Proporcionalidad inversa y compuesta

01Cuantos más, más barato

Alquilar un autobús para la excursión de fin de curso cuesta 1 080 €, vaya quien vaya. Si se apuntan 30 alumnos, cada uno paga 1 080 : 30 = 36 €. Si se apuntan 60, el doble, cada uno paga 18 €, la mitad. Y si solo van 20, toca pagar 54 € por cabeza.

Aquí no se conserva el cociente, como en la proporcionalidad directa, sino el producto: alumnos por precio da siempre 1 080. Esa es la proporcionalidad inversa. En esta página aprenderás a reconocerla, a resolver problemas con tres magnitudes a la vez, a repartir un premio de forma justa y a encadenar subidas y rebajas sin caer en la trampa de sumar porcentajes.

02Magnitudes inversamente proporcionales

Recuerda la directa en una frase: al doble, el doble, y el cociente es constante. Si una entrada de cine cuesta 7 €, 4 entradas cuestan 28 €.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida entre ese mismo número: al doble le toca la mitad, al triple la tercera parte, a la mitad el doble. Entonces el producto de cada pareja de valores es siempre el mismo, y ese número se llama constante de proporcionalidad inversa.

Descargas un archivo de 240 MB. A 4 MB por segundo tarda 60 s; a 8 MB/s, 30 s; a 12 MB/s, 20 s; a 16 MB/s, 15 s. Velocidad por tiempo da siempre 240, el tamaño del archivo: esa es la constante.

03Que una baje no basta

El error más común es pensar que si una magnitud sube y la otra baja, ya son inversamente proporcionales. No basta con bajar: tiene que bajar en la misma proporción, de modo que el producto no cambie.

Hay relaciones en las que una baja restando poco a poco, otras en las que baja de forma irregular y otras en las que no hay ninguna regla fija. Ninguna de ellas es proporcionalidad inversa.

04Directa, inversa o ninguna

Para decidir, hazte la pregunta del doble: si una magnitud se duplica, ¿la otra se duplica, se queda en la mitad o ninguna de las dos cosas? Y después compruébalo con dos parejas de datos: si el cociente se mantiene, es directa; si se mantiene el producto, es inversa; si no se mantiene ninguno, no hay proporcionalidad.

Fíjate siempre en qué cosa queda fija. Velocidad y tiempo son inversas si la distancia es fija, pero velocidad y distancia son directas si el tiempo es fijo.

05Tabla de proporcionalidad inversa

Una jardinera quiere plantar 72 tulipanes en filas que tengan todas los mismos. Con 2 filas salen 36 tulipanes por fila; con 3, 24; con 4, 18; con 6, 12; con 8, 9; con 12, 6. En cada pareja, filas por tulipanes da 72.

Para completar una casilla vacía de una tabla inversa, divide la constante entre el dato que tienes. Con 9 filas, 72 : 9 = 8 tulipanes por fila.

Ojo: en una tabla directa se pueden sumar columnas, pero en una inversa no. Y si dibujas los puntos en unos ejes, no quedan en línea recta: forman una curva que baja cada vez más despacio, llamada hipérbola.

06Reducción a la unidad en la inversa

Reducir a la unidad es calcular qué pasaría con 1 y, desde ahí, con cualquier otra cantidad. En la directa, para ir a la unidad se divide. En la inversa se multiplica, porque una sola máquina o una sola persona tarda más que varias juntas.

Cinco impresoras 3D iguales fabrican las piezas de un encargo en 18 h. Una sola tardaría 5 veces más: 5 · 18 = 90 h. Con 6 impresoras, ese trabajo se reparte entre 6: 90 : 6 = 15 h. Con 3, 90 : 3 = 30 h.

07Regla de tres inversa

La regla de tres inversa hace la reducción a la unidad en un solo paso. Tres bombas iguales vacían una piscina en 16 h. ¿Cuánto tardan 4? Se colocan los datos en dos filas, «3 bombas → 16 h» y «4 bombas → x». Como el producto se conserva, 3 · 16 = 4 · x, y x = 48 : 4 = 12 h.

La regla práctica: se multiplican los dos datos de la misma fila y se divide entre el que queda. Es justo lo contrario que en la directa, donde se multiplica en cruz.

Otro ejemplo: el depósito de riego de un huerto da para 15 días gastando 240 L al día. Si se gastan 300 L al día, dura 15 · 240 : 300 = 3 600 : 300 = 12 días. Comprueba siempre el sentido: más gasto diario, menos días.

08Regla de tres compuesta

A veces intervienen más de dos magnitudes. Tres robots de una fábrica envasan 1 800 latas en 2 h. ¿Cuántas latas envasan 5 robots en 3 h? Esto es una regla de tres compuesta.

Método en tres pasos. Primero, escribe los datos en columnas, una por magnitud, con la incógnita en una de ellas: «3 robots, 2 h → 1 800 latas» y «5 robots, 3 h → x». Segundo, compara cada magnitud con la incógnita por separado, como si las demás no cambiaran: más robots, más latas, directa; más horas, más latas, directa. Tercero, multiplica el dato conocido por una fracción por cada magnitud: nueva/antigua si es directa y antigua/nueva si es inversa.

Aquí, x = 1 800 · 5/3 · 3/2 = 3 000 · 3/2 = 4 500 latas. Por reducción a la unidad sale igual: un robot en una hora envasa 1 800 : 3 : 2 = 300 latas, y 5 robots en 3 h, 300 · 5 · 3 = 4 500.

09Compuesta con una inversa

Lo más frecuente es que se mezclen relaciones directas e inversas. Ocho técnicos montan 2 escenarios de un festival en 6 días. ¿Cuántos días tardan 12 técnicos en montar 5 escenarios?

Compara cada magnitud con los días. Técnicos y días: más técnicos, menos días, inversa, así que la fracción es antigua/nueva, 8/12. Escenarios y días: más escenarios, más días, directa, así que va nueva/antigua, 5/2.

Entonces x = 6 · 8/12 · 5/2 = 4 · 5/2 = 10 días. Comprobación por la unidad: un técnico solo montaría un escenario en 8 · 6 : 2 = 24 días. Cinco escenarios son 120 días de trabajo de un técnico, y entre 12 técnicos, 10 días.

10Repartos directamente proporcionales

Lucía, Omar y Paula montan un puesto de limonada en las fiestas del barrio. Para comprar limones, azúcar y vasos ponen 20 €, 30 € y 50 €, y al final del verano han ganado 340 €. Lo justo es que gane más quien más puso: es un reparto directamente proporcional.

Método: suma las partes, 20 + 30 + 50 = 100, y divide el total entre esa suma, 340 : 100 = 3,4. Esa es la constante: cada euro puesto da 3,4 €. Después multiplica: Lucía recibe 20 · 3,4 = 68 €, Omar 30 · 3,4 = 102 € y Paula 50 · 3,4 = 170 €.

Comprobación: 68 + 102 + 170 = 340. En un reparto directo, lo que recibe cada uno dividido entre su parte da siempre la misma constante.

11Repartos inversamente proporcionales

Un torneo de cubo de Rubik reparte 310 € en vales entre sus tres finalistas, que resolvieron el cubo en 2, 3 y 5 minutos. Quien tarda menos debe llevarse más: el reparto es inversamente proporcional a los tiempos.

Método: se reparte de forma directa a los inversos, 1/2, 1/3 y 1/5. Para no trabajar con fracciones, se ponen con denominador común 30: 15/30, 10/30 y 6/30, y se reparte de forma directa a 15, 10 y 6. Suman 31, y 310 : 31 = 10. El primero recibe 150 €, el segundo 100 € y el tercero 60 €.

Comprobación: en un reparto inverso lo que recibe cada uno por su dato da siempre lo mismo. 150 · 2 = 100 · 3 = 60 · 5 = 300.

Cuidado con el atajo falso: hacer el reparto directo a 2, 3 y 5, que da 62 €, 93 € y 155 €, y darle la vuelta. El resultado suma 310, pero no es inversamente proporcional.

12Porcentajes encadenados

El índice de variación es el número por el que se multiplica una cantidad al aplicarle un porcentaje. Si aumenta un r %, el índice es 1 + r/100; si disminuye un r %, es 1 − r/100. Subir un 15 % es multiplicar por 1,15; bajar un 8 %, por 0,92; subir un 150 %, por 2,5.

Cuando se encadenan varios porcentajes, cada uno se aplica sobre la cantidad que hay en ese momento. Por eso no se suman: se multiplican sus índices.

Una consola de 350 € sube un 20 % antes de Navidad y baja un 20 % en enero. Sube a 350 · 1,2 = 420 € y baja a 420 · 0,8 = 336 €. El índice total es 1,2 · 0,8 = 0,96: la consola acaba un 4 % más barata que al principio, porque la bajada se calcula sobre un precio mayor.

Una rebaja del 30 % y después un 10 % extra en caja da un índice de 0,7 · 0,9 = 0,63: se paga el 63 %, un descuento del 37 %, no del 40 %.

13Del precio final al inicial

Si conoces el precio después de un porcentaje, para recuperar el de antes se divide entre el índice, porque dividir deshace la multiplicación. Un videojuego rebajado un 25 % cuesta 48 €. El índice es 0,75, así que antes costaba 48 : 0,75 = 64 €. Comprobación: 64 · 0,75 = 48.

Una suscripción sube un 8 % y pasa a costar 12,96 €. Antes costaba 12,96 : 1,08 = 12 €.

Y para saber qué porcentaje ha variado un precio, divide el final entre el inicial: de 64 € a 48 €, 48 : 64 = 0,75, una bajada del 25 %; de 12 € a 12,96 €, 12,96 : 12 = 1,08, una subida del 8 %.

14Problemas resueltos

Antes de calcular, decide qué relación hay entre las magnitudes y qué cosa queda fija. Después elige el método y, al final, comprueba que el resultado tiene sentido.

Pasos: para cruzar un puente das 1 200 pasos de 0,75 m. ¿Cuántos pasos de 0,9 m necesitarías? Con pasos más largos hacen falta menos: inversa, y lo fijo es la longitud del puente. El puente mide 0,75 · 1 200 = 900 m, así que hacen falta 900 : 0,9 = 1 000 pasos.

Precio inicial: la entrada de un concierto sube un 15 % y después tienes un 20 % de descuento con el carné joven. Pagas 27,60 €. El índice total es 1,15 · 0,8 = 0,92, y el precio inicial era 27,60 : 0,92 = 30 €. Comprobación: 30 · 1,15 = 34,50 € y 34,50 · 0,8 = 27,60 €.

Reparto: tres pueblos comparten los 9 000 € anuales de una ambulancia según sus habitantes, 1 200, 1 800 y 3 000. Suman 6 000 habitantes y 9 000 : 6 000 = 1,5 € por habitante. Pagan 1 800 €, 2 700 € y 4 500 €, que suman 9 000 €.

15Para recordar

• Inversa: al doble, la mitad, y el producto es constante. Directa: al doble, el doble, y el cociente es constante.
• Que una suba y la otra baje no basta: comprueba que el producto no cambia.
• En la inversa, reducir a la unidad es multiplicar. Regla de tres inversa: se multiplica la misma fila y se divide entre el otro dato.
• Compuesta: compara cada magnitud con la incógnita por separado. Directa → nueva/antigua; inversa → antigua/nueva.
• Reparto directo: total : suma de partes, y multiplicar. Reparto inverso: reparto directo a los inversos, nunca el directo al revés.
• Índice de variación: 1 + r/100 al subir y 1 − r/100 al bajar. Los porcentajes encadenados multiplican sus índices.
• Del precio final al inicial se divide entre el índice.