Números racionales: fracciones y decimales

01Seis cifras que dan vueltas

Divide 1 entre 7 con la calculadora: 0,142857142857… Ahora 2 entre 7: 0,285714285714… Y 3 entre 7: 0,428571428571… Son las mismas seis cifras, 1, 4, 2, 8, 5 y 7, en el mismo orden, solo que empiezan en otro sitio. No es magia: es lo que pasa siempre que se dividen dos enteros.

Esos decimales que no se acaban, pero se repiten, son tan fracciones como 1/2. En cambio, hay números como √2 o π cuyas cifras no se repiten nunca, por más que calcules: esos no se pueden escribir como fracción. Esta página va de la frontera entre unos y otros, y de cómo se opera con los primeros.

02Qué es un número racional

Un número racional es cualquier número que se puede escribir como una fracción a/b, con a y b enteros y b distinto de 0. El conjunto de todos ellos se escribe ℚ, por «cociente», porque toda fracción es una división.

Ya conoces muchos sin saber que lo eran. Todo entero es racional: −5 = −5/1 y 0 = 0/3. Todo decimal exacto también: 0,125 = 125/1 000 = 1/8. Y los periódicos, aunque no lo parezca: 0,454545… = 5/11.

Los números se van ampliando como cajas, una dentro de otra: los naturales están dentro de los enteros (ℤ) y los enteros, dentro de los racionales. Cada caja nueva resuelve algo que la anterior no podía: con enteros se puede hacer 3 − 8; con racionales, también 3 : 8.

03Qué es racional y qué no

La pregunta es siempre la misma: ¿se puede escribir como un entero partido por otro entero? Si el decimal se acaba o se repite, sí. Si sigue sin repetirse nunca, no.

Los números como √2 o π se llaman irracionales. Los estudiarás con calma más adelante; por ahora basta con saber que existen y que la calculadora solo enseña sus primeras cifras.

04Un número, infinitas fracciones

Un jugador mete 18 de sus 45 tiros libres; una jugadora, 26 de 65. ¿Quién tiene mejor puntería? Simplifica: 18/45 = 2/5, dividiendo entre 9, y 26/65 = 2/5, dividiendo entre 13. Empate: los dos aciertan 2 de cada 5 tiros, un 0,4.

18/45, 26/65, 2/5, 4/10 o 40/100 son fracciones equivalentes: distintas formas de escribir el mismo número racional. Para nombrarlo se elige la más sencilla, la fracción irreducible con el denominador positivo, que se llama representante. Aquí, 2/5.

Para comprobar si dos fracciones son equivalentes se multiplica en cruz: a/b = c/d cuando a · d = b · c. Y el signo se coloca delante: 10/(−25) = −2/5, mientras que (−6)/(−9) = 2/3.

05Por qué el decimal acaba o se repite

Haz a mano 1 : 7. Al ir bajando ceros, los restos salen en este orden: 3, 2, 6, 4, 5 y 1. Con el resto 1 estás otra vez al principio, así que las cifras del cociente, 1, 4, 2, 8, 5 y 7, vuelven a salir en el mismo orden para siempre.

Es inevitable. Al dividir entre 7, el resto solo puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Si sale 0, la división se acaba y el decimal es exacto. Si no, como solo hay seis restos posibles, en seis pasos como mucho alguno se repite, y desde ahí se repite todo. Por eso toda fracción da un decimal exacto o periódico, y si el denominador es b, el periodo tiene como mucho b − 1 cifras.

Y al revés: todo decimal exacto o periódico se puede volver fracción, como verás más abajo. Por eso los racionales son justo los números cuyo decimal se acaba o se repite.

06Exacto, puro o mixto: lo dice el denominador

Hay un truco para saber qué decimal saldrá sin hacer la división. Simplifica la fracción hasta la irreducible y descompón el denominador en factores primos.

Si solo tiene doses y cincos, el decimal es exacto: 7/40 = 0,175, porque 40 = 2³ · 5. Si no tiene ni doses ni cincos, es periódico puro: 4/27 = 0,148148…, porque 27 = 3³. Si tiene doses o cincos y además otros primos, es periódico mixto: 11/30 = 0,3666…, porque 30 = 2 · 3 · 5.

¿Por qué? Un decimal exacto es una fracción con denominador 10, 100, 1 000…, y esos números solo tienen doses y cincos: 1 000 = 2³ · 5³. Si al denominador le faltan doses o cincos, se le añaden: 7/40 = (7 · 25)/(40 · 25) = 175/1 000. Pero si tiene un 3 o un 7, no hay forma de convertirlo en una potencia de 10. Además, el exponente más alto del 2 o del 5 dice cuántas cifras decimales saldrán: 40 = 2³ · 5 da tres.

07De periódico puro a fracción: el truco

Con un decimal exacto basta quitar la coma. Con uno periódico no, porque las cifras no se acaban nunca. El truco es fabricar dos números con la misma cola infinita y restarlos: la cola desaparece.

Sea x = 2,151515… El periodo, 15, tiene dos cifras, así que se multiplica por 100 para correr la coma justo un periodo: 100x = 215,151515… Las dos colas son idénticas. Al restar, 100x − x = 215,1515… − 2,1515… = 213. Es decir, 99x = 213 y x = 213/99 = 71/33.

Se multiplica por 10 si el periodo tiene una cifra, por 100 si tiene dos, por 1 000 si tiene tres: lo justo para que las colas coincidan. De ahí salen los nueves del denominador, porque 100 − 1 = 99. Regla rápida: el numerador es el número sin coma hasta el final del periodo menos la parte entera, 215 − 2, y el denominador lleva tantos nueves como cifras tiene el periodo.

08Periódicos mixtos a fracción

Si antes del periodo hay cifras que no se repiten, el anteperiodo, hay que multiplicar dos veces: una para dejar el anteperiodo delante de la coma y otra para correr además un periodo entero.

Con x = 0,31818…, el anteperiodo es 3 y el periodo, 18. Por 10: 10x = 3,1818… Por 1 000: 1 000x = 318,1818… Las dos colas coinciden, así que al restar queda 1 000x − 10x = 318 − 3, es decir, 990x = 315 y x = 315/990 = 7/22.

Regla rápida: el numerador es el número hasta el final del periodo menos el número hasta antes del periodo, 318 − 3; el denominador, un 9 por cada cifra del periodo seguido de un 0 por cada cifra del anteperiodo, 990. Comprueba siempre dividiendo: 7 : 22 = 0,31818…

09¿0,999… es menor que 1?

Casi todo el mundo diría que sí, que se queda a punto. Aplica el truco: si x = 0,999…, entonces 10x = 9,999… Restando, 9x = 9, así que x = 1. No es un número muy cercano a 1: es el 1 escrito de otra forma.

Hay otra manera de verlo. Entre dos números distintos siempre cabe otro, por ejemplo el que está justo en medio. ¿Qué número hay entre 0,999… y 1? Para colarse entre ellos necesitaría alguna cifra mayor que 9, y no existe. Si no cabe ninguno, es que no son distintos.

Pasa con cualquier decimal acabado en nueves que se repiten: 2,4999… = 2,5. La regla de los mixtos lo confirma: (249 − 24)/90 = 225/90 = 5/2.

10Ordenar racionales y situarlos en la recta

Para comparar racionales escritos de formas distintas, pásalos todos a decimal o todos a fracción con el mismo denominador. Con dos fracciones de denominador positivo también vale multiplicar en cruz.

Ordena −0,6, −2/3, −7/11 y −0,66. En decimal, −2/3 = −0,666… y −7/11 = −0,6363… Con negativos, el de mayor valor absoluto es el menor, así que −2/3 < −0,66 < −7/11 < −0,6. La trampa es −0,66: parece igual que −2/3, pero se queda corto en 0,00666…

Entre dos racionales distintos siempre hay infinitos más. Entre 1/4 y 1/3 está su punto medio: como 1/4 = 6/24 y 1/3 = 8/24, el 7/24 queda justo entre los dos. Entre 6/24 y 7/24 cabe 13/48, y así sin fin.

Para situar uno en la recta, escríbelo como número mixto. −8/3 = −2 − 2/3: desde el −2, se parte en tres el tramo hasta el −3 y se cuentan dos tercios hacia la izquierda.

11Jerarquía con fracciones, signos y paréntesis

Con fracciones manda el mismo orden que con enteros: primero lo de dentro de los paréntesis, después las potencias, luego multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y al final sumas y restas. Los signos siguen la regla de siempre.

Paso a paso con E = 2/3 − (1/2 − 5/4) · 4/9. Paréntesis: 1/2 − 5/4 = 2/4 − 5/4 = −3/4. Producto: (−3/4) · 4/9 = −12/36 = −1/3. Resta: 2/3 − (−1/3) = 2/3 + 1/3 = 1. Restar un negativo es sumar.

Dos avisos. Un menos delante de un paréntesis cambia el signo de todo lo de dentro: 1 − (1/4 − 2/3) = 1 − 1/4 + 2/3 = 17/12. Y las multiplicaciones y divisiones seguidas se hacen en el orden en que están escritas: 3/4 : 1/2 · 2/3 = 3/2 · 2/3 = 1.

12Fracción de una fracción

De las 2 400 entradas de un concierto, 7/10 se venden por internet y, de esas, 3/7 desde el móvil. ¿Qué parte del total se compró con el móvil? Son 3/7 de 7/10, y «de» significa multiplicar: 3/7 · 7/10 = 21/70 = 3/10. Tres de cada diez entradas.

Con números: 7/10 de 2 400 son 1 680 entradas por internet, y 3/7 de 1 680 son 720 desde el móvil, que es justo 3/10 de 2 400. Sale lo mismo por los dos caminos, pero la fracción da la proporción sin necesidad de saber el total.

13Problemas: lo que queda y hacia atrás

La pregunta clave es siempre «¿fracción de qué?»: del total o de lo que queda.

Lo que queda. Tu móvil gasta por la mañana 1/3 de la batería y por la tarde, 3/4 de lo que le quedaba. Tras la mañana queda 2/3. Si por la tarde gasta 3/4 de eso, le queda 1/4 de 2/3, que es 1/6 de la batería: menos de un 17 %.

Hacia atrás. El lunes ves 3/7 de una serie y el martes, la mitad de lo que faltaba. Te quedan 4 capítulos. Tras el lunes faltaban 4/7; el martes ves 2/7, así que quedan 2/7. Si 2/7 son 4 capítulos, 1/7 son 2 y la serie tiene 2 · 7 = 14.

Comprueba siempre hacia delante: 3/7 de 14 son 6, faltan 8, la mitad son 4 y quedan 4. Cuadra.

14Aproximar: error absoluto y relativo

Al usar 0,67 en lugar de 2/3, o 3,14 en lugar de π, se comete un error. El error absoluto es la distancia entre el valor real y la aproximación: EA = |valor real − aproximación|. Lleva las mismas unidades que la medida.

Pero el mismo error no pesa igual en todas partes. Te equivocas en 1 cm al medir una mesa de 150 cm y en 1 cm al medir una goma de 4 cm. El error absoluto es el mismo, pero en la goma es un desastre. Por eso se usa el error relativo, el error absoluto dividido entre el valor real: ER = EA : valor real. En la mesa, 1/150 ≈ 0,007, menos de un 1 %; en la goma, 1/4 = 0,25, un 25 %.

Con fracciones se calcula exacto. Si aproximas 2/3 por 0,67, EA = 67/100 − 2/3 = 201/300 − 200/300 = 1/300 ≈ 0,0033, y ER = 1/300 : 2/3 = 3/600 = 1/200, un 0,5 %.

Al redondear a las centésimas, el error absoluto nunca pasa de media centésima, 0,005; a las milésimas, de 0,0005. Esa cota dice hasta qué cifra te puedes fiar.

15Para recordar

• Racional: se puede escribir como a/b, con a y b enteros y b ≠ 0. Su decimal es exacto o periódico.
• π, √2 y los decimales infinitos sin periodo no son racionales: son irracionales.
• Cada racional tiene infinitas fracciones equivalentes; su representante es la irreducible con denominador positivo.
• Denominador irreducible solo con 2 y 5: exacto. Sin 2 ni 5: periódico puro. Con 2 o 5 y otros primos: periódico mixto.
• Generatriz: multiplica por 10, 100… hasta que las colas coincidan y resta. Abajo, un 9 por cifra del periodo y un 0 por cifra del anteperiodo.
• 0,999… = 1.
• Jerarquía: paréntesis, potencias, · y : de izquierda a derecha, + y −. Un menos delante de un paréntesis cambia todos los signos de dentro.
• «Fracción de una fracción» es multiplicar. Pregunta siempre: ¿del total o de lo que queda?
• EA = |real − aproximado|, con unidades. ER = EA : real, sin unidades, en %.