Números reales e intervalos

Los números reales son los racionales (fracciones) junto con los irracionales (decimales sin fin ni período): llenan la recta numérica sin dejar huecos.

Racionales e irracionales, la recta real completa y cómo describir tramos de ella con intervalos, semirrectas y entornos.

01Una diagonal que no se puede escribir

Dobla una hoja cuadrada de 1 dm de lado por la diagonal. Por Pitágoras mide √2 dm. Sobre una regla se ve que ronda 1,41, pero ninguna fracción da exactamente ese valor: 1,4² = 1,96, 1,41² = 1,9881, 1,414² = 1,999396. Se acerca a 2 y nunca llega, por muchos decimales que pongas.

Ese es el motivo de ampliar los números: con las fracciones solo hay muchos números en la recta, pero no todos. Con los irracionales la recta queda completa.

02Racionales e irracionales

Racional: se escribe como a/b con a y b enteros y b ≠ 0. Su decimal es exacto (0,625 = 5/8) o periódico (0,1666… = 1/6).

Irracional: decimal con infinitas cifras que nunca se repiten con regla. Son irracionales √2, √7, π y 0,101001000100001… (cada vez un cero más entre los unos). Racionales e irracionales juntos forman los reales, ℝ.

✓0,625racional: decimal exacto, es 5/8
✓0,454545…racional: período 45, es 5/11
✗√7irracional: 7 no es cuadrado perfecto y su decimal no se repite
✗√49no es irracional: vale 7, un entero
✗3,14no es π: es solo una aproximación racional de π

03La recta real

A cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada real, un punto. Para colocar √2 se dibuja un cuadrado de lado 1 sobre la recta y se lleva su diagonal con un compás hasta la recta.

Para comparar dos reales se mira cuál queda más a la derecha. √10 queda entre 3 y 4 (porque 3² = 9 y 4² = 16) y, un poco más afinando, cerca de 3,16. Por eso √10 ≈ 3,16 tiene su sitio en la recta, entre el 3 y el 4.

04Intervalos y semirrectas

Un intervalo es un tramo de la recta. Cerrado [a, b]: incluye a y b. Abierto (a, b): ninguno. Semiabierto [a, b) o (a, b]: solo uno. Las semirrectas llegan hasta el infinito: (3, +∞) o (−∞, −2]. El infinito nunca lleva corchete.

Un frigorífico funciona bien si su temperatura está entre 2 y 6 grados, ambos incluidos: [2, 6]. Una oferta de «más de 40 euros» es (40, +∞). Un entorno de centro 5 y radio 0,3 es el intervalo 4,75,3.

✓x ≥ −1 y x < 4 se escribe [−1, 4)el −1 entra (≥) y el 4 no (<)
✓x > 8 se escribe (8, +∞)sin el 8 y con paréntesis en el infinito
✗x > 8 se escribe [8, +∞]el 8 no entra y el infinito nunca va con corchete
✗4 pertenece a (1, 4)es abierto: el 4 queda fuera

05Para recordar

  • ℚ ∪ irracionales = ℝ.
  • Decimal exacto o periódico: racional; infinito sin período: irracional.
  • Corchete incluye, paréntesis excluye.
  • Entorno de centro c y radio r: (c − r, c + r).

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre un número racional y uno irracional?

Un racional se puede escribir como fracción de enteros y su decimal termina o se repite. Un irracional no se puede, y su decimal es infinito sin período, como √2 o π.

¿Es √49 un número irracional?

No: √49 = 7, que es entero y, por tanto, racional. Solo son irracionales las raíces que no salen exactas, como √50.

¿Qué significa [2, 6)?

Todos los reales desde el 2 hasta el 6, incluido el 2 y sin incluir el 6. El corchete incluye el extremo y el paréntesis lo deja fuera.

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