 0,3² = 0,090,3 · 0,3 lleva dos decimales |
| ✗ | (2/5)³ = 6/15se ha multiplicado por el exponente: el exponente repite factores, no multiplica |
| ✗ | 0,3² = 0,90,9 tiene un decimal y 0,3 · 0,3 necesita dos: 0,09 |
| ✗ | (1/2)⁵ es mayor que 1/2con base entre 0 y 1, cada factor más lo hace más pequeño: 1/32 |
04Exponente negativo
Mira las potencias de 2 hacia abajo: 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1. Cada vez que el exponente baja 1, el resultado se divide entre 2. Si se sigue el patrón, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4 y 2⁻³ = 1/8.
Las propiedades dicen lo mismo. 3² : 3⁵ = 9/243 = 1/27 = 1/3³. Pero restando exponentes, 3² : 3⁵ = 3⁻³. Para que las dos cuentas den lo mismo, 3⁻³ tiene que valer 1/3³.
Por eso, para cualquier a distinto de 0, a⁻ⁿ = 1/aⁿ. El exponente negativo no vuelve negativo el resultado: le da la vuelta y lo convierte en su inverso. Con fracciones se ve muy claro: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
| ✓ | 5⁻¹ = 1/5exponente −1: el inverso |
| ✓ | (2/3)⁻² = 9/4se invierte la fracción y se eleva al cuadrado |
| ✓ | (−2)⁻³ = −1/8el signo menos viene de la base: 1/(−2)³ = 1/(−8) |
| ✗ | 2⁻³ = −8el exponente negativo no cambia el signo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 |
| ✗ | 2⁻³ = −6ni cambia el signo ni multiplica la base por el exponente: 1/8 |
| ✗ | 10⁻² = −100es 1/100 = 0,01 |
05Producto, cociente y potencia de potencia
Con la misma base, las tres reglas de 1º siguen igual, y ahora valen también con exponentes negativos y con bases fraccionarias o negativas: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ y (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ.
Con exponentes negativos hay que cuidar los signos. 5⁻² · 5⁶ = 5⁴, porque −2 + 6 = 4. 7⁴ : 7⁻² = 7⁶, porque 4 − (−2) = 6: dividir entre 7⁻² es multiplicar por 7². Y (3⁻²)³ = 3⁻⁶, porque −2 · 3 = −6.
| ✓ | 5⁻² · 5⁶ = 5⁴−2 + 6 = 4 |
| ✓ | 7⁴ : 7⁻² = 7⁶4 − (−2) = 6 |
| ✓ | (3⁻²)³ = 3⁻⁶se multiplican los exponentes |
| ✗ | 7⁴ : 7⁻² = 7²se ha restado mal: 4 − (−2) es 6 |
| ✗ | 5³ · 5⁴ = 25⁷la base no se multiplica, se queda igual: 5⁷ |
| ✗ | (4²)⁵ = 4⁷en la potencia de potencia los exponentes se multiplican: 4¹⁰ |
| ✗ | 3⁴ + 3⁴ = 3⁸las reglas son para multiplicar: 3⁴ + 3⁴ = 2 · 3⁴ = 162 |
06Mismo exponente y simplificar
Si lo que coincide es el exponente, se puede repartir o juntar: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ y (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ. Leída al revés es un atajo de cálculo mental: 4³ · 25³ = (4 · 25)³ = 100³ = 1 000 000, y 12⁵ : 4⁵ = 3⁵ = 243.
Con una suma no funciona: (5 + 1)² = 36, pero 5² + 1² = 26. La potencia se reparte en productos y cocientes, nunca en sumas ni restas.
Para simplificar una expresión, pasa todas las bases al mismo primo y aplica las reglas. 4³ · 2⁻⁵ : 8 = 2⁶ · 2⁻⁵ : 2³ = 2⁶⁻⁵⁻³ = 2⁻² = 1/4. Y (3⁻² · 9²)³ = (3⁻² · 3⁴)³ = (3²)³ = 3⁶ = 729.
| ✓ | 4³ · 25³ = 100³mismo exponente: se multiplican las bases |
| ✓ | (2 · 3)⁻² = 1/366⁻² = 1/6² |
| ✗ | (5 + 1)² = 5² + 1²36 frente a 26: la potencia no se reparte en una suma |
| ✗ | 2³ · 5⁴ = 10⁷no coinciden ni la base ni el exponente: 8 · 625 = 5 000 |
| ✗ | 12⁵ : 4⁵ = 3el exponente se conserva: 3⁵ = 243 |
07Potencias de 10 con exponente negativo
Con base 10, el exponente negativo da números decimales: 10⁻¹ = 1/10 = 0,1, 10⁻² = 0,01, 10⁻³ = 0,001 y 10⁻⁶ = 0,000001, una millonésima. El exponente −n dice en qué lugar decimal está el 1: en 10⁻³, en el tercero, el de las milésimas.
Los prefijos de las unidades son potencias de 10: mili es 10⁻³, micro es 10⁻⁶ y nano es 10⁻⁹. Un milímetro es 10⁻³ m y un nanosegundo, 10⁻⁹ s, la milmillonésima parte de un segundo.
Multiplicar por 10⁻ⁿ es lo mismo que dividir entre 10ⁿ: la coma se mueve n lugares a la izquierda. 52 · 10⁻³ = 0,052.
| ✓ | 10⁻⁴ = 0,0001el 1 en el cuarto lugar decimal |
| ✓ | 1 μm = 10⁻⁶ mmicro: una millonésima |
| ✗ | 10⁻³ = −1 000no es negativo: es 1/1 000 = 0,001 |
| ✗ | 10⁻³ = 0,0001sobra un cero: el 1 va en las milésimas, 0,001 |
| ✗ | 52 · 10⁻³ = 52 000con exponente negativo la coma va a la izquierda: 0,052 |
08Qué es y qué no es notación científica
Un número está en notación científica si se escribe como a · 10ⁿ, con n entero y a un número con una sola cifra, distinta de 0, delante de la coma. Es decir, 1 ≤ a < 10, o lo mismo con signo menos si el número es negativo. El exponente n es el orden de magnitud: dice si hablamos de miles, de millones o de millonésimas.
La ventaja es que se compara de un vistazo: la Tierra tiene unos 4,5 · 10⁹ años, mil veces más que 4,5 · 10⁶, porque el exponente es tres unidades mayor. Las calculadoras lo enseñan como 4.5E9 o 4,5 × 10⁹.
| ✓ | 3,7 · 10¹³una sola cifra, el 3, delante de la coma |
| ✓ | −2,1 · 10⁵también vale para negativos |
| ✓ | 7 · 10⁻⁸el número de delante puede ser un entero de una cifra |
| ✗ | 47 · 10⁶47 tiene dos cifras: se escribe 4,7 · 10⁷ |
| ✗ | 0,8 · 10⁻³no puede empezar por 0: es 8 · 10⁻⁴ |
| ✗ | 10 · 10⁴el número de delante tiene que ser menor que 10: es 1 · 10⁵ = 10⁵ |
| ✗ | 2,3 · 5⁸la base tiene que ser 10 |
09Escribir números muy grandes y muy pequeños
Para un número grande, mueve la coma hacia la izquierda hasta que quede una sola cifra delante y cuenta los saltos: ese es el exponente. En 37 000 000 000 000, la coma salta trece lugares hasta 3,7, así que es 3,7 · 10¹³.
Para uno pequeño, mueve la coma hacia la derecha hasta pasar la primera cifra que no sea 0; el exponente es negativo y vale menos el número de saltos. Un pelo mide unos 0,00008 m de grosor: cinco saltos, 8 · 10⁻⁵ m. Un virus, unos 0,0000001 m: siete saltos, 10⁻⁷ m.
Para comprobarlo, piensa al revés: un exponente positivo da un número mayor o igual que 10; uno negativo, un número menor que 1.
| ✓ | 0,00045 = 4,5 · 10⁻⁴cuatro saltos a la derecha |
| ✓ | 520 000 = 5,2 · 10⁵cinco saltos a la izquierda |
| ✗ | 0,00045 = 4,5 · 10⁻³falta un salto: 4,5 · 10⁻³ es 0,0045 |
| ✗ | 0,00045 = 4,5 · 10⁴un número menor que 1 lleva exponente negativo |
10Operar en notación científica
Para multiplicar, se multiplican los números de delante y se suman los exponentes; para dividir, se dividen y se restan los exponentes. Si al final el número de delante no queda entre 1 y 10, se ajusta.
Si pusieras en fila todos tus glóbulos rojos, unos 2,5 · 10¹³, de 8 · 10⁻⁶ m cada uno, medirían (2,5 · 8) · 10¹³ · 10⁻⁶ = 20 · 10⁷ = 2 · 10⁸ m. Son 200 000 km: cinco vueltas a la Tierra.
¿Cuántos virus caben a lo ancho de un pelo? (8 · 10⁻⁵) : 10⁻⁷ = 8 · 10², porque −5 − (−7) = 2. Caben unos 800.
Para sumar o restar, los exponentes tienen que ser iguales. Si lo son, se suman los números de delante: 3,2 · 10⁶ + 4,5 · 10⁶ = 7,7 · 10⁶. Si no, se pasa uno al exponente del otro: 5 · 10⁶ + 3 · 10⁴ = 500 · 10⁴ + 3 · 10⁴ = 503 · 10⁴ = 5,03 · 10⁶.
| ✓ | (6 · 10⁴) · (5 · 10³) = 3 · 10⁸sale 30 · 10⁷ y, ajustando, 3 · 10⁸ |
| ✗ | (2 · 10³) · (4 · 10⁵) = 8 · 10¹⁵los exponentes se suman, no se multiplican: 8 · 10⁸ |
| ✗ | 3 · 10⁵ + 2 · 10⁵ = 5 · 10¹⁰al sumar, el exponente común se queda: 5 · 10⁵ |
| ✗ | 5 · 10⁶ + 3 · 10⁴ = 8 · 10¹⁰con exponentes distintos hay que igualarlos antes: 5,03 · 10⁶ |
11Órdenes de magnitud y estimaciones
Muchas veces no hace falta el número exacto, sino su tamaño: ¿son miles, millones o miles de millones? Eso lo dice la potencia de 10. Con números redondos y notación científica se puede estimar casi cualquier cosa.
¿Cuántas veces late tu corazón en toda una vida? Unas 70 veces por minuto: 70 · 60 · 24 ≈ 100 000 = 10⁵ latidos al día. Por 365 días, unos 3,7 · 10⁷ al año. En 80 años, unos 3 · 10⁹: tres mil millones de latidos.
Estimar no es inventar: cada paso usa un número razonable, y aunque falles un poco en alguno, el orden de magnitud casi nunca cambia.
| ✓ | Habitantes de España: unos 5 · 10⁷son cerca de 50 millones |
| ✓ | Granos de un paquete de 1 kg de arroz: unos 5 · 10⁴si cada grano pesa unos 0,02 g, 1 000 : 0,02 = 50 000 |
| ✓ | Litros de una piscina olímpica: unos 2,5 · 10⁶50 m · 25 m · 2 m = 2 500 m³, y cada m³ son 1 000 L |
| ✗ | Pelos de tu cabeza: unos 10⁹son del orden de 10⁵, unos 100 000 |
| ✗ | Personas de pie en un campo de fútbol: unas 10⁷mide unos 7 000 m²; a 4 personas por m², unas 3 · 10⁴ |
12Raíces de fracciones y decimales
Repaso rápido: √a = b quiere decir que b² = a, con b positivo o 0. Si a es un cuadrado perfecto, la raíz es exacta; si no, se da la raíz entera o una aproximación decimal.
Con fracciones, se hace la raíz arriba y abajo: √(25/144) = 5/12, porque (5/12)² = 25/144. Con decimales conviene pasar a fracción: √2,25 = √(225/100) = 15/10 = 1,5, y √0,09 = √(9/100) = 0,3.
Una trampa: √0,9 no es 0,3, porque 0,3² = 0,09. Como 0,9 = 90/100 y 90 no es un cuadrado perfecto, la raíz no es exacta: √0,9 ≈ 0,949. Y una sorpresa: entre 0 y 1, la raíz es mayor que el número, √0,09 = 0,3. Justo lo contrario que con las potencias.
Para estimar una raíz que no es exacta, busca los cuadrados más cercanos y afina con decimales. Una habitación cuadrada de 20 m²: como 4² = 16 y 5² = 25, el lado mide entre 4 y 5 m. Como 4,4² = 19,36 y 4,5² = 20,25, entre 4,4 y 4,5. Y como 4,47² = 19,9809 y 4,48² = 20,0704, mide unos 4,47 m.
| ✓ | √(25/144) = 5/12(5/12)² = 25/144 |
| ✓ | √2,25 = 1,51,5² = 2,25 |
| ✗ | √0,9 = 0,30,3² = 0,09: √0,9 ≈ 0,949 |
| ✗ | √(25/144) = 5/144la raíz va arriba y abajo |
| ✗ | la raíz siempre es menor que el númeroentre 0 y 1 es al revés: √0,09 = 0,3 |
13Dos números con el mismo cuadrado
¿Qué número al cuadrado da 225? El 15, porque 15² = 225. Pero también el −15: (−15)² = (−15) · (−15) = 225. La ecuación x² = 225 tiene dos soluciones, x = 15 y x = −15, que se escriben juntas como x = ±15.
El símbolo √, en cambio, indica solo la raíz positiva: √225 = 15, no −15. Si se quieren las dos, se escribe ±√225.
Ningún número al cuadrado da negativo, porque positivo por positivo y negativo por negativo dan positivo. Por eso x² = −4 no tiene solución, y √−4 no existe entre los números que conoces.
| ✓ | x² = 225 → x = 15 o x = −15los dos al cuadrado dan 225 |
| ✓ | √225 = 15el símbolo √ da la raíz positiva |
| ✗ | x² = 225 → solo x = 15falta el −15 |
| ✗ | √225 = −15−15 es solución de x² = 225, pero √225 es solo la positiva |
| ✗ | √−4 = −2(−2)² = 4, no −4: esa raíz no existe |
14Raíz de un producto, pero no de una suma
La raíz se puede repartir en un producto o un cociente: √(a · b) = √a · √b y √(a : b) = √a : √b. Es un atajo para calcular de cabeza: √1 600 = √16 · √100 = 4 · 10 = 40, y √40 000 = √4 · √10 000 = 2 · 100 = 200.
Con sumas y restas no vale: √(144 + 25) = √169 = 13, pero √144 + √25 = 12 + 5 = 17. Y √(169 − 144) = √25 = 5, mientras que 13 − 12 = 1. Esos tres números, 5, 12 y 13, son los lados de un triángulo rectángulo famoso: volverán con el teorema de Pitágoras.
¿Por qué? Porque (√a · √b)² = a · b, y la raíz deshace el cuadrado. En cambio, (√a + √b)² no es a + b: al hacer el cuadrado de una suma aparece un término de más.
| ✓ | √1 600 = 40√16 · √100 = 4 · 10 |
| ✓ | √(9/4) = 3/2también se reparte en un cociente: √9 : √4 |
| ✗ | √(144 + 25) = 12 + 5√169 = 13, no 17 |
| ✗ | √(169 − 144) = 13 − 12√25 = 5, no 1 |
| ✗ | √(1 + 1) = 2√2 ≈ 1,41: ni siquiera es exacta |
15Para recordar
- Base negativa: exponente par, positivo; impar, negativo. (−10)⁴ = 10 000, pero −10⁴ = −10 000.
- Fracción: se elevan los dos términos. Con base entre 0 y 1, la potencia se hace más pequeña.
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ con a ≠ 0: el exponente negativo invierte, no cambia el signo. 2⁻³ = 1/8.
- Misma base: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ y (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ. Mismo exponente: (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ y (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ.
- Nunca con sumas: (a + b)² ≠ a² + b² y √(a + b) ≠ √a + √b.
- 10⁻ⁿ tiene el 1 en el lugar decimal n. Notación científica: a · 10ⁿ con 1 ≤ a < 10.
- Multiplicar o dividir en notación científica: se opera delante y se suman o restan los exponentes. Sumar: primero, el mismo exponente.
- x² = 225 tiene dos soluciones, 15 y −15; √225 es solo la positiva.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale 2⁻³?
Vale 1/8 = 0,125. El exponente negativo no hace negativo el resultado: indica el inverso, 2⁻³ = 1/2³.
¿Por qué un exponente negativo da una fracción?
Porque cada vez que el exponente baja 1 se divide entre la base: 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4. También sale al restar exponentes: 3² : 3⁵ = 9/243 = 1/27, y restando, 3⁻³.
¿Qué signo tiene una potencia de base negativa?
Positivo si el exponente es par y negativo si es impar: (−10)⁴ = 10 000 y (−10)³ = −1 000. Sin paréntesis cambia todo: −10⁴ = −10 000.
¿Qué es la notación científica?
Es escribir un número como a · 10ⁿ, con a mayor o igual que 1 y menor que 10, y n entero: 37 000 000 000 000 = 3,7 · 10¹³ y 0,000008 = 8 · 10⁻⁶.
¿47 · 10⁶ está en notación científica?
No, porque delante de la coma hay dos cifras, 47. Se corrige pasando una al exponente: 47 · 10⁶ = 4,7 · 10⁷.
¿Cómo se multiplican dos números en notación científica?
Se multiplican los números de delante, se suman los exponentes y, si hace falta, se ajusta: (6 · 10⁴) · (5 · 10³) = 30 · 10⁷ = 3 · 10⁸.
¿Cuántas soluciones tiene x² = 225?
Dos: x = 15 y x = −15, porque las dos al cuadrado dan 225. Pero √225 es solo 15: el símbolo √ indica la raíz positiva.
¿Se puede separar la raíz de un producto?
Sí: √(a · b) = √a · √b, como en √1 600 = √16 · √100 = 4 · 10 = 40. Con una suma, no: √(144 + 25) = 13, y no 12 + 5 = 17.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: