Funciones: lineal y afín

01La máquina expendedora

En una máquina expendedora marcas un código y cae un producto. Con el B4 sale siempre la misma bolsa de patatas. Puede que el B4 y el B5 den el mismo zumo, y no pasa nada. Pero si un día marcas el B4 y unas veces cae patatas y otras un bocadillo, la máquina está rota: ya no sabes qué te va a tocar.

Esa es la idea de función: una regla que a cada valor de entrada le asigna una sola salida. Que dos entradas den la misma salida está permitido; que una entrada dé dos salidas, no. Con una regla así se describen el precio de un viaje en patinete, la altura de un avión que aterriza o lo que gasta una ducha.

02Qué es una función

Una función es una relación entre dos variables en la que a cada valor de la primera, x, le corresponde un único valor de la segunda, y. Se dice que «y es función de x», y el valor de y que le toca a cada x se llama su imagen.

La x es la variable independiente: la que eliges o la que avanza sola. La y es la variable dependiente: su valor sale de la x. Los litros que gasta una ducha dependen de los minutos que dura, y no al revés. La independiente va en el eje horizontal y la dependiente, en el vertical.

A veces se escribe f(x) en lugar de y. Si f(x) = 9x, entonces f(5) = 45, que se lee «f de 5 vale 45»: la imagen de 5 es 45.

03Cuándo no es una función

En una tabla, la pista está en la fila de las x: si una x se repite con dos y distintas, no es función. En la tabla x: 1, 2, 2, 3 ; y: 4, 6, 7, 8, el 2 tiene dos imágenes, 6 y 7. En cambio, x: 1, 2, 3 ; y: 5, 5, 5 sí es función: que se repita la y no importa.

En una gráfica se usa la prueba de la recta vertical. Imagina una línea vertical que recorre el dibujo de izquierda a derecha. Si en algún momento corta a la gráfica en dos o más puntos, no es función, porque esa x tendría varias y.

Una circunferencia no pasa la prueba. La de centro el origen y radio 5 pasa por (0, 5) y por (0, −5), y también por (3, 4) y por (3, −4). Una recta inclinada, una curva en forma de U o una línea en zigzag sí la pasan.

04Cuatro formas de expresarla

Una misma función se puede dar de cuatro maneras. Con un enunciado: «una ducha gasta 9 litros de agua por minuto». Con una fórmula: y = 9x, con x en minutos e y en litros. Con una tabla: 0 min, 0 L; 2 min, 18 L; 5 min, 45 L; 10 min, 90 L. Y con una gráfica: una recta que sale del origen y pasa por (5, 45).

Cada forma tiene su ventaja. El enunciado cuenta qué pasa; la tabla da valores concretos; la gráfica deja ver de un vistazo si sube o baja y cuánto; y la fórmula calcula cualquier valor, también los que no están en la tabla: una ducha de 7,5 min gasta 9 · 7,5 = 67,5 L.

Para pasar de una tabla a una fórmula, mira cuánto cambia la y cuando la x aumenta de uno en uno. En x: 0, 1, 2, 3 ; y: 2, 5, 8, 11, la y sube 3 cada vez y empieza en 2: y = 3x + 2. Compruébalo con otro valor: x = 3 da 9 + 2 = 11. Pero no todas las funciones tienen fórmula: las visitas que recibe una web cada día se miden, no se calculan.

05Dominio y recorrido

El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la x. El recorrido es el de los valores que toma la y. Dependen de la fórmula y también de la situación real.

Un dron sube en vertical a 3 metros por segundo hasta 120 m, la altura máxima permitida: y = 3x. La fórmula admitiría cualquier x, pero el dron llega arriba a los 40 s y no hay tiempos negativos. El dominio va de 0 a 40 segundos y el recorrido, de 0 a 120 metros.

Una fórmula sola también puede prohibir valores. En y = 12/x no vale x = 0, porque no se divide entre 0: el dominio son todos los números menos el 0. En y = √x solo valen el 0 y los positivos, porque los negativos no tienen raíz cuadrada.

06Crecer, decrecer, máximos y mínimos

Piensa en los espectadores de un directo en streaming. Empieza a las 20:00 con 0 personas, sube hasta 3 000 a las 21:15, baja a 1 800 durante una pausa de anuncios a las 21:40, vuelve a subir hasta 2 500 a las 22:00 y cae a 0 cuando termina, a las 22:30.

Una función es creciente en un tramo si, al aumentar la x, aumenta la y: aquí, de 20:00 a 21:15 y de 21:40 a 22:00. Es decreciente si, al aumentar la x, la y disminuye: de 21:15 a 21:40 y de 22:00 a 22:30. Siempre se lee de izquierda a derecha.

Un máximo es un punto más alto que los que tiene cerca; un mínimo, más bajo. Los 3 000 espectadores de las 21:15 son el máximo absoluto, el valor más alto de todo el directo. Los 2 500 de las 22:00 son un máximo relativo: más que lo que hay alrededor, pero no lo más alto. Y los 1 800 de la pausa son un mínimo relativo.

07Continua o a saltos

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel: los valores cambian poco a poco, sin saltos. La altura del dron o los litros de la ducha cambian así.

Otras funciones dan saltos. Un parking cobra 2 € por cada hora o fracción: hasta 1 h pagas 2 €; con 1 h y 1 min ya pagas 4 €, y así hasta las 2 h. La gráfica es una escalera de tramos horizontales y, en cada hora en punto, el precio salta de golpe. Pasa lo mismo con lo que cuesta enviar un paquete según su peso.

08Proporcionalidad directa: y = m · x

La función de la ducha, y = 9x, es de proporcionalidad directa: al doble de minutos, el doble de litros, y el cociente y : x vale siempre 9. Todas las funciones de este tipo tienen la forma y = m · x y se llaman funciones lineales.

Su gráfica es siempre una recta que pasa por el origen, porque con x = 0 sale y = 0: cero minutos de ducha, cero litros. Para dibujarla basta con otro punto más: con x = 1, y = m. En la ducha, (1, 9).

09La pendiente

El número m se llama pendiente y dice cuánto sube la y por cada unidad que avanza la x. En y = 9x, cada minuto más de ducha son 9 litros más. Cuanto mayor es m, más empinada es la recta: y = 9x sube más deprisa que y = 4x.

Si m es negativa, la recta baja y la función es decreciente. Un submarino que se sumerge a 3 metros por segundo está, respecto al nivel del mar, a y = −3x: a los 10 s, a −30 m. Si m = 0, la recta es horizontal: ni sube ni baja.

Para calcular la pendiente con dos puntos de la recta, divide lo que cambia la y entre lo que cambia la x. De (2, 7) a (5, 16), la y cambia 16 − 7 = 9 y la x, 5 − 2 = 3: m = 9 : 3 = 3. Si m es una fracción, como 1/2, la recta sube 1 por cada 2 que avanza.

10Función afín y ordenada en el origen

Un patinete eléctrico de alquiler cobra 1 € por desbloquearlo y 0,25 € por cada minuto de viaje. Un viaje de x minutos cuesta y = 0,25x + 1. Ya no es proporcional: 10 min cuestan 3,50 € y 20 min, 6 €, no el doble.

Las funciones de la forma y = m · x + n se llaman afines. La m sigue siendo la pendiente: cada minuto suma 0,25 €. La n es la ordenada en el origen: el valor de y cuando x = 0, el punto donde la recta corta al eje Y. Aquí, (0, 1): el euro que pagas aunque no te muevas.

La gráfica de una afín es la recta de y = m · x desplazada n unidades hacia arriba, o hacia abajo si n es negativo. Por eso y = 4x, y = 4x + 3 e y = 4x − 5 son rectas paralelas: tienen la misma pendiente.

Si m = 0, queda y = n, la función constante: una recta horizontal. Una tarifa plana de datos de 15 € al mes cuesta y = 15 tanto si navegas 1 hora como 100: la y no depende de la x.

11Lineal, afín o constante

Toda función lineal es una afín con n = 0, pero no al revés. Para saber si una recta es de proporcionalidad directa, pregunta: ¿pasa por el origen? ¿Al doble de x le corresponde el doble de y? La función y = 3x + 2 falla las dos: con x = 0 da 2, y con x = 1 da 5 mientras que con x = 2 da 8, no 10.

En una tabla se distinguen así: si el cociente y : x es siempre el mismo, es lineal; si lo que se repite es lo que sube la y en cada paso, pero el cociente cambia, es afín; si la y no cambia, es constante.

12Hallar la ecuación de una recta

A partir de dos puntos: la recta pasa por (1, 4) y (3, 10). Primero, la pendiente: m = (10 − 4) : (3 − 1) = 6 : 2 = 3. Después, la n, sustituyendo uno de los puntos en y = 3x + n: 4 = 3 · 1 + n, así que n = 1. La recta es y = 3x + 1. Comprobación con el otro punto: 3 · 3 + 1 = 10.

A partir de un enunciado con cuota fija: en un gimnasio, 3 meses cuestan 115 € y 7 meses, 235 €, con la matrícula incluida. Los 4 meses de diferencia cuestan 120 €, así que cada mes vale m = 30 €. La matrícula sale de 115 = 30 · 3 + n, es decir, n = 25 €. La función es y = 30x + 25.

Un caso sorprendente, los grados Celsius y Fahrenheit. El agua se congela a 0 °C, que son 32 °F, y hierve a 100 °C, que son 212 °F. La pendiente es (212 − 32) : (100 − 0) = 180 : 100 = 1,8 y la ordenada en el origen, 32: F = 1,8C + 32. Una persona sana, a 37 °C, está a 1,8 · 37 + 32 = 98,6 °F. Y hay una temperatura en la que las dos escalas marcan lo mismo: −40 °C son 1,8 · (−40) + 32 = −40 °F.

13Avance: proporcionalidad inversa

No todas las funciones son rectas. Si un premio de 600 € se reparte a partes iguales entre x amigos, cada uno recibe y = 600/x: con 2 amigos, 300 €; con 3, 200 €; con 4, 150 €; con 6, 100 €. Al doble de amigos, la mitad de dinero: es proporcionalidad inversa, y el producto x · y vale siempre 600.

Las funciones y = k/x tienen una gráfica curva llamada hipérbola. Con k positivo son decrecientes: cuantos más amigos, menos dinero, pero nunca se llega a 0. Y la x no puede valer 0, porque no se reparte entre nadie. Se estudian a fondo en la página de proporcionalidad inversa.

14Interpretar gráficas reales

En una situación real, la pendiente suele ser una velocidad o un precio por unidad, y la ordenada en el origen, el valor de partida. Un avión empieza a descender desde 9 000 m y baja 600 m cada minuto: y = 9 000 − 600x. La n = 9 000 es la altura inicial y la m = −600, lo que pierde cada minuto. Aterriza cuando y = 0: 600x = 9 000 y x = 15 min.

Comparar dos rectas ayuda a decidir. Otra app de patinetes ofrece pagar 0,30 € por minuto, y = 0,3x, o un bono de 12 € al mes más 0,10 € por minuto, y = 0,1x + 12. Las rectas se cortan donde 0,3x = 0,1x + 12, es decir, 0,2x = 12 y x = 60: con 60 min al mes, las dos opciones cuestan 18 €. Si vas a usarlo menos, conviene pagar por minuto; si más, el bono. Ese punto de corte es la solución del sistema formado por las dos ecuaciones.

Ante cualquier gráfica, hazte tres preguntas: dónde empieza, a qué ritmo cambia y si sube, baja o se queda igual.

15Para recordar

• Función: a cada x le corresponde una sola y. Una x con dos y distintas no es función.
• Prueba de la recta vertical: si una vertical corta la gráfica dos veces, no es función. La circunferencia no lo es.
• Se puede dar con un enunciado, una tabla, una gráfica o una fórmula.
• Dominio: los valores posibles de x. Recorrido: los valores que toma y.
• Lineal: y = m · x, recta por el origen. Afín: y = m · x + n, corta al eje Y en (0, n). Constante: y = n.
• Pendiente m: lo que sube la y por cada unidad de x. Positiva, sube; negativa, baja; cero, horizontal.
• Recta por dos puntos: m = cambio de y entre cambio de x; después, n sustituyendo un punto.
• y = 3x + 2 no es de proporcionalidad: no pasa por el origen.