Mates en AcciónEl teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² = b² + c².
Catetos e hipotenusa, el teorema y por qué se cumple, cómo calcular la hipotenusa o un cateto, ternas pitagóricas, saber si un triángulo es rectángulo, diagonales, alturas, apotemas y distancias en el plano.
01La tele que sí cabe
En la tienda ves una tele de 43 pulgadas. Una pulgada son 2,54 cm, así que 43 pulgadas son unos 109 cm. El hueco de tu mueble mide 1 m de ancho. ¿Te la llevas o no?
Sí cabe. Las pulgadas no miden el ancho de la pantalla, sino su diagonal, de una esquina a la contraria. La pantalla mide 96 cm de ancho y 54 cm de alto, y la diagonal sale de esos dos números: 96² + 54² = 9 216 + 2 916 = 12 132, y la raíz cuadrada de 12 132 es algo más de 110. Son unos 110 cm, unas 43 pulgadas. Con el marco, la tele ocupa unos 98 cm de ancho: cabe justa.
Lo mismo pasa al cruzar una plaza rectangular de 42 m por 40 m. Por el borde andas 42 + 40 = 82 m. En diagonal, 42² + 40² = 1 764 + 1 600 = 3 364, cuya raíz es 58: andas 58 m y te ahorras 24. Calcular una diagonal sin medirla, saber si una escalera llega a una ventana o si un objeto cabe en una caja: todo eso lo resuelve el teorema de Pitágoras.
02Catetos e hipotenusa
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°. Los dos lados que forman ese ángulo, los que dibujan la «L», son los catetos. El tercero, el que está enfrente del ángulo recto, es la hipotenusa.
La hipotenusa es siempre el lado más largo, porque está enfrente del ángulo mayor. Es lo primero que hay que localizar, ya que en la fórmula no juega el mismo papel que los catetos. Aquí la llamaremos a, y a los catetos, b y c.
| ✓ | En la tele, el ancho y el alto son los catetos y la diagonal es la hipotenusael ancho y el alto forman el ángulo recto de la esquina |
| ✓ | En una escalera apoyada en la pared, la escalera es la hipotenusael suelo y la pared forman el ángulo recto: son los catetos |
| ✗ | La hipotenusa es el lado de abajodepende de cómo esté dibujado el triángulo: es el lado opuesto al ángulo recto, esté donde esté |
| ✗ | Un cateto mide 30 cm y la hipotenusa, 25 cmimposible: la hipotenusa es el lado más largo |
| ✗ | La hipotenusa de un triángulo equiláterono existe: sin ángulo recto no hay catetos ni hipotenusa |
03El teorema
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² = b² + c².
Compruébalo con un triángulo de catetos 20 cm y 21 cm y de hipotenusa 29 cm: 20² + 21² = 400 + 441 = 841, y 29² = 841. Encaja.
Con dibujos se ve mejor. Construye un cuadrado sobre cada lado del triángulo. La baldosa de la hipotenusa tiene exactamente la misma superficie que las dos de los catetos juntas: 841 cm² = 400 cm² + 441 cm². El teorema habla de áreas de cuadrados, no de los lados sueltos.
| ✓ | 20² + 21² = 29²400 + 441 = 841 |
| ✓ | a² = b² + c², con a la hipotenusala hipotenusa va sola a un lado del igual |
| ✗ | 20 + 21 = 2920 + 21 = 41: no se suman los lados, sino sus cuadrados |
| ✗ | b² = a² + c², con a la hipotenusadice que un cateto es más largo que la hipotenusa: la hipotenusa debe quedar sola |
04Por qué se cumple
Hay cientos de demostraciones. Esta se entiende casi sin cuentas. Recorta cuatro copias iguales de un triángulo rectángulo de catetos b y c, y prepara un marco cuadrado de lado b + c.
Primera colocación: pon un triángulo en cada esquina del marco, con la hipotenusa mirando hacia dentro. En el centro queda un hueco con forma de cuadrado inclinado, de lado a. Ese hueco mide a².
Segunda colocación: junta los triángulos de dos en dos para formar dos rectángulos de b por c y llévalos a dos esquinas opuestas del marco. Ahora quedan dos huecos cuadrados: uno de lado b y otro de lado c. Entre los dos miden b² + c².
En las dos colocaciones el marco es el mismo y los cuatro triángulos también, así que lo que queda libre tiene que medir lo mismo: a² = b² + c².
Con el triángulo de 20, 21 y 29 cm: el marco mide 20 + 21 = 41 cm de lado, y su área es 41² = 1 681 cm². Cada triángulo ocupa 20 · 21 : 2 = 210 cm², y los cuatro, 840 cm². Libre quedan 1 681 − 840 = 841 cm², que es 29² y también 20² + 21².
05Solo en triángulos rectángulos
El teorema necesita el ángulo recto. Si el triángulo no lo tiene, la igualdad no se cumple.
En un equilátero de 5 cm, 5² = 25, pero 5² + 5² = 50. En un triángulo de 20, 21 y 30 cm, muy parecido al de antes pero con el lado largo un poco más largo, 30² = 900 y 20² + 21² = 841. No coinciden, y eso dice algo: los lados de 20 y 21 cm ya no forman 90°, sino un ángulo algo mayor.
| ✓ | Catetos de 20 y 21 cm, hipotenusa de 29 cmhay ángulo recto: 841 = 841 |
| ✗ | Equilátero de 5 cm: 5² = 5² + 5²25 ≠ 50: no tiene ángulo recto |
| ✗ | Lados de 6, 7 y 9 cm: el de 9 cm se calcula con √(36 + 49)eso solo valdría si el ángulo entre 6 y 7 fuera recto, y 9² = 81, no 85 |
| ✗ | Aplicar el teorema a un triángulo isósceles cualquierasolo si es rectángulo; si no, se parte con la altura en dos triángulos rectángulos |
06Calcular la hipotenusa
Si conoces los dos catetos, elévalos al cuadrado, súmalos y haz la raíz cuadrada del resultado: a = √(b² + c²).
Una tirolina va de lo alto de una torre a otra torre que está 9 m más baja y a 40 m de distancia en horizontal. ¿Cuánto cable hace falta, sin contar lo que se ata? El desnivel y la distancia horizontal forman un ángulo recto, y el cable es la hipotenusa: 9² + 40² = 81 + 1 600 = 1 681. Su raíz es 41, porque 41² = 1 681. Hacen falta 41 m de cable.
Casi nunca sale exacto. Con catetos de 5 cm y 8 cm: 25 + 64 = 89, y √89 ≈ 9,43 cm. Redondea solo al final, nunca a mitad de la cuenta.
| ✓ | Catetos de 9 y 40 m: hipotenusa de 41 m81 + 1 600 = 1 681 = 41² |
| ✓ | Catetos de 5 y 8 cm: unos 9,43 cmes √89: más que 8 y menos que 5 + 8 |
| ✗ | Catetos de 9 y 40 m: hipotenusa de 49 mse han sumado los catetos sin elevarlos al cuadrado |
07Calcular un cateto
Si conoces la hipotenusa y un cateto, despeja el otro: al cuadrado de la hipotenusa se le resta el del cateto conocido, y se hace la raíz. b = √(a² − c²). Aquí se resta, no se suma.
¿Llega la escalera? Las normas de seguridad dicen que el pie de una escalera de mano se separe de la pared una cuarta parte de su longitud. Una escalera de 6,5 m se apoya con el pie a 1,6 m de la pared, más o menos 6,5 : 4. La escalera es la hipotenusa y la altura que alcanza, un cateto: 6,5² − 1,6² = 42,25 − 2,56 = 39,69, y √39,69 = 6,3. Llega a 6,3 m de altura. Una ventana a 6,2 m, sí; una a 6,5 m, no.
Si alejas el pie hasta 3 m de la pared, la escalera baja: 42,25 − 9 = 33,25, y su raíz es unos 5,77 m. Cuanto más tumbada, menos altura.
| ✓ | Escalera de 6,5 m con el pie a 1,6 m: altura de 6,3 m42,25 − 2,56 = 39,69 = 6,3² |
| ✗ | Altura = √(6,5² + 1,6²) ≈ 6,69 mse ha sumado: un cateto no puede salir más largo que la escalera |
| ✗ | Altura = 6,5 − 1,6 = 4,9 mse restan los cuadrados, no los lados |
08Errores típicos
Casi todos los fallos con Pitágoras son de tres tipos: olvidar los cuadrados, confundir qué lado es la hipotenusa y olvidar la raíz del final. Míralos con la tirolina de 9 m de desnivel y 40 m de distancia.
Una comprobación rápida los detecta casi todos: la hipotenusa tiene que ser más larga que cada cateto y más corta que la suma de los dos. 41 está entre 40 y 49: bien.
| ✓ | 9² + 40² = 1 681, y su raíz es 41 mcuadrados, suma y raíz, en ese orden |
| ✗ | 9 + 40 = 49 mse han sumado los lados sin elevar |
| ✗ | La hipotenusa es la suma de los catetosnunca: ir en diagonal siempre es más corto que ir por los dos lados |
| ✗ | El cable mide 1 681 mfalta la raíz: 1 681 es el área del cuadrado de la hipotenusa, no su lado |
| ✗ | √(9² + 40²) = 9 + 40la raíz de una suma no es la suma de las raíces |
| ✗ | Para hallar un cateto también se suman los cuadradospara un cateto se resta: b² = a² − c² |
09Ternas pitagóricas
Una terna pitagórica son tres números naturales que cumplen a² = b² + c². Son triángulos rectángulos con todos los lados enteros, muy cómodos para medir en la vida real y para inventar problemas.
La más pequeña es 3, 4, 5. Otras son 20, 21, 29 · 9, 40, 41 · 12, 35, 37 · 11, 60, 61 · 28, 45, 53. Si multiplicas los tres números de una terna por el mismo natural, sale otra: de 20, 21, 29 se pasa a 40, 42, 58.
Un truco para fabricar muchas: toma un número impar, elévalo al cuadrado y parte el resultado en dos números seguidos. Con 9: 9² = 81 = 40 + 41, y sale la terna 9, 40, 41. Con 13: 13² = 169 = 84 + 85, y en efecto 13² + 84² = 169 + 7 056 = 7 225 = 85².
| ✓ | 12, 35, 37144 + 1 225 = 1 369 = 37² |
| ✓ | 40, 42, 58es 20, 21, 29 multiplicada por 2 |
| ✗ | 4, 5, 6sumar 1 a cada número de 3, 4, 5 no funciona: 16 + 25 = 41, no 36 |
| ✗ | Lados de 10 cm, 10,5 cm y 14,5 cmes un triángulo rectángulo, la mitad del de 20, 21 y 29, pero no es una terna: 10,5 y 14,5 no son naturales |
10¿Rectángulo, acutángulo u obtusángulo?
Con los tres lados basta para saber cómo es el ángulo mayor, sin transportador. Toma el lado más largo, a, y compara a² con la suma de los cuadrados de los otros dos.
Si a² = b² + c², el triángulo es rectángulo. Si a² < b² + c², el lado largo se queda corto para abrir 90°: el triángulo es acutángulo. Si a² > b² + c², el lado largo obliga a abrir el ángulo de enfrente más de 90°: es obtusángulo.
Así comprueba un albañil si la esquina de una habitación está a escuadra. Marca 2 m en una pared y 2,1 m en la otra, y mide la distancia entre las dos marcas. Debe dar 2,9 m, porque 2² + 2,1² = 4 + 4,41 = 8,41 = 2,9². Si da 2,85 m, la esquina está cerrada, menos de 90°. Si da 2,95 m, está abierta.
| ✓ | 12, 35 y 37 cm: rectángulo37² = 1 369 = 144 + 1 225 |
| ✓ | 7, 8 y 10 cm: acutángulo10² = 100 y 49 + 64 = 113: 100 < 113 |
| ✓ | 5, 6 y 9 cm: obtusángulo9² = 81 y 25 + 36 = 61: 81 > 61 |
| ✗ | 5, 6 y 9 cm: comparar 5² con 6² + 9²hay que elevar el lado más largo; con el corto siempre parece acutángulo |
| ✗ | 7, 8 y 10 cm es rectángulo porque casi cumpleo es igual o no lo es: 100 ≠ 113 |
11Diagonales de rectángulos y cuadrados
La diagonal parte un rectángulo en dos triángulos rectángulos, con la base y la altura como catetos. Así que d = √(b² + h²).
Una pista de baloncesto mide 28 m × 15 m: 784 + 225 = 1 009, y la diagonal mide unos 31,8 m. Un folio A4 mide 21 cm × 29,7 cm: 441 + 882,09 = 1 323,09, y su diagonal mide unos 36,4 cm.
En un cuadrado de lado l los dos catetos son iguales: d² = l² + l² = 2 · l², así que d = l · √2 ≈ 1,41 · l. Una baldosa de 50 cm tiene una diagonal de unos 70,7 cm.
Una curiosidad: la diagonal de un cuadrado de 21 cm mide 21 · 1,414 ≈ 29,7 cm, justo el lado largo del folio. No es casualidad. El A4 está pensado para que, al doblarlo por la mitad, el trozo tenga la misma forma que el folio entero.
| ✓ | Baldosa de 50 cm: diagonal de unos 70,7 cm50 · √2 ≈ 50 · 1,414 |
| ✗ | Baldosa de 50 cm: diagonal de 100 cmla diagonal no es el doble del lado, sino unas 1,41 veces |
| ✗ | Pista de 28 × 15 m: diagonal de 43 m28 + 15 es ir por dos lados; la diagonal es más corta |
12Alturas y apotemas
La altura de un triángulo isósceles cae justo en el centro de la base y lo parte en dos triángulos rectángulos. En cada uno, la hipotenusa es uno de los lados iguales y los catetos son la altura y media base.
La entrada triangular de un tipi tiene 3 m de base y lados de 3,4 m. Media base: 1,5 m. Altura: 3,4² − 1,5² = 11,56 − 2,25 = 9,31, y su raíz es unos 3,05 m.
En un equilátero de lado l la media base es l/2, y la altura sale siempre unas 0,866 veces el lado. El triángulo con el que se colocan las bolas de billar, de 30 cm de lado: 900 − 225 = 675, altura ≈ 25,98 cm y área ≈ 30 · 25,98 : 2 ≈ 389,7 cm².
Un hexágono regular está formado por seis triángulos equiláteros. Por eso su radio mide lo mismo que el lado, y su apotema es la altura de uno de esos triángulos. En una baldosa hexagonal de 12 cm de lado: 144 − 36 = 108, apotema ≈ 10,39 cm. Área = perímetro · apotema : 2 = 72 · 10,39 : 2 ≈ 374 cm².
| ✓ | Tipi: altura = √(3,4² − 1,5²) ≈ 3,05 mel cateto de abajo es media base |
| ✗ | Tipi: altura = √(3,4² − 3²) = 1,6 mse ha usado la base entera; la altura llega al punto medio de la base |
| ✗ | Hexágono de 12 cm de lado: apotema de 12 cm12 cm es el radio, del centro a un vértice; la apotema va al punto medio de un lado y es más corta |
| ✗ | La altura de un equilátero mide lo mismo que el ladoes un cateto de un triángulo cuya hipotenusa es el lado: siempre es más corta |
13Distancia entre dos puntos
En unos ejes de coordenadas, la distancia en línea recta entre dos puntos es la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Un cateto es lo que se avanza en horizontal y el otro, lo que se avanza en vertical.
En el mapa de un videojuego, medido en metros, tu personaje está en A(3, 2) y el tesoro en B(15, 37). En horizontal hay 15 − 3 = 12 m y en vertical, 37 − 2 = 35 m. Distancia: 144 + 1 225 = 1 369, cuya raíz es 37 m. Si el personaje solo pudiera moverse por las líneas de la cuadrícula, recorrería 12 + 35 = 47 m.
Con coordenadas negativas hay que restar con cuidado. De P(−2, 5) a Q(1, −2): en horizontal, 1 − (−2) = 3, y en vertical, 5 − (−2) = 7. Distancia: √(9 + 49) = √58 ≈ 7,62.
| ✓ | A(3, 2) y B(15, 37) están a 37 m12² + 35² = 37² |
| ✗ | A(3, 2) y B(15, 37) están a 47 meso es ir por la cuadrícula; en línea recta es más corto |
| ✗ | De P(−2, 5) a Q(1, −2), en horizontal 1 − 2 = −1restar −2 es sumar 2: son 3 |
14Problemas resueltos
Método: dibuja el triángulo, marca el ángulo recto y decide qué lado es la hipotenusa. Si es lo que buscas, suma cuadrados; si ya la tienes, resta. Al final, comprueba que la hipotenusa es el lado mayor.
¿Cabe el paraguas? Un paraguas plegado mide 68 cm, y la caja, 60 × 30 × 20 cm. Tumbado en el fondo, lo más largo que cabe es la diagonal del fondo: 3 600 + 900 = 4 500, raíz ≈ 67,1 cm. No cabe por poco. Pero puede ir inclinado, de una esquina de abajo a la esquina contraria de arriba. Esa diagonal es la hipotenusa de un triángulo cuyos catetos son la diagonal del fondo y la altura de la caja: 4 500 + 400 = 4 900, y la raíz es 70 cm. Cabe, sin contar su grosor.
¿Hasta dónde ves en la playa? Tus ojos están a 1,7 m sobre el agua. Tu línea de vista roza la Tierra en el horizonte y allí forma un ángulo recto con el radio, que mide unos 6 371 km. La hipotenusa va de tus ojos al centro de la Tierra: 6 371 km más 0,0017 km. Un cateto es el radio, y el otro, la distancia al horizonte. Restando los dos cuadrados queda unos 21,66, y su raíz es unos 4,7 km. Desde lo alto de un faro de 100 m, la cuenta da unos 35,7 km.
15Para recordar
- Catetos: los lados del ángulo recto. Hipotenusa: el de enfrente, el más largo.
- Teorema: a² = b² + c², solo en triángulos rectángulos.
- Hipotenusa: a = √(b² + c²). Cateto: b = √(a² − c²).
- La hipotenusa nunca es b + c: siempre es más corta que la suma de los catetos.
- Con el lado mayor a: si a² = b² + c², rectángulo; si es menor, acutángulo; si es mayor, obtusángulo.
- Diagonal del cuadrado: l · √2 ≈ 1,41 · l. Altura del equilátero: unas 0,866 · l.
- Distancia entre dos puntos: hipotenusa con la diferencia horizontal y la vertical como catetos.
Preguntas frecuentes
¿Qué dice el teorema de Pitágoras?
Que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² = b² + c². Con catetos de 20 y 21 cm, la hipotenusa mide 29 cm.
¿Cuál es la hipotenusa de un triángulo rectángulo?
Es el lado que está enfrente del ángulo recto, y siempre es el más largo. Los otros dos, los que forman el ángulo recto, son los catetos.
¿Cómo se calcula un cateto con el teorema de Pitágoras?
Al cuadrado de la hipotenusa se le resta el cuadrado del otro cateto y se hace la raíz. Con una escalera de 6,5 m y el pie a 1,6 m de la pared: 42,25 − 2,56 = 39,69, y √39,69 = 6,3 m de altura.
¿Se puede usar el teorema de Pitágoras en cualquier triángulo?
No, solo en triángulos rectángulos. En un triángulo equilátero de 5 cm, 5² = 25, que no es igual a 5² + 5² = 50.
¿Qué es una terna pitagórica?
Son tres números naturales que cumplen a² = b² + c², como 3, 4, 5 o 9, 40, 41. Son los lados de un triángulo rectángulo con todas las medidas enteras.
¿Cómo sé si un triángulo es rectángulo conociendo sus lados?
Eleva al cuadrado el lado mayor y compáralo con la suma de los cuadrados de los otros dos. Si es igual, es rectángulo; si es menor, acutángulo, y si es mayor, obtusángulo.
¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado?
El lado multiplicado por √2, unas 1,41 veces el lado. Una baldosa de 50 cm tiene una diagonal de unos 70,7 cm, no de 100 cm.
¿Qué miden las pulgadas de una tele?
La diagonal de la pantalla, de esquina a esquina, no el ancho. Una pantalla de 96 cm de ancho y 54 cm de alto tiene una diagonal de unos 110 cm, unas 43 pulgadas.
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Por Eugenio Rodríguez · actualizado: